Giải SGK Toán 10 Bài 10 (Kết nối tri thức): Vectơ trong mặt phẳng tọa độ

Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ

Giải Toán 10 trang 59 Tập 1 Kết nối tri thức

Câu hỏi mở đầu trang 59 Toán lớp 10: Một bản tin dự báo thời tiết thể hiện đường đi trong 12 giờ của một cơn bão trên một mặt phẳng tọa độ. Trong khoảng thời gian đó, tâm bāo di chuyển thẳng đều từ vị trí có tọa độ (13,8; 108,3) đến vị trí có toạ độ (14,1;106,3). Dựa vào thông tin trên, liệu ta có thể dự đoán được vị trí của tâm bão tại thời điểm bất kì trong khoảng thời gian 12 giờ đó hay không?

Luyện tập 1 trang 6 Toán lớp 10 Tập 1 | Kết nối tri thức (ảnh 1)

Lời giải:

Luyện tập 1 trang 6 Toán lớp 10 Tập 1 | Kết nối tri thức (ảnh 2)

Gọi M (x; y) là vị trí của tâm bão tại thời điểm t giờ.

Tâm bão chuyển động đều từ A (13,8; 108,3) đến B (14,1;106,3).

Khi đó ta có: $\vec{A M} = \frac{t}{12} . \vec{A B}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow (x - 13, 8; y - 108, 3) = \frac{t}{12} . (14, 1 - 13, 8; 106, 3 - 108, 3) \\ \Leftrightarrow (x - 13, 8; y - 108, 3) = \frac{t}{12} . (0, 3; - 2) \\ \Leftrightarrow {\begin{cases} x - 13, 8 = \frac{t}{40} \\ y - 108, 3 = - \frac{t}{6} \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} x = 13, 8 + \frac{t}{40} \\ y = 108, 3 - \frac{t}{6} \end{cases} \end{array}$

Vậy tại thời điểm t giờ, tâm bão ở vị trí $M (13, 8 - \frac{t}{40}; 108, 3 - \frac{t}{6})$

1. Tọa độ của vectơ

Giải Toán 10 trang 60 Tập 1 Kết nối tri thức

HĐ1 trang 60 Toán lớp 10: Trên trục số Ox, gọi A là điểm biểu diễn số 1 và đặt $\vec{O A} = \vec{i}$ (H.4.32a). Gọi M là điểm biểu diễn số 4, N là điểm biểu diễn số $- \frac{3}{2}$ . Hãy biểu thị mỗi vectơ $\vec{O M}, \vec{O N}$ theo vectơ $\vec{i}$ .

Câu hỏi mở đầu trang 59 Toán lớp 10 Tập 1 | Kết nối tri thức (ảnh 1)

Phương pháp giải:

+) $\vec{a} = k . \vec{b}, (k > 0) \Leftrightarrow$ Vecto $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng hướng, $| \vec{a} | = k . | \vec{b} | (k > 0)$

+) $\vec{a} = k . \vec{b}, (k < 0) \Leftrightarrow$ Vecto $\vec{a}$ và $\vec{b}$ ngược hướng, $| \vec{a} | = - k . | \vec{b} | (k < 0)$

( $\vec{b} \neq \vec{0}$ )

Lời giải:

Dễ thấy:

vectơ $\vec{O M}$ cùng hướng với vectơ $\vec{i}$ và $| \vec{O M} | = 4 = 4 | \vec{i} |$

Do đó: $\vec{O M} = 4 . \vec{i}$

Tương tự, vectơ $\vec{O N}$ ngược hướng với vectơ $\vec{i}$ và $| \vec{O N} | = \frac{3}{2} = \frac{3}{2} | \vec{i} |$

Do đó: $\vec{O N} = - \frac{3}{2} . \vec{i}$

Giải Toán 10 trang 61 Tập 1 Kết nối tri thức

HĐ2 trang 61 Toán lớp 10: Trong Hình 4.33:

a) Hãy biểu thị mỗi vectơ $\vec{O M}, \vec{O N}$ theo các vectơ $\vec{i}, \vec{j}$ .

b) Hãy biểu thị vectơ $\vec{M N}$ theo các vectơ $\vec{O M}, \vec{O N}$ từ đó biểu thị vectơ $\vec{M N}$ theo các vectơ $\vec{i}, \vec{j}$ .

