Sách bài tập Toán 10 Bài 18 (Kết nối tri thức): Phương trình quy về phương trình bậc hai

Giải SBT Toán lớp 10 Bài 18: Phương trình quy về phương trình bậc hai

Giải SBT Toán 10 trang 21 Tập 2

Bài 6.28 trang 21 SBT Toán 10 Tập 2: Giải các phương trình sau:

ý b 

ý c

Lời giải:

a)

$\sqrt{-x^2+77x-212}=\sqrt{x^2+x-2}$ (1)

Bình phương hai vế của (1) ta có:

–x² + 77x – 212 = x² + x – 2

⇔ 2x² – 76x + 210 = 0

⇔ x = 35 hoặc x = 3

Thay x = 35 vào (1) ta có:

$\sqrt{-{35}^2+77.35-212}=\sqrt{{35}^2+35-2}\iff \sqrt{1258}=\sqrt{1258}\left(tm\right)$

Thay x = 3 vào (1) ta có:

$\sqrt{-3^2+77.3-212}=\sqrt{3^2+3-2}\iff \sqrt{10}=\sqrt{10}\left(tm\right)$

Vậy tập nghiệm của phương trình (1) là S = {3; 35}.

b)

$\sqrt{x^2+25x-26}=\sqrt{x-x^2}$ (2)

Bình phương hai vế của (2) ta có:

x² + 25x – 26 = x – x²

⇔ 2x² + 24x – 26 = 0

⇔ x = 1 hoặc x = –13

Thay x = 1 vào (2) ta có:

$\sqrt{1^2+25.1-26}=\sqrt{1-1^2}$ ⇔ 0 = 0 (thỏa mãn)

Thay x = –13 vào (2) ta có:

$\sqrt{{(-13)}^2+25.(-13)-26}=\sqrt{(-13)-{(-13)}^2}\iff \sqrt{-182}=\sqrt{-182}$

 (không thể tồn tại)

Vậy tập nghiệm của phương trình (2) là S = {1}.

c)

$\sqrt{4x^2+8x-37}=\sqrt{-x^2-2x+3}$ (3)

Bình phương hai vế của (3) ta có:

4x² + 8x – 37 = –x² – 2x + 3

⇔ 5x² + 10x – 40 = 0

⇔ x = 2 hoặc x = –4

Thay x = 2 vào (3) ta có:

$\sqrt{{4.2}^2+8.2-37}=\sqrt{-2^2-2.2+3}\iff \sqrt{-5}=\sqrt{-5}$

 (không thể tồn tại)

Thay x = –4 vào (3) ta có:

$\sqrt{4.{(-4)}^2+8.(-4)-37}=\sqrt{-{(-4)}^2-2.(-4)+3}\iff \sqrt{-5}=\sqrt{-5}$

 (không thể tồn tại)

Vậy tập nghiệm của phương trình (3) là S = ∅.

Bài 6.29 trang 21 SBT Toán 10 Tập 2: Giải các phương trình sau:

ý b

ý c

Lời giải:

a)

$\sqrt{2x^2-13x+16}=6-x$ (1)

Bình phương hai vế của (1) ta có:

2x² – 13x + 16 = (6 – x)²

⇔ 2x² – 13x + 16 = 36 – 12x + x²

⇔ x² – x – 20 = 0

⇔ x = 5 hoặc x = –4

Thay x = 5 vào (1) ta có:

$\sqrt{{2.5}^2-13.5+16}=6-5\iff 1=1$ (thỏa mãn)

Thay x = –4 vào (1) ta có:

$\sqrt{2.{(-4)}^2-13.(-4)+16}=6-(-4)\iff 10=10\left(tm\right)$ 

Vậy tập nghiệm của phương trình (1) là S = {–4; 5}.

b)

$\sqrt{3x^2-33x+55}=x-5$ (2)

Bình phương hai vế của (2) ta có:

3x² – 33x + 55 = (x – 5)²

⇔ 3x² – 33x + 55 = x² – 10x + 25

⇔ 2x² – 23x + 30 = 0

⇔ x = 10 hoặc x = 1,5

Thay x = 10 vào (2) ta có:

$\sqrt{{3.10}^2-33.10+55}=10-5\iff 5=5$ (thỏa mãn)

Thay x = 1,5 vào (2) ta có:

$\sqrt{3.1,5^2-33.1,5+55}=1,5-5\iff 3,5=-3,5$

 (không thỏa mãn)

Vậy tập nghiệm của phương trình (2) là S = {10}.

c)

$\sqrt{-x^2+3x+1}=x-4$ (3)

Bình phương hai vế của (3) ta có:

–x² + 3x + 1 = (x – 4)²

⇔ –x²  + 3x + 1 = x² – 8x + 16

⇔ 2x² – 11x + 15 = 0

⇔ x = 3 hoặc x = 2,5

Thay x = 3 vào (3) có:

$\sqrt{-3^2+3.3+1}=3-4\iff 1=-1$ (không thỏa mãn)

Thay x = 2,5 vào (3) có:

$\sqrt{-2,5^2+3.2,5+1}=2,5-4\iff 1,5=-1,5$

 (không thỏa mãn)

Vậy phương trình (3) có tập nghiệm là S = ∅.

