Sách bài tập Toán 10 Bài 4 (Kết nối tri thức): Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Giải SBT Toán lớp 10 Bài 4: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Giải SBT Toán 10 trang 23 Tập 1

Bài 2.6 trang 23 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Biểu diễn miền nghiệm của các hệ bất phương trình sau trên mặt phẳng tọa độ:

ý b

ý c

Lời giải:

Biểu diễn tập nghiệm của các bất phương trình trên mặt phẳng tọa độ:

• Xét miền nghiệm của bất phương trình x ≥ -1.

Vẽ đường thẳng d₁: x = -1 bằng cách vẽ một đường thẳng song song với trục Oy tại một điểm có hoành độ bằng -1.

Chọn điểm I(1; 1) ∉ d₁ và thay vào biểu thức x, ta có 1 > -1.

Suy ra miền nghiệm của bất phương trình x ≥ -1 là nửa mặt phẳng bờ d₁ có chứa điểm I(1; 1).

• Xét miền nghiệm của bất phương trình y ≥ 0.

Đường thẳng d₂: y = 0 là đường thẳng trùng với trục Ox.

Chọn điểm I(1; 1) ∉ d₂ và thay vào biểu thức y, ta có 1 > 0.

Suy ra miền nghiệm của bất phương trình y ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ d₂ có chứa điểm I(1; 1).

• Xét miền nghiệm của bất phương trình x + y ≤ 4.

Vẽ đường thẳng d₃: x + y = 4 bằng cách vẽ một đường thẳng qua hai điểm (0; 4) và (4; 0).

Chọn điểm I(1; 1) Ï d₃ và thay vào biểu thức x + y = 4, ta có 1 + 1 = 2 < 4.

Suy ra miền nghiệm của bất phương trình x + y ≤ 4 là nửa mặt phẳng bờ d₃ có chứa điểm I(1; 1).

Khi đó miền nghiệm của hệ là miền không bị gạch như hình vẽ dưới đây.

Biểu diễn tập nghiệm của các bất phương trình trên mặt phẳng tọa độ:

• Đường thẳng d₁: x = 0 là đường thẳng trùng với trục Oy.

Chọn điểm I(1; 1) ∉ d₁ và thay vào biểu thức x ta được 1 > 0.

Suy ra miền nghiệm của bất phương trình x > 0 là nửa mặt phẳng bờ d₁ có chứa điểm I(1;1) và bỏ đi đường thẳng d₁.

• Đường thẳng y = 0 là đường thẳng trùng với trục Ox.

Chọn điểm I(1; 1) ∉ d₂ và thay vào biểu thức y ta được 1 > 0.

Suy ra miền nghiệm của bất phương trình y > 0 là nửa mặt phẳng bờ d₂ có chứa điểm I(1;1) và bỏ đi đường thẳng d₂.

• Vẽ đường thẳng d₃: x – y – 4 = 0 bằng cách vẽ đường thẳng đi qua hai điểm (0; -4) và (4; 0).

Chọn điểm I(1; 1)∉ d₃ và thay vào biểu thức x – y – 4 ta được 1 – 1 – 4 = -4 < 0.

Suy ra miền nghiệm của bất phương trình x – y – 4 < 0 là nửa mặt phẳng bờ d₃ có chứa điểm I(1; 1) và bỏ đi đường thẳng d₃.

Khi đó miền nghiệm của hệ là miền không bị gạch như hình vẽ dưới đây:

Biểu diễn tập nghiệm của các bất phương trình trên mặt phẳng tọa độ:

• Đường thẳng d₁: y = 3 là đường thẳng song song với trục Ox và đi qua điểm có tung độ bằng 3.

Chọn điểm O(0; 0) ∉ d₁ và thay vào biểu thức y ta được 0 < 3.

Suy ra miền nghiệm của bất phương trình y ≤ 3 là nửa mặt phẳng bờ d₁ có chứa điểm O(0; 0).

• Đường thẳng d₂: x = 3 là đường thẳng song song với trục Oy và đi qua điểm có hoành độ bằng 3.