HĐ1 trang 60 Toán lớp 10 Tập 1 | Kết nối tri thức (ảnh 1)

Phương pháp giải:

a) Quy tắc hình bình hành:

Tứ giác OAMB là hình bình hành thì $\vec{O M} = \vec{O A} + \vec{O B}$

b) Quy tắc hiệu: $\vec{M N} = \vec{O N} - \vec{O M}$

Lời giải:

Dựng hình bình hành OAMB và OCND như hình dưới:

HĐ1 trang 60 Toán lớp 10 Tập 1 | Kết nối tri thức (ảnh 2)

Khi đó: $\vec{O M} = \vec{O A} + \vec{O B}$ và $\vec{O N} = \vec{O C} + \vec{O D}$ .

Dễ thấy:

$\vec{O A} = 3 \vec{i}; \vec{O B} = 5 \vec{j}$ và $\vec{O C} = - 2 \vec{i}; \vec{O D} = \frac{5}{2} \vec{j}$

$\Rightarrow {\begin{cases} \vec{O M} = 3 \vec{i} + 5 \vec{j} \\ \vec{O N} = - 2 \vec{i} + \frac{5}{2} \vec{j} \end{cases}$

b) Ta có: $\vec{M N} = \vec{O N} - \vec{O M}$ (quy tắc hiệu)

$\begin{array}{l} \Rightarrow \vec{M N} = (- 2 \vec{i} + \frac{5}{2} \vec{j}) - (3 \vec{i} + 5 \vec{j}) \\ \Leftrightarrow \vec{M N} = (- 2 \vec{i} - 3 \vec{i}) + (\frac{5}{2} \vec{j} - 5 \vec{j}) \\ \Leftrightarrow \vec{M N} = - 5 \vec{i} - \frac{5}{2} \vec{j} \end{array}$

Vậy $\vec{M N} = - 5 \vec{i} - \frac{5}{2} \vec{j}$

Luyện tập 1 trang 61 Toán lớp 10: Tìm tọa độ của $\vec{0}$

Lời giải:

Vì: $\vec{0} = 0. \vec{i} + 0. \vec{j}$ nên $\vec{0}$ có tọa độ là (0;0).

2. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

HĐ3 trang 61 Toán lớp 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho $\vec{u} = (2; - 3), \vec{v} = (4; 1), \vec{a} = (8; - 12)$

a) Hãy biểu thị mỗi vectơ $\vec{u}, \vec{v}, \vec{a}$ theo các vectơ $\vec{i}, \vec{j}$

b) Tìm tọa độ của các vectơ $\vec{u} + \vec{v}, 4. \vec{u}$

c) Tìm mối liên hệ giữa hai vectơ $\vec{u}, \vec{a}$

Phương pháp giải:

a) Vectơ $\vec{a}$ có tọa độ (x;y) thì $\vec{a} = x . \vec{i} + y . \vec{j}$

Bước 1: Tính $\vec{u} + \vec{v}, 4. \vec{u}$ theo các vectơ $\vec{i}, \vec{j}$

Bước 2: Suy ra tọa độ của các vectơ $\vec{u} + \vec{v}, 4. \vec{u}$

Quan sát biểu thị theo các vectơ $\vec{i}, \vec{j}$ của các vectơ $\vec{u}, \vec{a}$ để suy ra mối liên hệ.

Lời giải:

a) Ta có: $\vec{u} = (2; - 3)$

$\Rightarrow \vec{u} = 2. \vec{i} + (- 3) . \vec{j}$

Tương tự ta có: $\vec{v} = (4; 1), \vec{a} = (8; - 12)$

$\Rightarrow \vec{v} = 4. \vec{i} + 1. \vec{j}; \vec{a} = 8. \vec{i} + (- 12) . \vec{j}$

b) Ta có: ${\begin{cases} \vec{u} = 2. \vec{i} + (- 3) . \vec{j} \\ \vec{v} = 4. \vec{i} + 1. \vec{j} \end{cases}$ (theo câu a)

