Sách bài tập Toán 10 Bài 11 (Kết nối tri thức): Tích vô hướng của hai vectơ

Giải SBT Toán lớp 10 Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ

Giải SBT Toán 10 trang 65 Tập 1

Bài 4.29 trang 65 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác đều ABC có độ dài các cạnh bằng 1.

a) Gọi M là trung điểm của BC. Tính tích vô hướng của các cặp vectơ $\vec{M A}$ và $\vec{B A}$ , $\vec{M A}$ và $\vec{A C}$

b) Gọi N là điểm đối xứng với B qua C. Tính tích vô hướng $\vec{A M} . \vec{A N} .$

c) Lấy điểm P thuộc đoạn AN sao cho AP = 3PN. Hãy biểu thị các vectơ $\vec{A P}, \vec{M P}$ theo hai vectơ $\vec{A B}$ và $\vec{A C} .$ Tính độ dài đoạn MP.

Lời giải:

a) Tam giác ABC đều có M là trung điểm của BC nên đường trung tuyến AM đồng thời là đường phân giác và đường cao.

$\Rightarrow \hat{B A M} = \hat{M A C} = \frac{1}{2} \hat{B A C} = \frac{1}{2} .60 ° = 30 °$

Gọi Ax là tia đối của tia AM, tia Ay là tia đối của tia AB.

Do đó $(\vec{M A}; \vec{B A}) = \hat{x A y} = \hat{B A M} = 30 °$

$(\vec{M A}; \vec{A C}) = \hat{x A C} = 180 ° - \hat{M A C}$

$\Rightarrow (\vec{M A}; \vec{A C}) = 180 ° - 30 ° = 150 °$

Khi đó ta có:

Xét tam giác BAM vuông tại M, theo định lí Pythagoras ta có:

Vậy $\vec{M A} . \vec{B A} = \frac{3}{4}$ và $\vec{M A} . \vec{A C} = \frac{- 3}{4} .$

b) • Vì M là trung điểm của BC nên $\vec{A B } + \vec{A C} = 2 \vec{A M}$

$\Rightarrow \vec{A M} = \frac{1}{2} (\vec{A B } + \vec{A C})$

• N đối xứng với B qua C nên C là trung điểm của BN

$\Rightarrow \vec{A B } + \vec{A N} = 2 \vec{A C}$ $\Rightarrow \vec{A N} = 2 \vec{A C} - \vec{A B }$

Khi đó

Mà $\vec{A B} . \vec{A C} = |\vec{A B}| . |\vec{A C}| . c o s (\vec{A B} . \vec{A C})$

$= A B . A C . c o s \hat{B A C} = 1.1. \cos 60 ° = \frac{1}{2} .$

Do đó

Vậy $\vec{A M} . \vec{A N} = \frac{3}{4}$

c) • Vì P thuộc đoạn thẳng AN thỏa mãn AP = 3PN

• Ta có:

Vậy $\vec{A P} = \frac{3}{2} \vec{A C} - \frac{3}{4} \vec{A B };$ $\vec{M P} = \vec{A C} - \frac{5}{4} \vec{A B }$ và $M P = \frac{\sqrt{21}}{4} .$

Bài 4.30 trang 65 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 1, $B C = \sqrt{2} .$ Gọi M là trung điểm của AD.

a) Chứng minh rằng các đường thẳng AC và BM vuông góc với nhau.

b) Gọi H là giao điểm của AC, BM. Gọi N là trung điểm của AH và P là trung điểm của CD. Chứng minh rằng tam giác NBP là một tam giác vuông.

