Giải SGK Toán 10 Bài 8 (Kết nối tri thức): Tổng và hiệu của hai vectơ

Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 8: Tổng và hiệu của hai vectơ

Giải Toán 10 trang 51 Tập 1 Kết nối tri thức

Câu mở đầu trang 51 Toán lớp 10: Một con tàu chuyển động từ bờ bên này sang bờ bên kia của một dòng sông với vận tốc riêng không đổi. Giả sử vận tốc dòng nước là không đổi và đáng kể, các yếu tố bên ngoài khác không ảnh hưởng đến vận tốc thực tế của tàu. Nếu không quan tâm đến điểm đến thì cần giữ lái cho tàu tạo với bờ sông một góc bao nhiêu để tàu sang bờ bên kia được nhanh nhất?

Lời giải:

Gọi: vận tốc thực tế của tàu là $\overrightarrow{v}$

Vận tốc riêng của tàu (đối với dòng nước) là $\overrightarrow{v_t}$

Vận tốc của dòng nước (đối với bờ) là $\overrightarrow{v_n}$

Ta có: $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v_n}+\overrightarrow{v_t}$

Để tàu sang bờ bên kia nhanh nhất thì vận tốc thực tế của tàu có hướng vuông góc với bờ.

Thao quy tắc hình bình hành thì $\overrightarrow{v}$ là vecto đường chéo xuất phát từ gốc chung của vecto vận tốc riêng của tàu và vecto vận tốc dòng nước tác động lên tàu.

1. Tổng của hai vectơ

HĐ1 trang 51 Toán lớp 10: Với hai vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ cho trước, lấy một điểm A vẽ các vectơ $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{b}$. Lấy điểm A’ khác A và cũng vẽ các vectơ $\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{b}$. Hỏi hai vectơ $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}$ có mối quan hệ gì?

Phương pháp giải:

Hai vectơ bằng nhau nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng.

Xét độ dài và hướng của hai vectơ $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}$ để suy ra mối quan hệ của chúng.

Lời giải:

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}\Rightarrow \{\begin{array}{l}AB//a\\ AB=a\end{array}$ và $\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\overrightarrow{a}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{A}^{\prime }{B}^{\prime }//a\\ A^{\prime }{B}^{\prime }=a\end{array}$

$\Rightarrow \{\begin{array}{l}AB//A^{\prime }{B}^{\prime }\\ AB=A^{\prime }{B}^{\prime }\end{array}$

Tương tự, ta cũng suy ra $\{\begin{array}{l}BC//B^{\prime }{C}^{\prime }\\ BC=B^{\prime }{C}^{\prime }\end{array}$

$\Rightarrow \mathrm{\Delta }ABC=\mathrm{\Delta }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$(c-g-c)

$\{\begin{array}{l}AC//A^{\prime }{C}^{\prime }\\ AC=A^{\prime }{C}^{\prime }\end{array}$

Dễ dàng suy ra  $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}$.

HĐ2 trang 51 Toán lớp 10: Cho hình bình hành ABCD. Tìm mối quan hệ giữa hai vectơ $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{AC}$

Phương pháp giải:

Bước 1: Xác định vectơ $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$ bằng cách thay vectơ $\overrightarrow{AD}$ bởi vectơ bằng nó mà có điểm đầu là B.

Bước 2: So sánh với vectơ $\overrightarrow{AC}$

Lời giải:

Vì ABCD là hình bình hành nên $\{\begin{array}{l}AD//BC\\ AD=BC\end{array}$, hay $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$.

Do đó $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$.

Giải Toán 10 trang 52 Tập 1 Kết nối tri thức

HĐ3 trang 52 Toán lớp 10: a) Trong hình 4.14a, hãy chỉ ra vectơ $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$và vectơ $\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}$.

b) Trong hình 4.14b, hãy chỉ ra vectơ $\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)+\overrightarrow{c}$và vectơ $\overrightarrow{a}+\left(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)$.

Phương pháp giải:

Nếu $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{b}$ thì $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$

Lời giải:

a) Ta có: $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{b}$ nên $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$

Mặt khác: $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{b},\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{a}$ nên $\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AC}$

Do đó $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}$.

b) Theo câu a) ta có $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{c}$ nên $\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}$.

