Sách bài tập Toán 10 Bài 1 (Kết nối tri thức): Mệnh đề

Giải SBT Toán lớp 10 Bài 1: Mệnh đề

Giải SBT Toán 10 trang 7 Tập 1

Bài 1.1 trang 7 SBT Toán 10 Tập 1: Xác định tính đúng, sai của các mệnh đề sau:

a) Các số nguyên tố đều là số lẻ;

b) Phương trình x² + 1 = 0 có hai nghiệm nguyên phân biệt.

c) Mọi số nguyên lẻ đều không chia hết cho 2.

Lời giải:

a) Mệnh đề “Các số nguyên tố đều là số lẻ” là mệnh đề sai do số nguyên tố 2 là số chẵn.

b) Ta có x² ≥ 0 ∀ x $\in$ ℝ nên x² + 1 > 0 ∀ x $\in$ ℝ.

Suy ra phương trình x² + 1 = 0 không có nghiệm nguyên.

Do đó mệnh đề “Phương trình x² + 1 = 0 có hai nghiệm nguyên phân biệt” là mệnh đề sai.

c) Số chia hết cho 2 là số chẵn nên mệnh đề “Mọi số nguyên lẻ đều không chia hết cho 2” là mệnh đề đúng.

Bài 1.2 trang 7 SBT Toán 10 Tập 1: Phát biểu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau

a) 106 là hợp số;

b) Tổng số đo ba góc trong một tam giác bằng 180°.

Lời giải:

a) Mệnh đề phủ định của mệnh đề “106 là hợp số” là mệnh đề “106 không phải là hợp số”.

b) Mệnh đề phủ định của mệnh đề “Tổng số đo ba góc trong một tam giác bằng 180°” là mệnh đề “Tổng số đo ba góc trong một tam giác không bằng 180°”.

Bài 1.3 trang 7 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hai mệnh đề sau:

P: “Tứ giác ABCD là hình bình hành”.

Q: “Tứ giác ABCD có AB // CD và AB = CD”.

Hãy phát biểu mệnh đề P$\Rightarrow$Q và mệnh đề đảo của mệnh đề đó.

Lời giải:

Mệnh đề P $\Rightarrow$ Q là “Nếu tứ giác ABCD là hình bình hành thì tứ giác ABCD có AB // CD và AB = CD”.

Mệnh đề đảo của mệnh đề P $\Rightarrow$ Q là mệnh đề Q $\Rightarrow$ P.

Mệnh đề Q $\Rightarrow$ P là “Nếu tứ giác ABCD có AB // CD và AB = CD thì tứ giác ABCD là hình bình hành”.

Bài 1.4 trang 7 SBT Toán 10 Tập 1: Phát biểu dưới dạng điều kiện cần đối với các mệnh đề sau

a) Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau.

b) Số tự nhiên có tổng các chữ số của nó chia hết cho 3 thì chia hết cho 3.

Lời giải:

a) Điều kiện cần của hai góc đối đỉnh là hai góc đó bằng nhau.

b) Điều kiện cần để số tự nhiên có tổng các chữ số của nó chia hết cho 3 là số đó chia hết cho 3.

Bài 1.5 trang 7 SBT Toán 10 Tập 1: Xác định tính đúng sai của mệnh đề đảo của các mệnh đề sau:

a) Nếu số tự nhiên n có tổng các chữ số bằng 6 thì số tự nhiên n chia hết cho 3.

b) Nếu x > y thì x³ > y³.

Lời giải:

a) Mệnh đề đảo của mệnh đề “Nếu số tự nhiên n có tổng các chữ số bằng 6 thì số tự nhiên n chia hết cho 3” là mệnh đề “Nếu số tự nhiên n chia hết cho 3 thì số tự nhiên n có tổng các chữ số bằng 6”.

Mệnh đề “Nếu số tự nhiên n chia hết cho 3 thì số tự nhiên n có tổng các chữ số bằng 6” là mệnh đề sai do số tự nhiên n chia hết cho 3 thì ta chỉ khẳng định được n có tổng các chữ số chia hết cho 3 và có rất nhiều số chia hết cho 3 ngoài 6.