Lời giải:

a) Đặt $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A D} = \vec{b}$ khi đó $|\vec{a}| = 1$ và $|\vec{b}| = \sqrt{2} .$

Vì AB ⊥ AD nên $\vec{a} ⊥ \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} . \vec{b} = \vec{0}$

ABCD là hình chữ nhật nên cũng là hình bình hành nên ta có:

$\vec{A C} = \vec{A B} + \vec{A D} = \vec{a} + \vec{b}$ (quy tắc hình bình hành)

M là trung điểm của AD nên $\vec{A M} = \frac{1}{2} \vec{A D} = \frac{1}{2} \vec{b}$

Suy ra $\vec{B M} = \vec{A M} - \vec{A B} = \frac{1}{2} \vec{b} - \vec{a}$

Khi đó $\vec{A C} . \vec{B M} = (\vec{a} + \vec{b}) . (\frac{1}{2} \vec{b} - \vec{a})$

Do đó $\vec{A C} . \vec{B M} = 0 \Leftrightarrow \vec{A C} ⊥ \vec{B M}$

Þ AC ⊥ BM.

b) • Xét tam giác ABC vuông tại C, theo định lí Pythagore ta có:

AC² = AB² + BC² = 1 + ${(\sqrt{2})}^{2}$ = 3

$\Rightarrow A C = \sqrt{3}$

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

AB² = AH.AC

Khi đó $\vec{H C} = \frac{2}{3} \vec{A C}$ và $\vec{H A} = - \frac{1}{3} \vec{A C}$

Ta có $\vec{N B} = \vec{N A} + \vec{A B}$ (quy tắc ba điiểm)

Vì N là trung điểm của AH nên

• Có N là trung điểm của HA và P là trung điểm của CD, theo kết quả bài 4.12, trang 58, Sách giáo khoa Toán 10, tập một, ta có:

Khi đó

Do đó $\vec{N B} . \vec{N P} = 0 \Rightarrow \vec{N B} ⊥ \vec{N P}$

Þ NB ⊥ NP.

Bài 4.31 trang 65 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có $\hat{A} < 90 ° .$ Dựng ra phía ngoài tam giác hai tam giác vuông cân đỉnh A là ABD và ACE. Gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm BC, BD, CE. Chứng minh rằng:

a) AM vuông góc với DE;

b) BE vuông góc với CD;

c) Tam giác MNP là một tam giác vuông cân.

Lời giải:

a) +) Vì M là trung điểm của BC nên $\vec{A B} + \vec{A C} = 2 \vec{A M}$

$\Rightarrow \vec{A M} = \frac{1}{2} (\vec{A B} + \vec{A C})$

+) Theo quy tắc ba điểm ta có: $\vec{D E} = \vec{A E} - \vec{A D}$

Mà AB ⊥ AD nên $\vec{A B} . \vec{A D} = 0$

Và AC ⊥ AE nên $\vec{A C} . \vec{A E} = 0$

Do đó $\vec{A M} . \vec{D E} = \frac{1}{2} (\vec{A B} . \vec{A E} - \vec{A C} . \vec{A D})$

Ta có:

• $\vec{A B} . \vec{A E} = A B . A E . c o s \hat{B A E}$

Và $\vec{A C} . \vec{A D} = A C . A D . c o s \hat{C A D}$

• AB = AD (do ∆ABD vuông cân tại A)

Và AC = AE (do ∆ACE vuông cân tại A)

• $\hat{B A E} = \hat{B A C} + \hat{C A E} = \hat{B A C} + 90 °$

Và $\hat{C A D} = \hat{B A C} + \hat{B A D} = \hat{B A C} + 90 °$

$\Rightarrow \hat{B A E} = \hat{C A D}$

Do đó

b) Ta có:

Ta có:

• $\vec{A E} . \vec{A D} = A E . A D . c o s \hat{D A E}$

Và $\vec{A B} . \vec{A C} = A B . A C . c o s \hat{B A C}$

• AB = AD và AC = AE

Þ BE ⊥ CD.

c) Ta có:

=> BE = CD (1)

Xét tam giác BCD có M, N lần lượt là trung điểm của BC, BD

Nên MN là đường trung bình của ∆BCD

$\Rightarrow M N = \frac{1}{2} C D$ và MN // CD (2)

Chứng minh tương tự ta cũng có:

MP là đường trung bình của ∆BCE

$\Rightarrow M P = \frac{1}{2} B E$ và MP // BE (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra MN = MP.

Vì BE ⊥ CD (câu b), MN // CD và MP // BE

Nên MN ⊥ MP

$\Rightarrow \hat{N M P} = 90 °$

Tam giác MNP có MN = MP và $\hat{N M P} = 90 °$

Suy ra tam giác MNP là tam giác vuông cân tại M.