Mặt khác: $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{b},\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{c}$ nên $\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BD}$

Và $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{AB}$ nên $\overrightarrow{a}+\left(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}$

Vậy $\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+\left(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)$

Luyện tập 1 trang 52 Toán lớp 10:  Cho hình thoi ABCD cới cạnh có độ dài bằng 1 và $\widehat{BAD}={120}^o$. Tính độ dài của các vectơ $\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD},\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BA}.$

Lời giải:

$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BA}$ do hai vectơ $\overrightarrow{CD},\overrightarrow{BA}$ cùng hướng và $CD=BA$.

$\begin{array}{l}\Rightarrow \overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CA}\\ \iff \left|\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}\right|=\left|\overrightarrow{CA}\right|=CA\end{array}$

Xét tam giác ABC, ta có:

$BA=BC$ và $\widehat{BAC}=\frac{1}{2}.\widehat{BAD}={60}^o$

$\Rightarrow \mathrm{\Delta }ABC$ đều, hay $CA=BC=1$

Vậy $\left|\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}\right|=1.$

Dựa vào tính chất kết hợp, ta có:

$\begin{array}{l}\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BA}=\left(\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{CD}\right)+\overrightarrow{BA}\\ =\left(\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DB}\right)+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CA}.\\ \Rightarrow \left|\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BA}\right|=\left|\overrightarrow{CA}\right|=CA=1.\end{array}$

2. HIệu của hai vectơ

HĐ4 trang 52 Toán lớp 10: Thế nào là hai lực cân bằng? Nếu dùng hai vectơ để biểu diễn hai lực cần bằng thì hai vectơ này có mối quan hệ gì với nhau?

Lời giải:

Chẳng hạn khi hai đội kéo co bất phân thắng bại.

Hai đội cùng kéo dây nhằm kéo dây về phía mình, khi lực từ hai phía bằng nhau thì điểm buộc dây gần như không dịch chuyển. Khi đó ta nói lực kéo của hai đội là cân bằng.

Vecto biểu diễn lực, thể hiện phương, chiều và độ lớn. Dễ thấy hai lực này ngược hướng (cùng phương, ngược chiều) và có chung điểm đầu là điểm cân bằng, độ lớn như nhau.

Vậy hai lực cân bằng là hai lực mà khi tác dụng đồng thời vào 1 điểm (hay vật) thì điểm (vật) đó không di chuyển.

Giải Toán 10 trang 53 Tập 1 Kết nối tri thức

Luyện tập 2 trang 53 Toán lớp 10: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD và O là trung điểm của MN. Chứng minh rằng: $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}.$

Phương pháp giải:

Nếu I là trung điểm của AB thì $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}$.

Lời giải:

Dễ thấy: $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MA}$; $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MB}$

Tương tự: $\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{NC}$; $\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{ND}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\left(\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MA}\right)+\left(\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MB}\right)+\left(\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{NC}\right)+\left(\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{ND}\right)\\ =\left(\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right)+\left(\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{ND}\right)\\ =\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{ON}\\ =\left(\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}\right)+\left(\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}\right)\\ =\overrightarrow{0}+\overrightarrow{0}\\ =\overrightarrow{0}.\end{array}$

Giải Toán 10 trang 54 Tập 1 Kết nối tri thức

Vận dụng trang 54 Toán lớp 10: Tính lực kéo cần thiết để kéo một khẩu pháo có trọng lượng 22 148 N (ứng với khối lượng xấp xỉ 2 260kg) lên một con dốc nghiêng ${30}^o$ so với phương nằm ngang (H.4.18). Nếu lực kéo của mỗi người bằng 100N, thì cần tối thiểu bao nhiêu người để kéo pháo?

Phương pháp giải:

Khi cân bằng lực (trọng lực, phản lực, lực kéo) thì khẩu pháo đứng yên, do đó để kéo được khẩu pháo lên thì lực kéo phải lớn hơn hoặc bằng tổng hợp lực của trọng lực và phản lực.

Tìm hướng và độ lớn của tổng hợp lực giữa trọng lực và phản lực, từ đó suy ra độ lớn của lực kéo.