Do đó mệnh đề đảo của mệnh đề “Nếu số tự nhiên n có tổng các chữ số bằng 6 thì số tự nhiên n chia hết cho 3” là mệnh đề sai.

b) Mệnh đề đảo của mệnh đề “Nếu x > y thì x³ > y³” là mệnh đề “Nếu x³ > y³ thì x > y”.

Ta có x³ > y³ $\iff$ x³ – y³ > 0 $\iff$ (x – y)(x² + xy + y²) > 0.

x² + xy + y² = x² + 2.x.$\frac{y}{2}$ + $\frac{y^2}{4}+\frac{3y^2}{4}$ = ${\left(x+\frac{y}{2}\right)}^2+\frac{3y^2}{4}$ > 0 ∀ x, y $\in$ ℝ.

Do đó x – y > 0 $\iff$ x > y.

Vậy mệnh đề đảo của mệnh đề “Nếu x > y thì x³ > y³” là mệnh đề đúng.

Bài 1.6 trang 7 SBT Toán 10 Tập 1: Phát biểu mệnh đề P $\Rightarrow$ Q và xét tính đúng sai của chúng.

a) P: “x² + y² = 0”; Q: “x = 0 và y = 0”.

b) P: “x² > 0”; Q: “x > 0”.

Lời giải:

a) Mệnh đề P$\iff$Q là “x² + y² = 0 khi và chỉ khi x = 0 và y = 0”.

Xét mệnh đề P $\Rightarrow$Q là mệnh đề “Nếu x² + y² = 0 thì x = 0 và y = 0”.

Ta có x² ≥ 0; y² ≥ 0 ∀x, y $\in$ ℝ.

Suy ra x² + y² ≥ 0 ∀x, y $\in$ ℝ.

Suy ra x² + y² = 0 khi x² = 0 và y² = 0.

Suy ra x = 0 và y = 0.

Do đó mệnh đề P $\Rightarrow$Q là mệnh đề đúng.

Xét mệnh đề Q $\Rightarrow$ P là mệnh đề “Nếu x = 0 và y = 0 thì x² + y² = 0”.

Mệnh đề này là mệnh đề đúng vì khi x = 0 và y = 0 thì x² = 0 và y² = 0.

Khi đó x² + y² = 0.

Vậy mệnh đề P$\iff$Q là mệnh đề đúng do cả hai mệnh đề P $\Rightarrow$Q và Q $\Rightarrow$ P là hai mệnh đề đúng.

b) Mệnh đề P $\iff$Q là “x² > 0 khi và chỉ khi x > 0”.

Xét mệnh đề P $\iff$Q là mệnh đề “Nếu x² > 0 thì x > 0”.

Ta có x² ≥ 0 ∀x $\in$ ℝ.

Dấu “=” xảy ra khi x = 0 nên x² > 0 khi x ≠ 0.

Suy ra mệnh đề P $\Rightarrow$Q là mệnh đề sai.

Vậy mệnh đề P $\iff$Q là mệnh đề sai do mệnh đề P $\Rightarrow$Q là mệnh đề sai

Bài 1.7 trang 7 SBT Toán 10 Tập 1: Xác định tính đúng, sai của mệnh đề sau và tìm mệnh đề phủ định của nó.

P: “∃x $\in$ ℝ, x⁴ < x²”.

Lời giải:

Với x = $\frac{1}{2}$ thì x⁴ = ${\left(\frac{1}{2}\right)}^4=\frac{1}{16}$ ; x² = ${\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$

Ta thấy $\frac{1}{16}<\frac{1}{4}$ nên x⁴ < x².

Do đó mệnh đề P là mệnh đề đúng.

Mệnh đề phủ định của mệnh đề P là Q: “∀x $\in$ ℝ, x⁴ ≥ x²”.

Bài 1.8 trang 7 SBT Toán 10 Tập 1: Phát biểu mệnh đề phủ định của mệnh đề: “Mọi số tự nhiên có chữ số tận cùng bằng 0 đều chia hết cho 10”.