Bài 4.32 trang 65 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ thoả mãn $|\vec{a}| = 6, |\vec{b}| = 8$ và $|\vec{a} + \vec{b}| = 10.$

a) Tính tích vô hướng $\vec{a} . (\vec{a} + \vec{b}) .$

b) Tính số đo của góc giữa hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{a} + \vec{b} .$

Lời giải:

Gọi ba điểm A, B, C sao cho $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{B C} = \vec{b}$

Khi đó $\vec{a} + \vec{b} = \vec{A B} + \vec{B C} = \vec{A C}$

Và AB = 6, BC = 8 và AC = 10.

Xét tam giác ABC có:

• AB² + BC² = 6² + 8² =100

AC² = 10² = 100

Þ AB² + BC² = AC²

Do đó tam giác ABC vuông tại B (định lí Pythagore đảo)

• $c o s \hat{B A C} = \frac{A B}{A C} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

a) Ta có $\vec{a} . (\vec{a} + \vec{b}) = \vec{A B} . \vec{A C}$

$= A B . A C c o s \hat{B A C}$

$= 6.10. \frac{3}{5} = 36$

Vậy $\vec{a} . (\vec{a} + \vec{b}) = 36.$

b) $c o s (\vec{a}; \vec{a} + \vec{b}) = c o s \hat{B A C} = \frac{3}{5}$

$\Rightarrow \hat{B A C} \approx 53 ° 7^{‘} 4 {8^{‘}}^{‘}$

Vậy $(\vec{a}; \vec{a} + \vec{b}) \approx 53 ° 7^{‘} 4 {8^{‘}}^{‘} .$

Bài 4.33 trang 65 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC không cân. Gọi D, E, F theo thứ tự là chân các đường cao kẻ từ A, B, C; gọi M, N, P tương ứng là trung điềm các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng

$\vec{M D} . \vec{B C} + \vec{N E} . \vec{C A} + \vec{P F} . \vec{A B} = 0$

Lời giải:

Gọi H và O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

• Vì D, M lần lượt là hình chiếu của H và O lên BC, nên $\vec{M D}$ là hình chiếu của $\vec{O H}$ trên giá của $\vec{B C}$

Theo định lí hình chiếu (được giới thiệu ở phần Nhận xét của Ví dụ 2, trang 62, Sách Bài tập Toán 10, tập một) ta có:

Chứng minh tương tự ta cũng có:

Từ (1), (2) và (3) ta có:

$\vec{M D} . \vec{B C} + \vec{N E} . \vec{C A} + \vec{P F} . \vec{A B}$

$= \vec{O H} . \vec{O C} - \vec{O H} . \vec{O B} + \vec{O H} . \vec{O A}$ $- \vec{O H} . \vec{O C} + \vec{O H} . \vec{O B} - \vec{O H} . \vec{O A}$

= 0

Vậy $\vec{M D} . \vec{B C} + \vec{N E} . \vec{C A} + \vec{P F} . \vec{A B} = 0.$

Bài 4.34 trang 65 SBT Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(2; 1) và B(4; 3).

a) Tìm toạ độ của điểm C thuộc trục hoành sao cho tam giác ABC vuông tại A. Tính chu vi và diện tích của tam giác ABC.

b) Tìm toạ độ của điểm D sao cho tam giác ABD vuông cân tại A.

Lời giải:

a) Vì tam giác ABC vuông tại A nên AB ⊥ AC hay $\vec{A B} ⊥ \vec{A C}$

Do đó $\vec{A B} . \vec{A C} = 0$

Giả sử C(x; 0) là điểm thuộc trục hoành.

Với A(2; 1), B(4; 3) và C(x; 0) ta có:

$\vec{A B} = (2; 2)$ và $\vec{A C} = (x - 2; - 1)$

Khi đó $\vec{A B} . \vec{A C} = 0$ Û 2(x – 2) + 2(–1) = 0

Û 2x – 4 – 2 = 0

Û 2x = 6

Û x = 3

Vậy C(3; 0).