Bài 6.30 trang 21 SBT Toán 10 Tập 2: Giải các phương trình sau:

a) $\sqrt{2x-3}=x-3$;

b) $\left(x-3\right)\sqrt{x^2+4}=x^2-9$.

Lời giải:

a)

$\sqrt{2x-3}=x-3$ (1)

Bình phương hai vế của (1) ta có:

2x – 3 = (x – 3)²

⇔ 2x – 3 = x² – 6x + 9

⇔ x² – 8x + 12 = 0

⇔ x = 6 hoặc x = 2

Thay x = 6 vào (1) ta có:

$\sqrt{2.6-3}=6-3\iff 3=3$ (thỏa mãn)

Thay x = 2 vào (1) ta có:

$\sqrt{2.2-3}=2-3\iff 1=-1$  (không thỏa mãn)

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {6}.

b)

Do x² + 4 > 0 với mọi số thực x nên $\sqrt{x^2+4}$ luôn có nghĩa với mọi số thực x

Bình phương hai vế của phương trình (3) ta có:

x² + 4 = (x + 3)²

⇔ x² + 4 = x² + 6x + 9

⇔ 6x = –5

⇔ $x=-\frac{5}{6}$

Thay $x=-\frac{5}{6}$ vào (3) ta có:

$\sqrt{{\left(-\frac{5}{6}\right)}^2+4}=-\frac{5}{6}+3\iff \frac{13}{6}=\frac{13}{6}$ (thỏa mãn)

Phương trình (3) có nghiệm là: $x=-\frac{5}{6}$.

Do đó, (4) $\iff \left[\begin{array}{l}x=3\\ x=-\frac{5}{6}\end{array}\right.$

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S = $\left\{-\frac{5}{6};3\right\}$.

Bài 6.31 trang 21 SBT Toán 10 Tập 2: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình sau có nghiệm:$\sqrt{2x^2+x+1}=\sqrt{x^2+mx+m-1}$.

Lời giải:

$\sqrt{2x^2+x+1}=\sqrt{x^2+mx+m-1}$ (1)

Bình phương hai vế của (1) ta có:

2x² + x + 1 = x²  + mx + m – 1

⇔ x² + (1 – m)x + 2 – m = 0     (2)

Xét tam thức bậc hai f(x) = 2x² + x + 1 có: a = 2 > 0, ∆_f = 1² – 4.2.1 = –7 < 0

Do đó,  f(x) = 2x² + x + 1  > 0 với mọi số thực x nên x²  + mx + m – 1  > 0 với mọi số thực x, do đó,  $\sqrt{2x^2+x+1}$, $\sqrt{x^2+mx+m-1}$ luôn có nghĩa với mọi số thực x.

Do đó, (1) có nghiệm khi và chỉ khi (2) có nghiệm.

Xét phương trình bậc hai (2) ta có:

∆ = (1 – m)² – 4.1.(2 – m) = 1 – 2m + m² – 8 + 4m = m² + 2m – 7

Phương trình (2) có nghiệm khi và chỉ chi ∆ ≥ 0

 ⇔ m² + 2m – 7 ≥ 0

Xét phương trình bậc hai ẩn m là: m² + 2m – 7 = 0 có:

a = 1 > 0

∆_m = 2² – 4.1.(–7) = 32 > 0

Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt là: $m_1=-1+2\sqrt{2};m_2=-1-2\sqrt{2}$

Do đó, m² + 2m – 7 ≥ 0 ⟺ $\left[\begin{array}{l}m\ge -1+2\sqrt{2}\\ m\le -1-2\sqrt{2}\end{array}\right.$

Vậy khi $m\ge -1+2\sqrt{2}$ hoặc $m\le -1-2\sqrt{2}$ thì phương trình $\sqrt{2x^2+x+1}=\sqrt{x^2+mx+m-1}$ có nghiệm.

Bài 6.32 trang 21 SBT Toán 10 Tập 2: Mặt cắt đứng của cột cây số trên quốc lộ có dạng nửa hình tròn ở phía trên và phía dưới có dạng hình chữ nhật (xem hình dưới). Biết rằng đường kính của nửa hình tròn cũng là cạnh phía trên của hình chữ nhật và đường chéo của hình chữ nhật có độ dài 66 cm. Tìm kích thước của hình chữ nhật, biết rằng diện tích của phần nửa hình tròn bằng 0,3 lần diện tích của phần hình chữ nhật. Lấy π = 3,14 và làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai.