$\begin{array}{l} \Rightarrow {\begin{cases} \vec{u} + \vec{v} = (2. \vec{i} + (- 3) . \vec{j}) + (4. \vec{i} + 1. \vec{j}) \\ 4. \vec{u} = 4 (2. \vec{i} + (- 3) . \vec{j}) \end{cases} \\ \Leftrightarrow {\begin{cases} \vec{u} + \vec{v} = (2. \vec{i} + 4. \vec{i}) + ((- 3) . \vec{j} + 1. \vec{j}) \\ 4. \vec{u} = 4.2. \vec{i} + 4. (- 3) . \vec{j} \end{cases} \\ \Leftrightarrow {\begin{cases} \vec{u} + \vec{v} = 6. \vec{i} + (- 2) . \vec{j} \\ 4. \vec{u} = 8. \vec{i} + (- 12) . \vec{j} \end{cases} \end{array}$

c) Vì ${\begin{cases} 4. \vec{u} = 8. \vec{i} + (- 12) . \vec{j} \\ \vec{a} = 8. \vec{i} + (- 12) . \vec{j} \end{cases}$ nên ta suy ra $4. \vec{u} = \vec{a}$

Giải Toán 10 trang 62 Tập 1 Kết nối tri thức

HĐ4 trang 62 Toán lớp 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm $M (x_{o}; y_{o})$ . Gọi P, Q tương ứng là hình chiếu vuông góc của M trên trục hoành Ox và trục tung Oy (H.4.35)

a) Trên trục Ox, điểm P biểu diễn số nào? Biểu thị $\vec{O P}$ theo $\vec{i}$ và tính độ dài của $\vec{O P}$ theo $x_{o}$ .

b) Trên trục Oy, điểm Q biểu diễn số nào? Biểu thị $\vec{O Q}$ theo $\vec{j}$ và tính độ dài của $\vec{O Q}$ theo $y_{o}$ .

c) Dựa vào hình chữ nhật OPMQ, tính độ dài của $\vec{O M}$ theo $x_{o}, y_{o} .$

d) Biểu thị $\vec{O M}$ theo các vectơ $\vec{i}, \vec{j}$ .

Phương pháp giải:

a) P biểu diễn hoành độ của điểm M.

b) Q biểu diễn tung độ của điểm M.

c) Tính độ dài của $\vec{O M}$ theo các cạnh của hình chữ nhật dựa vào định lí Pytago

d) Biểu thị $\vec{O M}$ theo các vectơ $\vec{O P}$ , $\vec{O Q}$ (quy tắc hình bình hành)

Lời giải:

a) Vì P là hình chiếu vuông góc của M trên Ox nên điểm P biểu diễn hoành độ của điểm M là số $x_{o}$

Ta có: vectơ $\vec{O P}$ cùng phương, cùng hướng với $\vec{i}$ và $| \vec{O P} | = x_{o} = x_{o} . | \vec{i} |$

$\Rightarrow \vec{O P} = x_{o} . \vec{i}$ .

b) Vì Q là hình chiếu vuông góc của M trên Oy nên điểm Q biểu diễn tung độ của điểm M là số $y_{o}$

Ta có: vectơ $\vec{O Q}$ cùng phương, cùng hướng với $\vec{j}$ và $| \vec{O Q} | = y_{o} = y_{o} . | \vec{j} |$

$\Rightarrow \vec{O Q} = y_{o} . \vec{j}$ .

c) Ta có: $\vec{O M} = O M$ .

Mà $O M^{2} = O P^{2} + M P^{2} = O P^{2} + O Q^{2} = {x_{o}}^{2} + {y_{o}}^{2}$

$\Rightarrow | \vec{O M} | = \sqrt{{x_{o}}^{2} + {y_{o}}^{2}}$

d) Ta có: Tứ giác OPMQ là hình chữ nhật, cũng là hình bình hành nên $\vec{O M} = \vec{O P} + \vec{O Q}$

$\Rightarrow \vec{O M} = x_{o} . \vec{i} + y_{o} . \vec{j}$

HĐ5 trang 62 Toán lớp 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm M(x;y) và N(x’; y’)

a) Tìm tọa độ của các vectơ $\vec{O M}, \vec{O N}$ .

b) Biểu thị vectơ $\vec{M N}$ theo các vectơ $\vec{O M}, \vec{O N}$ và tọa độ của $\vec{M N}$ .

c) Tìm độ dài của vectơ $\vec{M N}$

Phương pháp giải:

a) Tọa độ của vectơ $\vec{O M}, \vec{O N}$ chính là tọa độ của M, N

b) Biểu thị vectơ $\vec{M N}$ theo các vectơ $\vec{O M}, \vec{O N}$ bằng quy tắc hiệu.