$\Rightarrow \vec{A C} = (1; - 1)$

Ta có:

(theo định lí Pythagore)

Khi đó chu vi tam giác ABC là:

AB + AC + BC = $2 \sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{10} = 3 \sqrt{2} + \sqrt{10}$ (đơn vị độ dài)

Diện tích tam giác ABC là:

$\frac{1}{2} . A B . A C = \frac{1}{2} .2 \sqrt{2} . \sqrt{2} = 2$ (đơn vị diện tích)

b) Tam giác ABD vuông cân tại A nên AB ⊥ AD và AB = AD

• Với AB ⊥ AD ta có $\vec{A B} ⊥ \vec{A D}$

Mà $\vec{A B} ⊥ \vec{A C}$ (theo câu a)

Nên $\vec{A D}$ cùng phương với $\vec{A C}$

Gọi D(a; b) là tọa độ điểm D cần tìm.

$\Rightarrow \vec{A D} = (a - 2; b - 1)$

Mà $\vec{A C} = (1; - 1)$

Do đó $\vec{A D}$ cùng phương với $\vec{A C}$ khi và chỉ khi:

$\frac{a - 2}{1} = \frac{b - 1}{- 1}$ Û a – 2 = 1 – b

Û b – 1 = 2 – a (4)

• Với AB = AD ta có AB² = AD²

$\Leftrightarrow {(2 \sqrt{2})}^{2} = {(a - 2)}^{2} + {(b - 1)}^{2}$

Û 8 = (a – 2)² + (2 – a)² (do b – 1 = 2 – a)

Û 8 = 2.(a – 2)²

Û (a – 2)² = 4

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} a - 2 = 2 \\ a - 2 = - 2 \end{array}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} a = 4 \\ a = 0 \end{array}$

Với a = 4 thì b – 1 = 2 – 4 Þ b = –1 ta có điểm D₁(4; –1).

Với a = 0 thì b – 1 = 2 – 0 Þ b = 3 ta có điểm D₂(0; 3).

Vậy có hai điểm D thỏa mãn yêu cầu đề bài là D₁(4; –1) và D₂(0; 3).

Bài 4.35 trang 65 SBT Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(1; 4) và C(9; 2) là hai đỉnh của hình vuông ABCD. Tìm toạ độ các đỉnh B, D, biết rằng tung độ của B là một số âm.

Lời giải:

Gọi I là giao điểm của AC và BD

Vì ABCD là hình vuông nên ta có: I là trung điểm của AC; AC = BD và AC ⊥ BD tại I.

• I là trung điểm của AC nên:

$\{\begin{cases} x_{I} = \frac{1 + 9}{2} = 5 \\ y_{I} = \frac{4 + 2}{2} = 3 \end{cases}$ Þ I(5; 3)

Giả sử B(x; y) (y < 0) và D(a; b)

Vì I là trung điểm của BD nên ta có:

$\{\begin{cases} 5 = \frac{x + a}{2} \\ 3 = \frac{y + b}{2} \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} a = 10 - x \\ b = 6 - y \end{cases}$ Þ D(10 – x; 6 – y)

Với A(1; 4); C(9; 2); B(x; y) và D(10 – x; 6 – y) ta có:

$\vec{A C} = (8; - 2)$ và $\vec{B D} = (10 - 2 x; 6 - 2 y)$

• AC ⊥ BD $\Leftrightarrow \vec{A C} ⊥ \vec{B D} \Leftrightarrow \vec{A C} . \vec{B D} = 0$

Û 8.(10 – 2x) + (–2).(6 – 2y) = 0

Û 80 – 16x – 12 + 4y = 0

Û 4y = 16x – 68

Û y = 4x – 17 (với y < 0)

• AC = BD Û AC² = BD²

Û 8² + (–2)² = (10 – 2x)² + (6 – 2y)²

Û 64 + 4 = (10 – 2x)² + [6 – 2(4x – 17)]²

Û (10 – 2x)² + (6 – 8x + 34)²= 68

Û (10 – 2x)² + (40 – 8x)²= 68

Û 4.(x – 5)²+ 64.(x – 5)² = 68

Û (x – 5)²= 1

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x - 5 = 1 \\ x - 5 = - 1 \end{array}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 6 \\ x = 4 \end{array}$

Với x = 6 ta có y = 4.6 – 17 = 7 (không thỏa mãn y < 0)

Với x = 4 ta có y = 4.4 – 17 = –1 (thỏa mãn y < 0)

Khi đó ta có điểm B(4; –1)

Mà D(10 – x; 6 – y) nên D(6; 7).