Lời giải:

Khẩu pháo chịu tác động của ba lực: trọng lực $\overrightarrow{P}$(kí hiệu $\overrightarrow{OA}$), phản lực $\overrightarrow{w}$(kí hiệu $\overrightarrow{OB}$) và lực kéo $\overrightarrow{F}$. Để kéo pháo thì độ lớn của lực kéo phải lớn hơn độ lớn của lực kéo khi pháo cân bằng $\overrightarrow{F_o}$(kí hiệu $\overrightarrow{O{F}_o}$ )

Khi pháo cân bằng thì: $\overrightarrow{P}+\overrightarrow{w}+\overrightarrow{F_o}=\overrightarrow{0}$

Để tổng hợp lực $\overrightarrow{P}$ và $\overrightarrow{w}$, ta vẽ hình bình hành OACB.

Ta có:

$OB=AC;OB//AC\Rightarrow \overrightarrow{OB}=\overrightarrow{AC}$

$\Rightarrow \overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}$

$\Rightarrow \overrightarrow{0}=\overrightarrow{P}+\overrightarrow{w}+\overrightarrow{F_o}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{O{F}_o}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{O{F}_o}$

$\Rightarrow O$ là trung điểm của $C{F}_o$, hay $OC=\left|\overrightarrow{F_o}\right|$.

Lại có: $OB\mathrm{\perp }OC$(do $\overrightarrow{OB}$ là phản lực)

$\Rightarrow AC\mathrm{\perp }CO\Rightarrow OC=OA.\cos \widehat{AOC}$

Mà $\widehat{AOC}={90}^o-{30}^o={60}^o$; $\left|\overrightarrow{P}\right|=OA=22148N$

$\Rightarrow OC=22148.\cos {60}^o=11074\left(N\right)$

Vậy lực $\overrightarrow{F_o}$có độ lớn là $11074N$, để kéo pháo thì lực $\overrightarrow{F}$ cùng hướng với $\overrightarrow{F_o}$ và $\left|\overrightarrow{F}\right|>11074N$

Vì $11074:100=110,74$ nên cần tối thiểu 111 người để kéo pháo.

Bài tập

Bài 4.6 trang 54 Toán lớp 10: Cho bốn điểm $A,B,C,D$. Chứng minh rằng:

a)  $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{0}$

b) $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BD}$

Phương pháp giải:

Với 3 điểm A, B, C bất kì, ta có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}$

Lời giải:

a)

 $\begin{array}{l}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right)+\left(\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}\right)\\ =\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AA}=\overrightarrow{0}.\end{array}$

b)

$\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DC}$ và $\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{DC}$

$\Rightarrow \overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BD}$

Bài 4.7 trang 54 Toán lớp 10: Cho hình bình hành ABCD. Hãy tìm điểm M để $\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$. Tìm mối quan hệ giữa hai vectơ $\overrightarrow{CD}$ và $\overrightarrow{CM}$.

Phương pháp giải:

Bước 1: Xác định vectơ $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$ dựa vào quy tắc hình bình hành, từ đó xác định điểm M.

Bước 2: Nhận xét về phương và chiều của hai vectơ $\overrightarrow{CD}$ và $\overrightarrow{CM}$ hoặc tìm biểu thức liên hệ giữa hai vectơ đó.

Lời giải:

Ta có: $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$ (do ABCD là hình bình hành)

$\Rightarrow \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$

$\Rightarrow \overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$

$\Rightarrow$ Tứ giác ABMC là hình bình hành.

$\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CM}$. Mà $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$

$\Rightarrow \overrightarrow{DC}=\overrightarrow{CM}$

$\Rightarrow C$là trung điểm DM.

Nói cách khác: $\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{0}$ hay hai vectơ $\overrightarrow{CD}$ và $\overrightarrow{CM}$đối nhau.

Chú ý khi giải

+) Tứ giác ABCD là hình bình hành $\iff \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$

+) ABCD là hình bình hành thì $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$

Bài 4.8 trang 54 Toán lớp 10: Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Tính độ dài của các vectơ $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}.$

Phương pháp giải:

Với 3 điểm A, B, C bất kì, ta có: $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}$

Tứ giác MNPQ là hình bình hành thì $\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{MQ}=\overrightarrow{MP}$

Lời giải:

$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}\Rightarrow \left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{CB}\right|=CB=a.$

Dựng hình bình hành ABDC tâm O như hình vẽ.

Ta có:

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}$

$\Rightarrow \left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{AD}\right|=AD$

Vì tứ giác ABDC là hình bình hành, lại có $AB=AC=BD=CD=a$ nên ABDC là hình thoi.