Chọn điểm O(0; 0) ∉ d₂ và thay vào biểu thức x ta được 0 < 3.

Suy ra miền nghiệm của bất phương trình x ≤ 3 là nửa mặt phẳng bờ d₂ có chứa điểm O(0; 0).

• Đường thẳng d₃: x = -1 là đường thẳng song song với trục Oy và đi qua điểm có hoành độ bằng -1.

Chọn điểm O(0; 0) ∉d₃ và thay vào biểu thức x ta được 0 > -1.

Suy ra miền nghiệm của bất phương trình x ≥ -1 là nửa mặt phẳng bờ d₃ có chứa điểm O(0; 0).

Đường thẳng d₄: y = -2 là đường thẳng song song với trục Ox và đi qua điểm có tung độ bằng -2.

Chọn điểm O(0; 0) ∉ d₄ và thay vào biểu thức x ta được 0 > -2.

Suy ra miền nghiệm của bất phương trình y ≥ -2 là nửa mặt phẳng bờ d₄ có chứa điểm O(0; 0).

Khi đó miền nghiệm của hệ là miền không bị gạch như hình vẽ dưới đây:

Bài 2.7 trang 23 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức F(x; y) = 2x + 3y với (x; y) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình

Lời giải:

Biểu diễn tập nghiệm của các bất phương trình trên mặt phẳng tọa độ:

• Vẽ đường thẳng d₁: x + y = 6 bằng cách vẽ đường thẳng đi qua hai điểm (6; 0) và (0; 6).

Chọn điểm I(1; 1) ∉ d₁ và thay vào biểu thức x + y ta được 1 + 1 = 2 < 6.

Suy ra miền nghiệm của bất phương trình x + y ≤ 6 là nửa mặt phẳng bờ d₁ có chứa điểm I(1; 1).

• Đường thẳng d₂: x = 0 là đường thẳng trùng với trục Oy.

Chọn điểm I(1; 1) ∉d₂ và thay vào biểu thức x ta được 1 > 0.

Suy ra miền nghiệm của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ d₂ có chứa điểm I(1; 1).

• Đường thẳng d₃: y = 0 là đường thẳng trùng với trục Ox.

Chọn điểm I(1; 1)∉ d₃ và thay vào biểu thức y ta được 1 > 0.

Suy ra miền nghiệm của bất phương trình y ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ d₃ có chứa điểm I(1; 1).

Khi đó miền nghiệm của hệ là miền không bị gạch như hình vẽ dưới đây:

Ta thấy miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là miền tam giác AOB với A(6; 0), O(0; 0) và B(0; 6).

F(6; 0) = 2 . 6 + 3. 0 = 12;

F(0; 0) = 2 . 0 + 3 . 0 = 0;

F(0; 6) = 2 . 0 + 3 . 6 = 18.

Do đó giá trị lớn nhất của F(x; y) = 18 khi x = 0 và y = 6; giá trị nhỏ nhất của F(x; y) = 0 khi x = 0 và y = 0.

Bài 2.8 trang 23 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức F(x; y) = 4x – 3y trên miền nghiệm của hệ bất phương trình

Lời giải:

Biểu diễn tập nghiệm của các bất phương trình trên mặt phẳng tọa độ:

• Vẽ đường thẳng d₁: x + y = -4 bằng cách vẽ đường thẳng đi qua hai điểm (0; -4) và (-4; 0).

Chọn điểm I(1; 1) ∉ d₁ và thay vào biểu thức x + y ta được 1 + 1 = 2 > -4.

Suy ra miền nghiệm của bất phương trình x + y ≥ -4 là nửa mặt phẳng bờ d₁ chứa điểm I(1; 1).

• Vẽ đường thẳng d₂: x + y = 5 bằng cách vẽ đường thẳng đi qua hai điểm (0; 5) và (5; 0).

Chọn điểm I(1; 1) ∉ d₂ và thay vào biểu thức x + y ta được 1 + 1 = 2 < 5.

Suy ra miền nghiệm của bất phương trình x + y ≤ 5 là nửa mặt phẳng bờ d₂ chứa điểm I(1; 1).