Tìm tọa độ của $\vec{M N}$ dựa vào biểu thị theo hiệu ở trên và tọa độ của vectơ $\vec{O M}, \vec{O N}$ đã biết.

c) Độ dài của vectơ $\vec{M N} (a; b)$ là $| \vec{M N} | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Lời giải:

a) Vì điểm M có tọa độ (x; y) nên vectơ $\vec{O M}$ có tọa độ (x; y).

Và điểm N có tọa độ (x’; y’) nên vectơ $\vec{O N}$ có tọa độ (x’; y’).

b) Ta có: $\vec{M N} = \vec{O N} - \vec{O M}$ (quy tắc hiệu)

Mà $\vec{O M}$ có tọa độ (x; y); $\vec{O N}$ có tọa độ (x’; y’).

$\Rightarrow \vec{M N} = (x^{'}; y^{'}) - (x; y) = (x^{'} - x; y^{'} - y)$

c) Vì $\vec{M N}$ có tọa độ $(x^{'} - x; y^{'} - y)$ nên

Giải Toán 10 trang 63 Tập 1 Kết nối tri thức

Luyện tập 2 trang 63 Toán lớp 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(2; 1), B(3; 3).

a) Các điểm O, A, B có thẳng hàng hay không?

b) Tìm điểm M(x; y) để OABM là một hình hành.

Phương pháp giải:

a) Các điểm O, A, B thẳng hàng khi và chỉ khi hai vectơ $\vec{O A}, \vec{O B}$ cùng phương

b) OABM là một hình hành khi và chỉ khi $\vec{O A} = \vec{M B}$

Lời giải:

a) Ta có: $\vec{O A} = (2; 1)$ ( do A(2; 1)) và $\vec{O B} = (3; 3)$ (do B (3; 3)).

Hai vectơ này không cùng phương (vì $\frac{2}{3} \neq \frac{1}{3}$ ).

Do đó các điểm O, A, B không cùng nằm trên một đường thẳng.

Vậy chúng không thẳng hàng.

b) Các điểm O, A, B không thẳng hàng nên OABM là một hình hành khi và chỉ khi $\vec{O A} = \vec{M B}$ .

HĐ5 trang 62 Toán lớp 10 Tập 1 | Kết nối tri thức (ảnh 1)

Do $\vec{O A} = (2; 1), \vec{M B} = (3 - x; 3 - y)$ nên

$\vec{O A} = \vec{M B} \Leftrightarrow {\begin{cases} 2 = 3 - x \\ 1 = 3 - y \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} x = 1 \\ y = 2 \end{cases}$

Vậy điểm cần tìm là M (1; 2).

Giải Toán 10 trang 64 Tập 1 Kết nối tri thức

Vận dụng trang 64 Toán lớp 10: Từ thông tin dự báo được đưa ra ở đầu bài học, hãy xác định tọa độ vị trí M của tâm bão tại thời điểm 9 giờ trong khoảng thời gian 12 giờ của dự báo.

Luyện tập 2 trang 63 Toán lớp 10 Tập 1 | Kết nối tri thức (ảnh 1)

Lời giải:

Gọi tọa độ điểm M là (x; y)

Theo dự báo, tại thời điểm 9 giờ, tâm bão đã đi được $\frac{9}{12} = \frac{3}{4}$ khoảng cách từ A tới B.

Hay $A M = \frac{3}{4} . A B \Rightarrow \vec{A M} = \frac{3}{4} . \vec{A B}$ (*)

Mà $\vec{A M} = (x - 13, 8; y - 108, 3),$ $\vec{A B} = (14, 1 - 13, 8; 106, 3 - 108, 3) = (0, 3; - 2)$

Do đó $(*) \Leftrightarrow {\begin{cases} x - 13, 8 = \frac{3}{4} .0, 3 \\ y - 108, 3 = \frac{3}{4} . (- 2) \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} x = 14, 025 \\ y = 106, 8 \end{cases}$

Vậy tọa độ điểm M là (14,025; 106,8)

Bài tập

Giải Toán 10 trang 65 Tập 1 Kết nối tri thức

Bài 4.16 trang 65 Toán lớp 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm M(1; 3), N(4; 2)

a) Tính độ dài các đoạn thẳng OM, ON, MN.

b) Chứng minh rằng tam giác OMN vuông cân.