Vậy B(4; –1) và D(6; 7).

Giải SBT Toán 10 trang 66 Tập 1

Bài 4.36 trang 66 SBT Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(1; 1) và B(7; 5).

a) Tìm toạ độ của điểm C thuộc trục hoành sao cho C cách đều A và B.

b) Tìm toạ độ của điểm D thuộc trục tung sao cho vectơ $\vec{D A} + \vec{D B}$ có độ dài ngắn nhất.

Lời giải:

a) Vì C cách đều A và B nên CA = CB

Û AC² = BC²

Giả sử C(x; 0) là điểm thuộc trục hoành

Với A(1; 1); B(7; 5) và C(x; 0) ta có:

• $\vec{A C} = (x - 1; - 1)$ Þ AC² = (x – 1)² + (–1)²

Þ AC² = x² – 2x + 2

• $\vec{B C} = (x - 7; - 5)$ Þ BC² = (x – 7)² + (–5)²

Þ BC² = x² – 14x + 74

Do đó AC² = BC²

Û x² – 2x + 2 = x² – 14x + 74

Û 12x = 72

Û x = 6

Vậy C(6; 0).

b) Gọi M là trung điểm của AB.

Khi đó $\vec{D A} + \vec{D B} = 2 \vec{D M}$

Do đó để vectơ $\vec{D A} + \vec{D B}$ có độ dài ngắn nhất thì vectơ $2 \vec{D M}$ có độ dài ngắn nhất

Û DM có độ dài ngắn nhất

Hay DM² nhỏ nhất.

Giả sử D(0; y) là điểm thuộc trục tung

Với A(1; 1); B(7; 5) và D(0; y) ta có:

• M là trung điểm của AB nên $\{\begin{cases} x_{M} = \frac{1 + 7}{2} = 4 \\ y_{M} = \frac{1 + 5}{2} = 3 \end{cases}$

Þ M(4; 3)

$\Rightarrow \vec{D M} = (4; 3 - y)$

Þ DM² = 4² + (3 – y)²

Hay DM² = (y – 3)² + 16

Vì (y – 3)² ≥ 0 với mọi y

Nên (y – 3)² + 16 ≥ 16 với mọi y

Hay DM²≥ 16 với mọi y

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi y – 3 = 0 Û y = 3.

Do đó DM đạt giá trị nhỏ nhất khi D(0; 3)

Vậy D(0; 3) thì vectơ $\vec{D A} + \vec{D B}$ có độ dài ngắn nhất.

Bài 4.37 trang 66 SBT Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(–3; 2), B(1; 5) và C(3; −1).

a) Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác. Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ấy.

b) Tìm toạ độ trực tâm H của tam giác ABC.

c) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tìm toạ độ của I.

Lời giải:

a) Với A(–3; 2), B(1; 5) và C(3; −1) ta có:

$\vec{A B} = (4; 3)$ và $\vec{A C} = (6; - 3)$

Vì $\frac{4}{6} = \frac{2}{3} \neq \frac{3}{- 3} = - 1$ nên hai vectơ $\vec{A B}$ và $\vec{A C}$ không cùng phương

Do đó ba điểm A, B, C không thẳng hàng

Vậy A, B, C là ba đỉnh của một tam giác.