$\Rightarrow AD=2AO=2.AB.\sin B=2a.\frac{\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}.$

Vậy $\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right|=a$ và $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|=a\sqrt{3}$.

Bài 4.9 trang 54 Toán lớp 10: Hình 4.19 biểu diễn hai lực $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2}$ cùng tác động lên một vật, cho $\left|\overrightarrow{F_1}\right|=3N,\left|\overrightarrow{F_2}\right|=2N.$ Tính độ lớn của hợp lực $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}$.

Phương pháp giải:

Để tìm tổng của hai vectơ chung gốc $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ ta dựng hình hình bành ABDC, khi đó:$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}$

Lời giải:

Dựng hình bình hành ABDC với hai cạnh là hai vectơ $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2}$như hình vẽ

Ta có:

$\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AD}\Rightarrow \left|\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}\right|=\left|\overrightarrow{AD}\right|=AD$

Xét $\mathrm{\Delta }ABD$ ta có:

$BD=AC=\left|\overrightarrow{F_1}\right|=3,AB=\left|\overrightarrow{F_2}\right|=2.$

$\widehat{ABD}={180}^o-\widehat{BAC}={180}^o-{120}^o={60}^o$

Theo định lí cosin ta có:

$\begin{array}{l}A{D}^2=A{B}^2+B{D}^2-2.AB.BD.\cos \widehat{ABD}\\ \iff A{D}^2=2^2+3^2-\mathrm{2.2.3.}\cos {120}^o\\ \iff A{D}^2=19\\ \iff AD=\sqrt{19}\end{array}$

Vậy $\left|\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}\right|=\sqrt{19}$

Bài 4.10 trang 54 Toán lớp 10: Hai con tàu xuất phát cùng lúc từ bờ bên này sang bờ bên kia của dòng sông với vận tốc riêng không khổi và có độ lớn bàng nhau. Hai tàu luôn dược giữ lái sao cho chúng tạo với bờ cùng một góc nhọn nhưng một tàu hướng xuống hạ lưu, một tàu hướng lên thượng nguồn (hình bên). Vận tốc dòng nước là đáng kể, các yêu tố bên ngoài khác không ảnh hưởng tới vận tốc của các tàu. Hỏi tàu nào sang bờ bên kia trước.

Phương pháp giải:

Biểu diễn hướng đi của hai tàu.

Phân tích theo vectơ vận tốc riêng và vận tốc dòng nước.

Lời giải:

Ta đã biết vectơ dòng nước và hướng di chuyển (tức là vectơ vận tốc thực của hai tàu).

Ta cần xác định vectơ vận tốc của mỗi tàu, chỉ biết chúng có độ lớn bằng nhau.

Giả sử tàu 1 là tàu đi về phía hạ lưu còn tàu 2 là tàu đi về phía thượng nguồn.

Tàu 1 và tàu 2 bắt đầu di chuyển từ điểm A và A’ ở bờ bên này đến điểm E, E’ ở bờ bên kia.

Vecto vận tốc dòng nước tác động lên tàu là như nhau, biểu diễn bởi các vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}$

Gọi vectơ vận tốc riêng của hai tàu lần lượt là các vectơ $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{A^{\prime }{D}^{\prime }}$

Vecto vận tốc thực của hai tàu là vectơ $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}$.

Với tàu 1, để xác định các điểm C, D:

Từ B ta kẻ đường vuông góc với bờ, cắt AE tại một điểm, kí hiệu là C. Tiếp theo, dựng hình bình hành ABCD ta được điểm D.

Với tàu 2, để xác định các điểm C’, D’

Trên A’E’ lấy điểm C’ sao cho B’C’= AD. Dựng hình bình hành A’B’C’D’, ta được điểm D’.

Giải thích:

Tàu 1: Được dòng nước đẩy theo vectơ $\overrightarrow{AB}$, và đi với vận tốc thực là vectơ $\overrightarrow{AD}$, khi ấy hướng di chuyển là vectơ tổng $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$ chính là vectơ $\overrightarrow{AC}$

Tàu 2: Bị dòng nước đẩy theo vectơ $\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}$, và đi với vận tốc thực là vectơ $\overrightarrow{A^{\prime }{D}^{\prime }}$, khi ấy hướng di chuyển là vectơ tổng $\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}+\overrightarrow{A^{\prime }{D}^{\prime }}$ chính là vectơ $\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}$

Các vectơ $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{A^{\prime }{D}^{\prime }}$có độ dài bằng nhau (cùng bằng B’C’).