Lời giải:

Mệnh đề phủ định của mệnh đề “Mọi số tự nhiên có chữ số tận cùng bằng 0 đều chia hết cho 10” là mệnh đề “Tồn tại một số tự nhiên có chữ số tận cùng bằng 0 không chia hết cho 10”.

Xem thêm các bài giải SBT Toán 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 2: Tập hợp và các phép toán trên tập hợp

Bài tập cuối chương 1

Bài 3: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài 4: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Lý thuyết Mệnh đề

1. Mệnh đề, mệnh đề chứa biến

1.1. Mệnh đề

– Những khẳng định có tính đúng hoặc sai gọi là mệnh đề logic (gọi tắt là mệnh đề). Những câu không xác định được tính đúng sai không phải là mệnh đề.

– Mỗi mệnh đề phải hoặc đúng hoặc sai. Một mệnh đề không thể vừa đúng vừa sai.

Ví dụ 1:

Câu “Hoa hồng rất đẹp nhất trong các loài hoa” là câu khẳng định nhưng không xác định được tính đúng sai nên câu này không là mệnh đề.

Câu “Bây giờ là mấy giờ?” là một câu hỏi không xác định được tính đúng sai nên câu này không là mệnh đề.

Câu “8 + 1 > 9” là một câu khẳng định có thể xác định được tính đúng sai nên câu này là mệnh đề.

Câu “Số 1 tỉ là số rất lớn” là một câu khẳng định tuy nhiên câu này mang tính quan điểm cá nhân không xác định đước tính đúng sai nên không là mệnh đề.

Chú ý:

– Người ta thường sử dụng các chữ cái P, Q, R, … để biểu thị các mệnh đề.

– Những mệnh đề liên quan đến toán học được gọi là mệnh đề toán học.

– Những câu nghi vấn, câu cảm thán, câu cầu khiến không phải là mệnh đề.

Ví dụ 2:

+ “Hà Nội là thủ đô của Việt Nam” là một mệnh đề nhưng không phải mệnh đề toán học vì không phải sự kiện trong toán học.

+ “Số π là một số hữu tỉ” là mệnh đề toán học.

1.2. Mệnh đề chứa biến

– Mệnh đề chứa biến là một câu khẳng định chứa biến nhận giá trị trong một tập D nào đó mà với mỗi giá trị của biến thuộc vào D ta được một mệnh đề.

– Ta thường kí hiệu mệnh đề chứa biến n là P(n); mệnh đề chứa biến x, y là P(x, y), ….

Ví dụ:

+ “Với mọi giá trị thực của biến x, |x| ≥ x”: không phải là mệnh đề chứa biến vì:

Ta có |x| ≥ x với mọi giá trị thực của biến x nên đây là khẳng định đúng. Do đó phát biểu này là một mệnh đề không phải mệnh đề chứa biến.

+ “5n chia hết cho 2” là mệnh đề chứa biến.

Khi n = 4 thì mệnh đề này là mệnh đề đúng, khi n = 5 thì mệnh đề này là mệnh đề sai.

2. Mệnh đề phủ định

– Để phủ định một mệnh đề P, người ta thường thêm (hoặc bớt) từ “không” hoặc “không phải” vào trước vị ngữ của mệnh đề P. Ta kí hiệu mệnh đề phủ định của mệnh đề P là $\overline{P}$.

– Mệnh đề P và mệnh đề $\overline{P}$ là hai phát biểu trái ngược nhau. Nếu P đúng thì $\overline{P}$ sai, còn nếu P sai thì $\overline{P}$ đúng.

Ví dụ: “5 không chia hết cho 3” là mệnh đề phủ định của mệnh đề “5 chia hết cho 3”;

“3 là hợp số” là mệnh đề phủ định của mệnh đề “3 không là hợp số”.

3. Mệnh đề kéo theo, mệnh đề đảo

3.1. Mệnh đề kéo theo

– Mệnh đề “Nếu P thì Q” được gọi là mệnh đề kéo theo và kí hiệu là P ⇒ Q.