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có:

$\{\begin{cases} x_{G} = \frac{- 3 + 1 + 3}{3} = \frac{1}{3} \\ y_{G} = \frac{2 + 5 + (- 1)}{3} = 2 \end{cases}$ $\Rightarrow G (\frac{1}{3}; 2)$

Vậy tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là: $G (\frac{1}{3}; 2)$ .

b) Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên AH ⊥ BC và BH ⊥ AC

Hay $\vec{A H} . \vec{B C} = 0$ và $\vec{B H} . \vec{A C} = 0$

Giả sử H(x; y) là tọa độ trực tâm tam giác ABC

Với A(–3; 2), B(1; 5), C(3; −1) và H(x; y) ta có:

Þ 6x – 3y = –9 (2)

Trừ vế theo vế (2) cho (1) ta có:

5x = 0 Þ x = 0

Þ y = 3

Þ H(0; 3)

Vậy tọa độ trực tâm của tam giác ABC là H(0; 3)

c) Theo kết quả phần a) của Bài 4.15, trang 54, Sách Bài tập, Toán 10, tập một ta có:

$\vec{A H} = 2 \vec{I M}$ với M là trung điểm của BC.

Giả sử I(a; b) là tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Với A(–3; 2), B(1; 5), C(3; −1), H(0; 3) và I(a; b) ta có:

• $\vec{A H} = (3; 1)$

• M là trung điểm của BC nên $\{\begin{cases} x_{M} = \frac{1 + 3}{2} = 2 \\ y_{M} = \frac{5 + (- 1)}{2} = 2 \end{cases}$

Vậy tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là $I (\frac{1}{2}; \frac{3}{2}) .$

Bài 4.38 trang 66 SBT Toán 10 Tập 1: Cho ba điểm M, N, P. Nếu một lực $\vec{F}$ không đổi tác động lên một chất điểm trong suốt quá trình chuyển động của chất điểm, thì các công sinh bởi lực $\vec{F}$ trong hai trường hợp sau có mối quan hệ gì với nhau?

a) Chất điểm chuyển động theo đường gấp khúc từ M đến N rồi tiếp tục từ N đến P.

b) Chất điểm chuyển động thẳng từ M đến P.

Lời giải:

a) Do lực $\vec{F}$ không đổi tác động lên một chất điểm trong suốt quá trình chuyển động của chất điểm nên công sinh bởi lực $\vec{F}$ khi chất điểm chuyển động theo đường gấp khúc từ M đến N rồi tiếp tục từ N đến P là:

b) Do lực $\vec{F}$ không đổi tác động lên một chất điểm trong suốt quá trình chuyển động của chất điểm nên công sinh bởi lực $\vec{F}$ khi chất điểm chuyển động thẳng từ M đến P là:

A₂ $= \vec{F} . \vec{M P}$ (2)

Từ (1) và (2) ta có A₁ = A₂ $(= \vec{F} . \vec{M P})$

Vậy A₁ = A₂.

Xem thêm các bài giải SBT Toán 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ

Bài tập cuối chương 4

Bài 12: Số gần đúng và sai số

Bài 13: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm

Lý thuyếtTích vô hướng của hai vectơ

1. Góc giữa hai vectơ

Cho hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ khác $\vec{0}$ . Từ một điểm A tùy ý, vẽ các vectơ $\vec{A B} = \vec{u}$ và $\vec{A C} = \vec{v}$ . Khi đó, số đo của góc BAC được gọi là số đo góc giữa hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ hay đơn giản là góc giữa hai vectơ $\vec{u}$ , $\vec{v}$ , kí hiệu là ( $\vec{u}$ , $\vec{v}$ ).

Chú ý :

+ Quy ước rằng góc giữa hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{0}$ có thể nhận một giá trị tùy ý từ 0° đến 180°.

+ Nếu ( $\vec{u}$ , $\vec{v}$ ) = 90° thì ta nói rằng $\vec{u}$ và $\vec{v}$ vuông góc với nhau. Kí hiệu $\vec{u}$ ⊥ $\vec{v}$ hoặc $\vec{v}$ ⊥ $\vec{u}$ . Đặc biệt được coi là vuông góc với mọi vectơ.

Ví dụ : Cho tam giác ABC vuông tại A và $\hat{B} = 30 °$ . Tính $(\vec{A B}, \vec{A C})$ , $(\vec{C A}, \vec{C B})$ , $(\vec{A B}, \vec{B C})$ .

Hướng dẫn giải

Ta có $(\vec{A B}, \vec{A C})$ = $\hat{B A C} = 90 °$ .

Tam giác ABC vuông tại A nên ta có .