Do hai tàu chuyển động theo hướng tạo với bờ cùng một góc nhọn nên quãng đường đường đi khi chạm bờ bên kia là như nhau. Hay AE = A’E’.

Tàu nào có độ lớn vận tốc thực lớn hơn thì tàu đó sang bờ bên kia trước.

Xét tam giác A’B’C’, theo định lí cosin ta có:

$A^{\prime }C{}^{\prime 2}=A^{\prime }B{}^{\prime 2}+B^{\prime }C{}^{\prime 2}-2A^{\prime }{B}^{\prime }.B^{\prime }{C}^{\prime }.\cos B^{\prime }$

Mà $0^o<\widehat{B^{\prime }}<\widehat{C^{\prime }{A}^{\prime }x}<{90}^o\Rightarrow \cos B^{\prime }>0$

$\Rightarrow A^{\prime }C{}^{\prime 2}<A^{\prime }B{}^{\prime 2}+B^{\prime }C{}^{\prime 2}$

Mặt khác, tam giác ABC vuông tại B nên: $A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2=A{B}^2+A{D}^2$

$\Rightarrow A^{\prime }C{}^{\prime 2}<A{C}^2$ hay $A^{\prime }{C}^{\prime }<AC$

Vậy vận tốc của tàu 1 lớn hơn, nói cách khác tàu đi hướng xuống hạ lưu sẽ sang bờ bên kia trước.

Lý thuyết Tổng và hiệu của hai vectơ

1. Tổng của hai vectơ

– Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$. Lấy một điểm A tùy ý và vẽ $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{b}$. Khi đó vectơ $\overrightarrow{AC}$được gọi là tổng của hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ và được kí hiệu là $\overrightarrow{a}$ + $\overrightarrow{b}$.

– Phép lấy tổng của hai vectơ được gọi là phép cộng vectơ.

– Quy tắc ba điểm: Với ba điểm bất kì A, B, C, ta có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ .

– Quy tắc hình bình hành: Nếu ABCD là hình bình hành thì $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$.

– Với ba vectơ; $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$ tùy ý :

+ Tính chất giao hoán: $\overrightarrow{a}$+ $\overrightarrow{b}$= $\overrightarrow{b}$ + $\overrightarrow{a}$;

+ Tính chất kết hợp: ($\overrightarrow{a}$ + $\overrightarrow{b}$) + $\overrightarrow{c}$ = $\overrightarrow{a}$ + ($\overrightarrow{b}$ + $\overrightarrow{c}$);

+ Tính chất của vectơ–không: $\overrightarrow{a}$ + $\overrightarrow{0}$ = $\overrightarrow{0}$+ $\overrightarrow{a}$ = $\overrightarrow{a}$.

Chú ý: Do các vectơ ($\overrightarrow{a}$ + $\overrightarrow{b}$) + $\overrightarrow{c}$ và $\overrightarrow{a}$ + ($\overrightarrow{b}$ + $\overrightarrow{c}$) bằng nhau, nên ta còn viết chúng dưới dạng $\overrightarrow{a}$ + $\overrightarrow{b}$ + $\overrightarrow{c}$ và gọi là tổng của ba vectơ $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$. Tương tự, ta cũng có thể viết tổng của một số vectơ mà không cần dùng dấu ngoặc.

Ví dụ: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1. Tính độ dài của các vectơ $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DC}$, $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{BD}$.

Hướng dẫn giải

Khi đó $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DC}$ = $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}$ = $\overrightarrow{AC}$.

Suy ra : $|\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DC}|$ = $\left|\overrightarrow{AC}\right|$.

Mặt khác ABCD là hình vuông có các cạnh bằng 1 nên độ dài đường chéo AC = $\sqrt{2}$.

Và $\left|\overrightarrow{AC}\right|$ = AC, suy ra $\left|\overrightarrow{AC}\right|$ = $\sqrt{2}$.

Do đó $|\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DC}|$ = $\left|\overrightarrow{AC}\right|$= $\sqrt{2}$.

Ta có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{BD}$ = ($\overrightarrow{AB}$ + $\overrightarrow{BD}$) + $\overrightarrow{DC}$ = $\overrightarrow{AD}$ + $\overrightarrow{DC}$ = $\overrightarrow{AC}$.