– Các định lí toán học là những mệnh đề đúng và thường có dạng P ⇒ Q. Khi đó ta nói:

P là giả thiết của định lí, Q là kết luận của định lí hoặc

“P là điều kiện đủ để có Q”, hoặc “Q là điều kiện cần để có P”.

Chú ý: Mệnh đề P ⇒ Q chỉ sai khi P đúng và Q sai. Do đó ta chỉ cần xét tính đúng sai của mệnh đề P ⇒ Q khi P đúng. Khi đó, nếu Q đúng thì P ⇒ Q đúng, nếu Q sai thì P ⇒ Q sai.

Ví dụ: Cho 2 mệnh đề: P: “9 chia hết cho 9”; Q: “9 chia hết cho 3”.

“Nếu 9 chia hết cho 9 thì 9 chia hết cho 3” là mệnh đề kéo theo của P và Q.

P là mệnh đề đúng và Q là mệnh đề đúng nên mệnh đề kéo theo P ⇒ Q là mệnh đề đúng.

3.2. Mệnh đề đảo

– Mệnh đề Q ⇒ P được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề P ⇒ Q.

Nhận xét: Mệnh đề đảo của một mệnh đề đúng không nhất thiết là đúng.

Ví dụ: Cho 2 mệnh đề: P: “n = 0”; Q: “n là số nguyên”.

Mệnh đề kéo theo P ⇒ Q được phát biểu là: “Nếu n = 0 thì n là số nguyên”.

Mệnh đề đảo Q ⇒ P được phát biểu là “Nếu n là số nguyên thì n = 0”.

– Mệnh đề P ⇒ Q là mệnh đề đúng còn mệnh đề Q ⇒ P không đúng.

4. Mệnh đề tương đương

– Mệnh đề “P nếu và chỉ nếu Q” được gọi là một mệnh đề tương đương và kí hiệu P ⇔ Q .

Nhận xét:

– Nếu cả hai mệnh đề Q ⇒ P và P ⇒ Q đều đúng thì hai mệnh đề tương đương P ⇔ Q đúng. Khi đó ta nói “P tương đương với Q” hoặc “P là điều kiện cần và đủ để có Q” hoặc “P khi và chỉ khi Q”.

Ví dụ: Cho 2 mệnh đề: P: “Tứ giác ABCD là hình bình hành”; Q: “Tứ giác ABCD có hai cặp cạnh đối song song”.

“Nếu tứ giác ABCD là hình bình hành thì tứ giác ABCD có hai cặp cạnh đối song song” là mệnh đề P ⇒ Q.

“Nếu tứ giác ABCD có hai cặp cạnh đối song song thì tứ giác ABCD là hình bình hành” là mệnh đề Q ⇒ P.

Hai mệnh đề này đều đúng nên P và Q là hai mệnh đề tương đương.

Khi đó mệnh đề P ⇔ Q được phát biểu như sau: “Tứ giác ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi tứ giác ABCD có hai cặp cạnh đối song song”.

5. Mệnh đề có chứa kí hiệu ∀ và ∃

– Kí hiệu ∀ đọc là “với mọi”.

– Kí hiệu ∃ đọc là “có một” hoặc “tồn tại”.

– Cho mệnh đề “$P\left(x\right),x\in D$”.

+ Phủ định của mệnh đề “$\forall x\in D,P\left(x\right)$” là mệnh đề “$\exists x\in D,\overline{P\left(x\right)}$”.

+ Phủ định của mệnh đề “$\exists x\in D,P\left(x\right)$” là mệnh đề “$\forall x\in D,\overline{P\left(x\right)}$”.

Chú ý: 

+ Phát biểu “Với mọi số tự nhiên n” có thể kí hiệu là $\forall n\in \mathbb{N}$.

+ Phát biểu “Tồn tại số tự nhiên n” có thể kí hiệu là $\exists n\in \mathbb{N}$.

Ví dụ:

Phủ định của mệnh đề “$\exists x\in ℝ,x^2+1=0$” là mệnh đề: “$\forall x\in ℝ,x^2+1\ne 0$”.