$\hat{A C B} + \hat{A B C} = 90 ° \Rightarrow \hat{A C B} = 90 ° - \hat{A B C} = 90 ° - 30 ° = 60 °$

Suy ra: $(\vec{C A}, \vec{C B}) = \hat{A C B} = 60 °$ .

Vẽ $\vec{B D}$ sao cho $\vec{B D}$ = $\vec{A B}$ . Khi đó $(\vec{A B}, \vec{B C})$ = $(\vec{B D}, \vec{B C})$ = $\hat{C B D}$ .

Mặt khác $\hat{A B C} + \hat{C B D} = 180 °$ (hai góc kề bù)

Suy ra $\hat{C B D} = 180 ° - \hat{A B C} = 180 ° - 30 ° = 150 °$ .

Do đó, $(\vec{A B}, \vec{B C})$ = $\hat{C B D}$ = 150°.

Vậy $(\vec{A B}, \vec{A C})$ = 90°, $(\vec{C A}, \vec{C B})$ = 60°, $(\vec{A B}, \vec{B C})$ = 150°.

2. Tích vô hướng của hai vectơ

Tích vô hướng của hai vectơ khác vectơ-không $\vec{u}$ và $\vec{v}$ là một số, kí hiệu là $\vec{u}$ . $\vec{v}$ , được xác định bởi công thức sau:

$\vec{u}$ . $\vec{v}$ = | $\vec{u}$ |.| $\vec{v}$ |.cos( $\vec{u}$ , $\vec{v}$ )

Chú ý:

+) $\vec{u}$ ⊥ $\vec{v}$ ⇔ $\vec{u}$ . $\vec{v}$ = 0.

+) $\vec{u}$ . $\vec{u}$ còn được viết là ${\vec{u}}^{2}$ và được gọi là bình phương vô hướng của vectơ $\vec{u}$ .

Ta có ${\vec{u}}^{2} = | \vec{u} | . | \vec{u} | . \cos 0 ° = {(\vec{u})}^{2}$ .

(Bình phương vô hướng của một vectơ bằng bình phương độ dài của vectơ đó.)

Ví dụ: Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 2 và có đường cao AH. Tính các tích vô hướng:

a) $\vec{A B} . \vec{A C}$ ;

b) $\vec{A H} . \vec{B C}$ .

Hướng dẫn giải

a) Vì tam giác ABC đều nên $(\vec{A B}, \vec{A C}) = \hat{B A C} = 60 °$ .

Suy ra: $\vec{A B} . \vec{A C} = | \vec{A B} | . | \vec{A C} | \cos (\vec{A B}, \vec{A C}) = 2.2. \cos 60 ° = 2.2. \frac{1}{2} = 2$ .

Vậy $\vec{A B} . \vec{A C}$ = 2.

b) Vì AH là đường cao của tam giác ABC nên AH ⊥ BC.

Do đó $(\vec{A H}, \vec{B C}) = 90 °$ .

Ta có: $\vec{A H} . \vec{B C} = | \vec{A H} | . | \vec{B C} | \cos (\vec{A H}, \vec{B C}) = | \vec{A H} | . | \vec{B C} | \cos 90 ° = | \vec{A H} | . | \vec{B C} | .0 = 0$ .

Vậy $\vec{A H} . \vec{B C}$ = 0.

3. Biểu thức tọa độ và tính chất của tích vô hướng

• Tích vô hướng của hai vectơ $\vec{u} = (x; y)$ và $\vec{v} = (x ‘; y ‘)$ được tính theo công thức :

$\vec{u}$ . $\vec{v}$ = x.x’ + y.y’.

Nhận xét:

+ Hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ vuông góc với nhau khi và chỉ khi x.x’ + y.y’ = 0.

+ Bình phương vô hướng của $\vec{u} = (x; y)$ là ${\vec{u}}^{2}$ = x² + y².

+ Nếu $\vec{u}$ ≠ $\vec{0}$ và $\vec{v}$ ≠ $\vec{0}$ thì cos( $\vec{u}$ , $\vec{v}$ ) = $\frac{\vec{u} . \vec{v}}{| \vec{u} | . | \vec{v} |} = \frac{x x ‘ + y y ‘}{\sqrt{x^{2} + y^{2}} . \sqrt{x ‘^{2} + y ‘^{2}}}$ .

