Sách bài tập Toán 10 Bài 25 (Kết nối tri thức): Nhị thức Newton

Giải SBT Toán lớp 10 Bài 25: Nhị thức Newton

Giải SBT Toán 10 trang 57 Tập 2

Bài 8.13 trang 57 SBT Toán 10 Tập 2: Khai triển các đa thức

a) (x – 2)⁴;

b) (x + 2)⁵; 

c) (2x + 3y)⁴; 

d) (2x – y)⁵. 

Lời giải:

a)

(x – 2)⁴ = [x + (– 2)⁴]

=$C_4^0.x^4+C_4^1.x^3.(-2)+C_4^2.x^2.{(-2)}^2+C_4^3.x.{(-2)}^3+C_4^4.{(-2)}^4$

= 1.x⁴ + 4.x³.(–2) + 6.x².4 + 4.x.(–8) + 1.16

= x⁴ – 8x³ + 24x² – 32x + 16.

b)

${(x+2)}^5=C_5^0.x^5+C_5^1.x^4.2+C_5^2.x^3{.2}^2+C_5^3.x^2{.2}^3+C_5^4.x{.2}^4+C_5^5{.2}^5$

= 1.x⁵ + 5.x^4­.2  + 10.x³.4 + 10.x².8 + 5.x.16 + 1.32

= x⁵ + 10x⁴ + 40x³ + 80x² + 80x + 32.

c)

(2x + 3y)⁴

=$C_4^0.{\left(2x\right)}^4+C_4^1.{\left(2x\right)}^3.3y+C_4^2.{\left(2x\right)}^2.{\left(3y\right)}^2+C_4^3.2x.{\left(3y\right)}^3+C_4^4.{\left(3y\right)}^4$

= 1.16x⁴ + 4.8x³.3y + 6.4x².9y² + 4.2x.27y³  + 1.81y⁴

= 16x⁴ + 96x³y + 216x²y^2­ + 216xy³ + 81y⁴.

d)

(2x – y)⁵ = [2x + (– y)⁵]

$=C_5^0.{\left(2x\right)}^5+C_5^1.{\left(2x\right)}^4.(-y)+C_5^2.{\left(2x\right)}^3.{(-y)}^2+C_5^3.{\left(2x\right)}^2.{(-y)}^3+C_5^4.2x.{(-y)}^4+C_5^5.{(-y)}^5$

= 1.32x⁵ + 5.16x^4­.(–y)  + 10.8x³.y² + 10.4x².(–y)³ + 5.2x.y⁴ + 1.(–y)⁵ 

= 32x⁵ – 80x⁴y + 80x³y² – 40x²y³ + 10xy⁴ – y⁵.

Bài 8.14 trang 57 SBT Toán 10 Tập 2: Trong khai triển của (5x – 2)⁵, số mũ của x được sắp xếp theo luỹ thừa tăng dần, hãy tìm hạng tử thứ hai.

Lời giải:

Áp dụng công thức khai triển của (a + b)⁵ với a = 5x, b = –2, ta có:

(5x – 2)⁵

=$C_5^0.{\left(5x\right)}^5+C_5^1.{\left(5x\right)}^4.(-2)+C_5^2.{\left(5x\right)}^3.{(-2)}^2+C_5^3.{\left(5x\right)}^2.{(-2)}^3+C_5^4.5x.{(-2)}^4+C_5^5.{(-2)}^5$

= 1 . 3 125x⁵ + 5 . 625x^4­.(–2)  + 10 . 125x³.4 + 10 . 25x².(–8) + 5 . 5x.16 + 1.(–32)

= 3 125x⁵ – 6 250x⁴ + 5 000x³ – 2 000x² + 400x – 32

= – 32 + 400x – 2 000x² + 5 000x³ – 6 250x⁴ + 3 125x⁵

Vậy, số hạng thứ hai trong khai triển theo số mũ tăng dần của x là 400x.

Bài 8.15 trang 57 SBT Toán 10 Tập 2: Hãy sử dụng ba số hạng đầu tiên trong khai triển của (1 + 0,03)⁴ để tính giá trị gần đúng của 1,03⁴. Xác định sai số tuyệt đối.

Lời giải:

Ta có:

1,03⁴ = (1 + 0,03)⁴  = 1⁴ + 4.1³.0,03 + 6.1^2­­.(0,03)² + …

= 1 + 0,12 + 0,0054 + … ≈ 1,1254

Mặt khác, ta tính được giá trị đúng, chẳng hạn bằng máy tính,

1,03⁴ = 1,12550881.

Như vậy, sai số tuyệt đối của của giá trị gần đúng nhận được so với giá trị đúng là:

|1,1254 – 1,12550881| = 0,00010881.

Bài 8.16 trang 57 SBT Toán 10 Tập 2: Xác định hạng tử không chứa x trong khai triển của ${\left(x+\frac{2}{x}\right)}^4$ .

Lời giải:

Ta có:

${\left(x+\frac{2}{x}\right)}^4$

$=C_4^0.x^4+C_4^1.x^3.\frac{2}{x}+C_4^2.x^2.{\left(\frac{2}{x}\right)}^2+C_4^3.x.{\left(\frac{2}{x}\right)}^3+C_4^4.{\left(\frac{2}{x}\right)}^4=x^4+4x^3.\frac{2}{x}+6x^2.{\left(\frac{2}{x}\right)}^2+4x.{\left(\frac{2}{x}\right)}^3+{\left(\frac{2}{x}\right)}^4=x^4+8x^2+24+\frac{32}{x^2}+\frac{16}{x^4}$

Vậy, hạng tử không chứa x là 24.

Bài 8.17 trang 57 SBT Toán 10 Tập 2: Khai triển ${\left(z^2+1+\frac{1}{z}\right)}^4$.