Phương pháp giải:

Độ dài vectơ $\vec{O M} (x, y)$ là $| \vec{O M} | = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

Lời giải:

a) Ta có: M(1; 3) và N (4; 2)

$\Rightarrow \vec{O M} (1; 3), \vec{O N} (4; 2), \vec{M N} = (4 - 1; 2 - 3) = (3; - 1)$

$\Rightarrow O M = | \vec{O M} | = \sqrt{1^{2} + 3^{2}} = \sqrt{10},$ $O N = | \vec{O N} | = \sqrt{4^{2} + 2^{2}} = 2 \sqrt{5},$ $M N = | \vec{M N} | = \sqrt{3^{2} + {(- 1)}^{2}} = \sqrt{10}$

b) Dễ thấy: $O M = \sqrt{10} = M N$ $\Rightarrow Δ O M N$ cân tại M.

Lại có: $O M^{2} + M N^{2} = 10 + 10 = 20 = O N^{2}$

$\Rightarrow$ Theo định lí Pythagore đảo, ta có $Δ O M N$ vuông tại M.

Vậy $Δ O M N$ vuông cân tại M.

Bài 4.17 trang 65 Toán lớp 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các vectơ $\vec{a} = 3. \vec{i} - 2. \vec{j},$ $\vec{b} = (4; - 1)$ và các điểm M (-3; 6), N(3; -3).

a) Tìm mối liên hệ giữa các vectơ $\vec{M N}$ và $2 \vec{a} - \vec{b}$ .

b) Các điểm O, M, N có thẳng hàng hay không?

c) Tìm điểm P(x; y) để OMNP là một hình bình hành.

Phương pháp giải:

b) Các điểm O, M, N thẳng hàng khi và chỉ khi hai vectơ $\vec{O M}, \vec{O N}$ cùng phương

c) OMNP là một hình hành khi và chỉ khi $\vec{O M} = \vec{P N}$

Lời giải:

a) Ta có: $\vec{b} = (4; - 1)$ và $\vec{a} = 3. \vec{i} - 2. \vec{j} \Rightarrow \vec{a} (3; - 2)$

$\Rightarrow 2 \vec{a} - \vec{b} = (2.3 - 4; 2. (- 2) - (- 1)) = (2; - 3)$

Lại có: M (-3; 6), N(3; -3)

$\Rightarrow \vec{M N} = (3 - (- 3); - 3 - 6) = (6; - 9)$

Dễ thấy: $(6; - 9) = 3. (2; - 3)$ $\Rightarrow \vec{M N} = 3 (2 \vec{a} - \vec{b})$

b) Ta có: $\vec{O M} = (- 3; 6)$ ( do M(-3; 6)) và $\vec{O N} = (3; - 3)$ (do N (3; -3)).

Hai vectơ này không cùng phương (vì $\frac{- 3}{3} \neq \frac{6}{- 3}$ ).

Do đó các điểm O, M, N không cùng nằm trên một đường thẳng.

Vậy chúng không thẳng hàng.

c) Các điểm O, M, N không thẳng hàng nên OMNP là một hình hành khi và chỉ khi $\vec{O M} = \vec{P N}$ .

Bài 4.16 trang 65 Toán lớp 10 Tập 1 | Kết nối tri thức (ảnh 1)

Do $\vec{O M} = (- 3; 6), \vec{P N} = (3 - x; - 3 - y)$ nên

$\vec{O M} = \vec{P N} \Leftrightarrow {\begin{cases} - 3 = 3 - x \\ 6 = - 3 - y \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} x = 6 \\ y = - 9 \end{cases}$

Vậy điểm cần tìm là P (6; -9).

Bài 4.18 trang 65 Toán lớp 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm A(1; 3), B(2; 4), C(-3; 2).

a) Hãy giải thích vì sao các điểm A, B, C không thẳng hàng.

b) Tìm tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB.

c) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

d) Tìm điểm D(x; y) để O(0; 0) là trọng tâm của tam giác ABD.