• Vẽ đường thẳng d₃: x – y = 5 bằng cách vẽ đường thẳng đi qua hai điểm (0; -5) và (5; 0).

Chọn điểm I(1; 1) ∉ d₃ và thay vào biểu thức x + y ta được 1 – 1 = 0 < 5.

Suy ra miền nghiệm của bất phương trình x – y ≤ 5 là nửa mặt phẳng bờ d₃ chứa điểm I(1; 1).

• Vẽ đường thẳng d₄: x – y = -4 bằng cách vẽ đường thẳng đi qua hai điểm (0; 4) và (-4; 0).

Chọn điểm I(1; 1) ∉ d₄ và thay vào biểu thức x – y ta được 1 – 1 = 0 > -4.

Suy ra miền nghiệm của bất phương trình x – y ≥ -4 là nửa mặt phẳng bờ d₄ chứa điểm I(1; 1).

Khi đó miền nghiệm của hệ là miền không bị gạch như hình vẽ dưới đây:

Miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là hình vuông ABCD với A(5; 0), B(0,5; -4,5), C(-4; 0) và D(0,5; 4,5).

F(5; 0) = 4 . 5 – 3 . 0 = 20;

F(0,5; -4,5) = 4 . 0,5 – 3. (-4,5) = 15,5;

F(-4; 0) = 4 . (-4) – 3 . 0 = -16;

F(0,5; 4,5) = 4 . 0,5 – 3 . 4,5 = -11,5.

Vậy giá trị lớn nhất của F(x; y) = 20 khi x = 5 và y = 0 và giá trị nhỏ nhất của biểu thức F(x; y) = -16 khi x = -4 và y = 0.

Bài 2.9 trang 23 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Trong một cuộc thi pha chế, mỗi đội chơi được sử dụng tối đa 12 g hương liệu, 9 lít nước và 315 g đường để pha chế hai loại nước A và B. Để pha chế 1 lít nước A cần 45 g đường, 1 lít nước và 0,5 g hương liệu; để pha chế 1 lít nước B cần 15 g đường, 1 lít nước và 2 g hương liệu. Mỗi lít nước A nhận được 60 điểm thưởng, mỗi lít nước B nhận được 80 điểm thưởng. Hỏi cần pha chế bao nhiêu lít nước mỗi loại để đội chơi được số điểm thưởng là cao nhất?

Lời giải:

Gọi số lít nước A và B cần pha chế lần lượt là x lít và y lít (x ≥ 0; y ≥ 0).

Do 1 lít nước A cần 45 g đường, 1 lít nước và 0,5 g hương liệu nên x lít nước A cần 45x g đường, x lít nước và 0,5x g hương liệu.

Do 1 lít nước B cần 15 g đường, 1 lít nước và 2 g hương liệu nên y lít nước A cần 15y g đường, y lít nước và 2y g hương liệu.

Do có tối đa 12g hương liệu, 9 lít nước và 315 g đường nên 45x + 15y ≤ 315; x + y ≤ 9 và 0,5x + 2y ≤ 12.

Khi đó ta có hệ bất phương trình

Với số điểm thưởng đội chơi nhận được là F(x; y) = 60x + 80y (điểm).

Biểu diễn tập nghiệm của các bất phương trình trên mặt phẳng tọa độ:

• Đường thẳng d₁: x = 0 là đường thẳng trùng với trục Oy.

Chọn điểm I(1; 1)∉ d₁ và thay bảo biểu thức x ta được 1 > 0.

Suy ra miền nghiệm của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ d₁ chứa điểm I(1; 1).

• Đường thẳng d₂: y = 0 là đường thẳng trùng với trục Ox.

Chọn điểm I(1; 1) ∉ d₂ và thay bảo biểu thức y ta được 1 > 0.

Suy ra miền nghiệm của bất phương trình y ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ d₂ chứa điểm I(1; 1).

• Vẽ đường thẳng d₃: 0,5x + 2y = 12 bằng cách vẽ đường thẳng đi qua hai điểm (0; 6) và (4; 5).