Suy ra $|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{BD}|$ = $\left|\overrightarrow{AC}\right|=\sqrt{2}$.

Vậy $|\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DC}|$ = $\sqrt{2}$; $|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{BD}|$ = $\sqrt{2}$.

2. Hiệu của hai vectơ

– Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với vectơ $\overrightarrow{a}$ được gọi là vectơ đối của vectơ $\overrightarrow{a}$. Vectơ đối của vectơ $\overrightarrow{a}$ kí hiệu là –$\overrightarrow{a}$.

– Vectơ được coi là vectơ đối của chính nó.

– Hai vectơ đối nhau khi và chỉ khi tổng của chúng bằng $\overrightarrow{0}$.

– Vectơ $\overrightarrow{a}$+ (–$\overrightarrow{b}$) được gọi là hiệu của hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ và được kí hiệu là $\overrightarrow{a}$– $\overrightarrow{b}$. Phép lấy hiệu hai vectơ được gọi là phép trừ vectơ.

– Nếu $\overrightarrow{b}$+ $\overrightarrow{c}$= $\overrightarrow{a}$ thì $\overrightarrow{a}$– $\overrightarrow{b}$ = $\overrightarrow{a}$+ (–$\overrightarrow{b}$) = $\overrightarrow{c}$ + $\overrightarrow{b}$+ (–$\overrightarrow{b}$) = $\overrightarrow{c}$+ $\overrightarrow{0}$ = $\overrightarrow{c}$.

– Quy tắc hiệu: Với ba điểm O, M, N, ta có $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{ON}=\left(-\overrightarrow{OM}\right)+\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OM}$.

Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD và một điểm O bất kì. Chứng minh rằng $\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OD}$.

Hướng dẫn giải

Áp dụng quy tắc hiệu, ta có $\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{AB}$; $\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{DC}$.

Mặt khác, vì ABCD là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$.

Vậy $\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OD}$.

Nhận xét: Trong vật lý, trọng tâm của một vật là điểm đặt của trọng lực tác dụng lên vật đó. Đối với một vật mỏng hình đa giác A₁A₂…A_n thì trọng tâm của nó là điểm G thỏa mãn $\overrightarrow{G{A}_1}+\overrightarrow{G{A}_2}+\mathrm{\dots }+\overrightarrow{G{A}_n}=\overrightarrow{0}$.

Ví dụ:

– Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}$

– Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$.

Chú ý:

– Phép cộng tương ứng với các quy tắc tổng hợp lực, tổng hợp vận tốc:

+ Nếu hai lực cùng tác động vào chất điểm A và được biểu diễn bởi các vectơ $\overrightarrow{u_1}$, $\overrightarrow{u_2}$ thì hợp lực tác động vào A được biểu diễn bởi vectơ $\overrightarrow{u_1}$ + $\overrightarrow{u_2}$.

+ Nếu một con thuyền di chuyển trên sông với vận tốc riêng (vận tốc so với dòng nước) được biểu diễn bở vectơ $\overrightarrow{v_r}$ và vận tốc của dòng nước (so với bờ) được biểu diễn bởi vectơ $\overrightarrow{v_n}$ thì vận tốc thực tế của thuyền (so với bờ) được biểu diễn bởi vectơ $\overrightarrow{v_r}$ + $\overrightarrow{v_n}$.

Ví dụ: Con tàu di chuyển từ bờ sông bên này sang bờ sông bên kia với vận tốc riêng không đổi. Vectơ vận tốc thực tế của tàu được biểu thị như sau:

Ta biểu thị hai bờ sông là hai đường thẳng d₁, d₂ song song với nhau. Giả sử tàu xuất phát từ A và bánh lái luôn giữ để tàu tạo với bờ góc α.

Gọi $\overrightarrow{v_r}$, $\overrightarrow{v_n}$ lần lượt là vectơ vận tốc riêng của tàu và vận tốc dòng nước.

Khi đó tàu chuyển động với vận tốc thực tế là: $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v_r}+\overrightarrow{v_n}$.

Xem thêm các bài giải SGK Toán 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 7: Các khái niệm mở đầu

Bài 9: Tích của một vecto với một số

Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ

Bài 11: Tích vô hướng của hai vecto