Lời giải:

Trước hết, ta sử dụng công thức khai triển của (a + b)⁴ với a = z² + 1 và $b=\frac{1}{z}$ .

Sau đó, ta sử dụng các công thức khai triển của (a + b)⁴, (a + b)³, (a + b)² với a = z², b = 1 để có:

${\left(z^2+1\right)}^4=C_4^0.{\left(z^2\right)}^4+C_4^1.{\left(z^2\right)}^3.1+C_4^2.{\left(z^2\right)}^2{.1}^2+C_4^3.z^2{.1}^3+C_4^4{.1}^4$

= z⁸ + 4z⁶ + 6z⁴ + 4z² + 1

${\left(z^2+1\right)}^3=C_3^0.{\left(z^2\right)}^3+C_3^1.{\left(z^2\right)}^2.1+C_3^2.z^2{.1}^2+C_3^3{.1}^3$

= z⁶ + 3z⁴ + 3z² + 1

(z² + 1)² = z⁴ + 2z² + 1

Vậy ta có:

${\left(z^2+1+\frac{1}{z}\right)}^4={\left[\left(z^2+1\right)+\frac{1}{z}\right]}^4=C_4^0.{\left(z^2+1\right)}^4+C_4^1{\left(z^2+1\right)}^3\frac{1}{z}+C_4^2{\left(z^2+1\right)}^2\frac{1}{z^2}+C_4^3\left(z^2+1\right)\frac{1}{z^3}+C_4^4\frac{1}{z^4}={\left(z^2+1\right)}^4+4{\left(z^2+1\right)}^3\frac{1}{z}+6{\left(z^2+1\right)}^2\frac{1}{z^2}+4\left(z^2+1\right)\frac{1}{z^3}+\frac{1}{z^4}=\left(z^8+4z^6+6z^4+4z^2+1\right)+4\left(z^6+3z^4+3z^2+1\right)\frac{1}{z}+6\left(z^4+2z^2+1\right)\frac{1}{z^2}+4\left(z^2+1\right)\frac{1}{z^3}+\frac{1}{z^4}=z^8+4z^6+4z^5+6z^4+12z^3+10z^2+12z+13+\frac{8}{z}+\frac{6}{z^2}+\frac{4}{z^3}+\frac{1}{z^4}$

Xem thêm các bài giải SBT Toán 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 24: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

Bài tập cuối chương 8

Bài 26: Biến cố và định nghĩa cổ điển của xác suất

Bài 27: Thực hành tính xác suất theo định nghĩa cổ điển

Lý thuyết Nhị thức Newton

Nhận xét: Các tích nhận được từ sơ đồ hình cây của một tích các đa thức giống như cách lấy ra một đơn thức từ mỗi đa thức rồi nhân lại với nhau. Tổng của chúng cho ta khai triển của tích các đa thức đã cho.

Ví dụ: Sơ đồ hình cây của khai triển: (a + b)⁴

Ta có: (a + b)⁴ = (a + b).(a + b).(a + b).(a + b)

+ Từ một điểm gốc, kẻ các mũi tên, mỗi mũi tên tương ứng với một đơn thức của nhị thức thứ nhất là a và b.

+ Từ ngọn của mỗi mũi tên đã xây dựng, kẻ các mũi tên, mỗi mũi tên tương ứng với một đơn thức của nhị thức thứ hai là a và b.

+ Làm tương tự cho đến nhị thức thứ tư.

+ Tại ngọn của mũi tên xây dựng tại bước cuối cùng, ta ghi lại các tích của các nhãn của các mũi tên đi từ điểm gốc đến đầu mút đó.

Nhị thức Newton:

Ví dụ:

a) Khai triển (1 + x)⁴ ;

b) Khai triển (2x – 3)⁵.

Hướng dẫn giải

a) Ta có :

(1 + x)⁴ = $C_4^0$1⁴ + $C_4^1$1³.x + $C_4^2$1²x² + $C_4^3$1.x³ + $C_4^4$>x⁴

= 1⁴ + 4.1³x + 6.1².x² + 4.1.x³ + x⁴

= 1 + 4x + 6x² + 4x³ + x⁴.

Vậy (1 + x)⁴ = 1 + 4x + 6x² + 4x³ + x⁴.

b) Ta có :

(x + 3)⁵ = $C_5^0$x⁵ + $C_5^1$x⁴.3 + $C_5^2$x³.3² + $C_5^3$>x².3³ + $C_5^4$x.3⁴ + $C_5^5$3⁵

= x⁵ + 5x⁴.3 + 10x³.3² + 10x².3³ + 5x.3⁴ + 3⁵

= x⁵ + 15x⁴ + 90x³ + 270x² + 405x + 243.

Nhận xét: Các công thức khai triển (a + b)ⁿ với n ∈ {4 ; 5}, là một công cụ hiệu quả để tính chính xác hoặc xấp xỉ một số đại lượng mà không cần dùng máy tính.

Ví dụ: Dùng hai số hạng đầu của khai triển (1 + 0,02)⁵ để tính giá trị gần đúng của 1,02⁵.

Hướng dẫn giải

Ta có: (1 + 0,02)⁵ = 1⁵ + 5.1⁴. 0,02 + 10.1³.0,02² + 10.1².0,02³ + 5.1.0,02⁴ + 0,02⁵

= 1 + 0,1 + 10.1³.0,02² + 10.1².0,02³ + 5.1.0,02⁴ + 0,02⁵.

Vì 1 + 0,1 = 1,1 nên (1 + 0,02)⁵ ≈ 1,1, tức là 1,02⁵ ≈ 1,1.

Vậy 1,02⁵ ≈ 1,1.