Ví dụ: Trong mặt phẳng tọa độ cho hai vectơ $\vec{u} = (0; - 5)$ và $\vec{v} = (\sqrt{3}; 1)$ .

a) Tính tích vô hướng của hai vectơ trên.

b) Tìm góc giữa của hai vectơ trên.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\vec{u}$ . $\vec{v}$ = 0. $\sqrt{3}$ + (–5).1= –5;

Vậy $\vec{u}$ . $\vec{v}$ = –5.

b) Ta có $| \vec{u |} = \sqrt{0^{2} + {(- 5)}^{2}} = 5$ ; $| \vec{v} | = \sqrt{{(\sqrt{3})}^{2} + 1^{2}} = 2$

Suy ra : cos( $\vec{u}$ , $\vec{v}$ ) = $\frac{\vec{u} . \vec{v}}{| \vec{u} | . | \vec{v} |} = \frac{- 5}{5.2} = \frac{- 5}{10} = \frac{- 1}{2}$ .

Suy ra ( $\vec{u}$ , $\vec{v}$ ) = 120°.

Vậy ( $\vec{u}$ , $\vec{v}$ ) = 120°.

• Tính chất của tích vô hướng :

Với ba vectơ $\vec{u}$ , $\vec{v}$ , $\vec{w}$ bất kì và mọi số thực k, ta có :

+) $\vec{u}$ . $\vec{v}$ = $\vec{v}$ . $\vec{u}$ (tính chất giao hoán);

+) $\vec{u}$ . ( $\vec{v}$ + $\vec{w}$ ) = $\vec{u}$ . $\vec{v}$ + $\vec{u}$ . $\vec{w}$ (tính chất phân phối đối với phép cộng) ;

+) (k $\vec{u}$ ). $\vec{v}$ = k ( $\vec{u}$ . $\vec{v}$ ) = $\vec{u}$ .( k $\vec{v}$ ).

Chú ý: Từ tính trên, ta có thể chứng minh được :

$\vec{u}$ . ( $\vec{v}$ – $\vec{w}$ )= $\vec{u}$ . $\vec{v}$ – $\vec{u}$ . $\vec{w}$ (tính chất phân phối đối với phép trừ) ;

( $\vec{u}$ + $\vec{v}$ )² = ${\vec{u}}^{2}$ + 2 $\vec{u}$ . $\vec{v}$ + ${\vec{v}}^{2}$ ; ( $\vec{u}$ – $\vec{v}$ )² = ${\vec{u}}^{2}$ –2 $\vec{u}$ . $\vec{v}$ + ${\vec{v}}^{2}$ ;

( $\vec{u}$ + $\vec{v}$ ).( $\vec{u}$ – $\vec{v}$ ) = ${\vec{u}}^{2}$ – ${\vec{v}}^{2}$ .

Ví dụ: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng với điểm M tùy ý ta có:

$\vec{M A} . \vec{B C} + \vec{M B} . \vec{C A} + \vec{M C} . \vec{A B} = 0$ .

Hướng dẫn giải

Ta có $\vec{M A} . \vec{B C} = \vec{M A} . (\vec{M C} - \vec{M B}) = \vec{M A} . \vec{M C} - \vec{M A} . \vec{M B};$ (1)

$\vec{M B} . \vec{C A} = \vec{M B} . (\vec{M A} - \vec{M C}) = \vec{M B} . \vec{M A} - \vec{M B} . \vec{M C};$ (2)

$\vec{M C} . \vec{A B} = \vec{M C} . (\vec{M B} - \vec{M A}) = \vec{M C} . \vec{M B} - \vec{M C} . \vec{M A}$ . (3)

Cộng các kết quả từ (1), (2), (3), ta được: $\vec{M A} . \vec{B C} + \vec{M B} . \vec{C A} + \vec{M C} . \vec{A B} = 0$

Vậy $\vec{M A} . \vec{B C} + \vec{M B} . \vec{C A} + \vec{M C} . \vec{A B} = 0$ .

Bài liên quan:

Để lại một bình luận Huỷ trả lời