Chọn điểm I(1; 1)∉ d₃ và thay bảo biểu thức 0,5x + 2y ta được 0,5 . 1 + 2 . 1 = 2,5 < 12.

Suy ra miền nghiệm của bất phương trình 0,5x + 2y ≤ 12 là nửa mặt phẳng bờ d₃ chứa điểm I(1; 1).

• Vẽ đường thẳng d₄: x + y = 9 bằng cách vẽ đường thẳng đi qua hai điểm (3; 6) và (4; 5).

Chọn điểm I(1; 1) ∉ d₄ và thay bảo biểu thức x + y ta được 1 + 1 = 2 < 9.

Suy ra miền nghiệm của bất phương trình x + y ≤ 9 là nửa mặt phẳng bờ d₄ chứa điểm I(1; 1).

• Vẽ đường thẳng d₅: 45x + 15y = 315 bằng cách vẽ đường thẳng đi qua hai điểm (5; 6) và (7; 0).

Chọn điểm I(1; 1) ∉ d₄ và thay bảo biểu thức 45x + 15y ta được 45 . 1 + 15. 1 = 60 < 315.

Suy ra miền nghiệm của bất phương trình 45x + 15y ≤ 315 là nửa mặt phẳng bờ d₅ chứa điểm I(1; 1).

Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền không bị gạch như hình vẽ dưới đây

Miền nghiệm của hệ là miền ngũ giác ABCDO với A(0; 6), B(4; 5), C(6; 3), D(7; 0) và O(0; 0).

Ta có F(0; 6) = 60 . 0 + 80 . 6 = 480;

F(4; 5) = 60 . 4 + 80 . 5 = 640;

F(6; 3) = 60 . 6 + 80 . 3 = 600;

F(7; 0) = 60 . 7 + 80 . 0 = 420;

F(0; 0) = 0.

Giá trị lớn nhất là F(4; 5) = 640.

Vậy cần pha 4 lít nước loại A và 5 lít nước loại B để số điểm thưởng nhận được là lớn nhất.

Xem thêm các bài giải SBT Toán 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 3: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài tập cuối chương 2

Bài 5: Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°

Bài 6: Hệ thức lượng trong tam giác

Lý thuyết Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

1. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

– Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là một hệ gồm hai hay nhiều bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

– Cặp số $\left({\mathrm{x}}_0;{\mathrm{y}}_0\right)$ là nghiệm của một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn khi $\left({\mathrm{x}}_0;{\mathrm{y}}_0\right)$ đồng thời là nghiệm của tất cả các bất phương trình trong hệ đó.

Ví dụ:

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}+2\mathrm{y}<9\\ \mathrm{y}-2\mathrm{x}>9\end{array}\right.$là một hệ bất phương trình hai ẩn gồm 2 bất phương trình $\mathrm{x}+2\mathrm{y}<9$ và $\mathrm{y}-2\mathrm{x}>9$.

$\left\{\begin{array}{l}{\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2<5\\ \mathrm{x}-\mathrm{y}>4\end{array}\right.$ không phải là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn bởi ${\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2<5$ là bất phương trình bậc hai 2 ẩn.

– Cho hệ bất phương trình hai ẩn $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}+\mathrm{y}>9\\ \mathrm{x}-\mathrm{y}<9\end{array}\right.$.

Cặp (x; y) = (10; 2) là nghiệm của bất phương trình x + y > 9 và cũng là nghiệm của bất phương trình x – y < 9. Nên cặp (x; y) = (10; 2) là nghiệm của hệ bất phương trình trên.

2. Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng tọa độ

– Trong mặt phẳng tọa độ, tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là miền nghiệm của hệ bất phương trình đó.

– Miền nghiệm của hệ là giao các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ.

– Cách xác định miền nghiệm của một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn:

+ Trên cùng một mặt phẳng tọa độ, xác định miền nghiệm của mỗi bất phương trình bậc nhất hai ẩn trong hệ và gạch bỏ miền còn lại.

+ Miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Ví dụ: Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn:$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}\ge 0\\ \mathrm{y}\ge 0\\ \mathrm{x}+\mathrm{y}\le 150\end{array}\right.$:

Bước 1: Xác định miền nghiệm D₁ của bất phương trình x ≥ 0 và gạch bỏ phần miền còn lại.