Phương pháp giải:

a) Các điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi hai vectơ $\vec{A B}, \vec{A C}$ cùng phương

b) Trung điểm M của đoạn thẳng AB có tọa độ là $(\frac{x_{A} + x_{B}}{2}; \frac{y_{A} + y_{B}}{2})$

c) Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ là $(\frac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3}; \frac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3})$

d) Để O(0; 0) là trọng tâm của tam giác ABD thì $(0; 0) = (\frac{x_{A} + x_{B} + x_{D}}{3}; \frac{y_{A} + y_{B} + y_{D}}{3})$

Lời giải:

Ta có: $\vec{A B} = (2 - 1; 4 - 3) = (1; 1), \vec{A C} = (- 3 - 1; 2 - 3) = (- 4; - 1)$

Hai vectơ này không cùng phương (vì $\frac{1}{- 4} \neq \frac{1}{- 1}$ ).

Do đó các điểm A, B, C không cùng nằm trên một đường thẳng.

Vậy chúng không thẳng hàng.

b) Trung điểm M của đoạn thẳng AB có tọa độ là $(\frac{1 + 2}{2}; \frac{3 + 4}{2}) = (\frac{3}{2}; \frac{7}{2})$

c) Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ là $(\frac{1 + 2 + (- 3)}{3}; \frac{3 + 4 + 2}{3}) = (0; 3)$

d) Để O(0; 0) là trọng tâm của tam giác ABD thì $(0; 0) = (\frac{x_{A} + x_{B} + x_{D}}{3}; \frac{y_{A} + y_{B} + y_{D}}{3})$

$\Leftrightarrow (0; 0) = (\frac{1 + 2 + x}{3}; \frac{3 + 4 + y}{3})$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow (0; 0) = (1 + 2 + x; 3 + 4 + y) \\ \Leftrightarrow (0; 0) = (x + 3; y + 7) \\ \Leftrightarrow {\begin{cases} 0 = x + 3 \\ 0 = y + 7 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} x = - 3 \\ y = - 7 \end{cases} \end{array}$

Vậy tọa độ điểm D là (-3; -7).

Bài 4.19 trang 65 Toán lớp 10: Sự chuyển động của một tàu thủy được thể hiện trên một mặt phẳng tọa độ như sau:

Tàu khởi hành từ vị trí A(1; 2) chuyển động thẳng đều với vận tốc (tính theo giờ) được biểu thị bởi vectơ $\vec{v} = (3; 4)$ . Xác định vị trí của tàu (trên mặt phẳng tọa độ) tại thời điểm sau khi khởi hành 1,5 giờ.

Phương pháp giải:

Lập luận chỉ ra $\vec{A B} = 1, 5. \vec{v}$

Lời giải:

Gọi B(x; y) là vị trí của tàu (trên mặt phẳng tọa độ) tại thời điểm sau khi khởi hành 1,5 giờ.

Do tàu khởi hành từ A đi chuyển với vận tốc được biểu thị bởi vectơ $\vec{v} = (3; 4)$ nên cứ sau mỗi giờ, tàu đi chuyển được một quãng bằng $| \vec{v} |$ .

Vậy sau 1,5 giờ tàu di chuyển tới B, ta được: $\vec{A B} = 1, 5. \vec{v}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow (x - 1; y - 2) = 1, 5 . (3; 4) \\ \Leftrightarrow {\begin{cases} x - 1 = 4, 5 \\ y - 2 = 6 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} x = 5, 5 \\ y = 8 \end{cases} \end{array}$

Vậy sau 1,5 tàu ở vị trí (trên mặt phẳng tọa độ) là B(5,5; 8).

Bài 4.20 trang 65 Toán lớp 10: Trong hình 4.38, quân mã đang ở vị trí có tọa độ (1; 2). Hỏi sau một nước đi, quân mã có thể đến những vị trí nào?

Bài 4.19 trang 65 Toán lớp 10 Tập 1 | Kết nối tri thức (ảnh 1)

Phương pháp giải:

+) Quân mã đi theo đường chéo hình chữ nhật dài 3 ô, rộng 2 ô.

Bước 1: Đánh dấu các vị trí trên bàn cờ mà quân mã có thể đi ở nước cờ tiếp theo.

Bước 2: Chiếu vuông góc xuống các trục Ox, Oy để xác định tọa độ.

Lời giải:

a) Quân mã đi theo đường chéo hình chữ nhật có chiều dài 3 ô, chiều rộng 2 ô.