Lời giải:

Gọi đường kính của nửa hình tròn là x (cm) (x > 0).

Độ dài cạnh phía trên của hình chữ nhật bằng đường kính của nửa hình tròn hay AB = x (cm).

Xét tam giác vuông ABD

Áp dụng định lí Pythagore, ta có:

BD² = AD² + AB²

⇔ AD² = BD²  – AB²

Suy ra 

 $AD=\sqrt{B{D}^2-A{B}^2}=\sqrt{{66}^2-x^2}=\sqrt{4356-x^2}$.

Độ dài cạnh còn lại của hình chữ nhật là AD = $\sqrt{4356-x^2}$

Diện tích nửa hình tròn là $\frac{1}{2}\pi {\left(\frac{AB}{2}\right)}^2=\frac{1}{2}.3,14.{\left(\frac{x}{2}\right)}^2=\frac{3,14x^2}{8}$.

Diện tích hình chữ nhật là x$\sqrt{4356-x^2}$. Theo giả thiết ta có:

$\frac{3,14x^2}{8}=0,3x\sqrt{4356-x^2}$

$\Rightarrow 157x=120\sqrt{4356-x^2}$ (do x > 0).

Bình phương hai vế của phương trình ta có:

24 649x² = 14 400(4 356 – x²)

⇔ 24 649x² = 62 726 400 – 14 400x²

⇔ 39 049x² = 62 726 400

⇔ x ≈ ± 40,08

Do x > 0 nên ta có: x = 40,08

Độ dài cạnh trên của hình chữ nhật là 40,08 cm, độ dài cạnh còn lại là: $\sqrt{4356-40,{08}^2}\approx 52,44$ (cm)

Vậy kích thước của hình chữ nhật khoảng 40,08 cm × 52,44 cm.

Xem thêm các bài giải SBT Toán 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 17: Dấu của tam thức bậc hai

Bài tập cuối chương 6

Bài 19: Phương trình đường thẳng

Bài 20: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách

Lý thuyết Phương trình quy về phương trình bậc hai

1. Phương trình dạng $\sqrt{a{x}^2+bx+c}=\sqrt{d{x}^2+ex+f}$

Để giải phương trình $\sqrt{a{x}^2+bx+c}=\sqrt{d{x}^2+ex+f}$ ta thực hiện như sau:

– Bình phương hai vế và giải phương trình nhận được;

– Thử lại các giá trị tìm được ở trên có thỏa mãn phương trình đã cho hay không và kết luận nghiệm.

Ví dụ: Giải phương trình $\sqrt{x^2-7x}=\sqrt{-x^2-8x+3}$

Hướng dẫn giải

Bình phương hai vế của phương trình $\sqrt{x^2-7x}=\sqrt{-x^2-8x+3}$ , ta được:

x² – 7x = –x² – 8x + 3

⇒ 2x² + x – 3 = 0.

Giải phương trình 2x² + x – 3 = 0 ta được x₁ = 1 và x₂ = $-\frac{3}{2}$ .

Thay lần lượt x₁ = 1 và x₂ = $-\frac{3}{2}$ vào ta thấy chỉ có giá trị x₂ = $-\frac{3}{2}$ thỏa mãn.

Vậy phương trình có nghiệm là x = $-\frac{3}{2}$.

2. Phương trình dạng $\sqrt{a{x}^2+bx+c}=dx+e$ .

Để giải phương trình $\sqrt{a{x}^2+bx+c}=dx+e$ , ta thực hiện như sau:

– Bình phương hai vế và giải phương trình nhận được;

– Thử lại các giá trị tìm được ở trên có thỏa mãn phương trình đã cho hay không và kết luận nghiệm.

Ví dụ: Giải phương trình $\sqrt{4x^2+x-1}=-x+1$

Bình phương hai vế của phương trình , ta được:

4x² + x – 1 = (–x + 1)²

⇒ 4x² + x – 1 = x² – 2x + 1

⇒ 3x² + 3x – 2 = 0.

Giải phương trình 3x² + 3x – 2 = 0 ta được $x_1=\frac{-3+\sqrt{33}}{6}$ và $x_2=\frac{-3-\sqrt{33}}{6}$

Thay lần lượt $x_1=\frac{-3+\sqrt{33}}{6}$ và $x_2=\frac{-3-\sqrt{33}}{6}$ vào $\sqrt{4x^2+x-1}=-x+1$ ta thấy cả hai giá trị $x_1=\frac{-3+\sqrt{33}}{6}$ và $x_2=\frac{-3-\sqrt{33}}{6}$ đều thỏa mãn.

Vậy phương trình có hai nghiệm là $x_1=\frac{-3+\sqrt{33}}{6}$ và $x_2=\frac{-3-\sqrt{33}}{6}$