– Đường thẳng x = 0 là trục tọa độ Oy.

–  Miền nghiệm D₁ của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ Oy nằm bên phải trục Oy.

Bước 2: Tương tự, miền nghiệm D₂ của bất phương trình y ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ Ox nằm bên trên trục Ox.

Bước 3: Miền nghiệm D₃ của bất phương trình x + y ≤ 150:

– Vẽ đường thẳng d: x + y = 150.

– Vì 0 + 0 ≤ 150 là mệnh đề đúng nên tọa độ điểm O(0; 0) thỏa mãn bất phương trình x + y ≤ 150.

Do đó, miền nghiệm D₃ của bất phương trình x + y ≤ 150 là nửa mặt phẳng bờ d chứa gốc tọa độ O.

Từ đó ta có miền nghiệm tô màu xanh chính là giao miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ.

3. Ứng dụng của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Nhận xét: Tổng quát, người ta chứng minh được rằng giá trị lớn nhất (hay nhỏ nhất) của biểu thức $\mathrm{F}\left(\mathrm{x};\mathrm{y}\right)=\mathrm{ax}+\mathrm{by}$, với $\left(\mathrm{x};\mathrm{y}\right)$ là tọa độ các điểm thuộc miền đa giác ${\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2\mathrm{\dots }{\mathrm{A}}_{\mathrm{n}}$, tức là các điểm nằm bên trong hay nằm trên các cạnh của đa giác, đạt được tại một trong các đỉnh của đa giác đó.

Ví dụ: Cho hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn: $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}\ge 0\\ \mathrm{y}\ge 0\\ \mathrm{x}+\mathrm{y}\le 100\\ 2\mathrm{x}+\mathrm{y}\le 120\end{array}\right.$và $\mathrm{F}\left(\mathrm{x};\mathrm{y}\right)=3,5\mathrm{x}+2\mathrm{y}$. Tìm giá trị lớn nhất của $\mathrm{F}\left(\mathrm{x};\mathrm{y}\right)$.

Hướng dẫn giải:

Bước 1: Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình trên.

– Xác định miền nghiệm D₁ của bất phương trình x ≥ 0.

– Đường thẳng x = 0 là trục tọa độ Oy.

–  Miền nghiệm D₁ của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ Oy nằm bên phải trục Oy.

– Tương tự, miền nghiệm D₂ của bất phương trình y ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ Ox nằm bên trên trục Ox.

– Miền nghiệm D₃ của bất phương trình x + y ≤ 100:

+ Vẽ đường thẳng d₁: x + y = 100.

+ Vì 0 + 0 ≤ 100 là mệnh đề đúng nên tọa độ điểm O(0; 0) thỏa mãn bất phương trình x + y ≤ 100.

Do đó, miền nghiệm D₃ của bất phương trình x + y ≤ 100 là nửa mặt phẳng bờ d₁ chứa gốc tọa độ O.

– Miền nghiệm D₄ của bất phương trình 2x + y ≤ 120:

+ Vẽ đường thẳng d₂: 2x + y = 120.

+ Vì 2. 0 + 0 ≤ 120 là mệnh đề đúng nên tọa độ điểm O(0; 0) thỏa mãn bất phương trình 2x + y ≤ 120.

Do đó, miền nghiệm D₄ của bất phương trình 2x + y ≤ 120 là nửa mặt phẳng bờ d₂ chứa gốc tọa độ O.

Từ đó ta có miền nghiệm tô màu xanh chính là giao miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ.

Miền nghiệm là miền tứ giác OABC với O(0;0), A(0;100), B(20;80) và C(60;0).

Bước 2: Tính giá trị của biểu thức F tại các đỉnh của tứ giác

F(O) = 0; F(A) = 200; F(B) = 230; F(C) = 210.

Bước 3: So sánh các giá trị thu được ở Bước 2, kết luận giá trị lớn nhất của $\mathrm{F}\left(\mathrm{x};\mathrm{y}\right)$ là 230.