Do đó, từ vị trí hiện tại, quân mã có thể đi đến các vị trí A, B, C, D, E, F như dưới đây:

Bài 4.19 trang 65 Toán lớp 10 Tập 1 | Kết nối tri thức (ảnh 2)

A có tọa độ (3; 3)

B có tọa độ (3; 1)

C có tọa độ (2; 0)

D có tọa độ (0; 0)

E có tọa độ (0; 4)

F có tọa độ (2; 4)

Vậy quân mã có thể đi đến các vị trí A(3;3), B(3;1), C(2;0), D(0;0), E(0;4), F(2;4).

Lý thuyết Vectơ trong mặt phẳng tọa độ

1. Tọa độ của vectơ

– Trục tọa độ (còn gọi là trục, hay trục số) là một đường thẳng mà trên đó đã xác định một điểm O và một vectơ $\vec{i}$ có độ dài bằng 1. Điểm O gọi là gốc tọa độ, vectơ $\vec{i}$ gọi là vectơ đơn vị của trục. Điểm M trên trục biểu diễn số x₀ nếu $\vec{O M} = x_{0} \vec{i}$

– Trên mặt phẳng với một đơn vị đo độ dài cho trước, xét hai trục Ox, Oy có chung gốc O và vuông góc với nhau. Kí hiệu vectơ đơn vị của trục Ox là $\vec{i}$ , vectơ đơn vị của trục Oy là $\vec{j}$ . Hệ gồm hai trục Ox, Oy như vậy được gọi là hệ trục tọa độ Oxy. Điểm O gọi là gốc tọa độ, trục Ox gọi là trục hoành, trục Oy gọi là trục tung. Mặt phẳng chứa hệ trục tọa độ Oxy gọi là mặt phẳng tọa độ Oxy hay mặt phẳng Oxy.

Lý thuyết Toán 10 Kết nối tri thức Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ

– Mỗi vectơ $\vec{u}$ trên mặt phẳng Oxy, có duy nhất cặp số (x₀; y₀) sao cho $\vec{u} = x_{0} \vec{i} + y_{0} \vec{j}$ .

Ta nói vectơ $\vec{u}$ có tọa độ (x₀; y₀) và viết $\vec{u}$ = (x₀; y₀) hay $\vec{u}$ (x₀; y₀). Các số x₀, y₀ tương ứng được gọi là hoành độ, tung độ của $\vec{u}$ .

– Hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng có cùng tọa độ.

$\vec{u} (x; y) = \vec{v} (x ‘; y ‘) \Leftrightarrow (\begin{matrix} x = x ‘ \\ y = y ‘ . \end{matrix})$

Ví dụ : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, $\vec{u}$ = (2; –4). Hãy biểu diễn vectơ $\vec{u}$ qua vectơ $\vec{i}$ và $\vec{j}$ .

Hướng dẫn giải

Vì $\vec{u}$ = (2; –4) nên $\vec{u} = 2 \vec{i} + (- 4) \vec{j} = 2 \vec{i} - 4 \vec{j}$

Vậy $\vec{u} = 2 \vec{i} - 4 \vec{j}$ .

2. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

Cho hai vectơ $\vec{u}$ = (x; y) và $\vec{v}$ = (x’; y’). Khi đó :

$\vec{u}$ + $\vec{v}$ = (x + x’ ; y + y’) ;

$\vec{u}$ – $\vec{v}$ = (x – x’ ; y – y’) ;

k $\vec{u}$ = (kx ; ky) với k ∈ℝ.

Ví dụ : Cho $\vec{u}$ = (2; 3), = (–1; 2).

a) Tìm tọa độ của $\vec{u}$ + $\vec{v}$ ; $\vec{u}$ – $\vec{v}$ .

b) Tìm tọa độ của vectơ 4 $\vec{u}$ .

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

$\vec{u}$ + $\vec{v}$ = (2 + (–1); 3 + 2) = (1; 5)

$\vec{u}$ – $\vec{v}$ = (2 – (–1); 3 – 2) = (3; 1).

Vậy $\vec{u}$ + $\vec{v}$ = (1; 5) ; $\vec{u}$ – $\vec{v}$ = (3; 1).

b) 4 $\vec{u}$ = (4.2 ; 4.3) = (8; 12)

Vậy 4 $\vec{u}$ = (8; 12).

Nhận xét:

– Vectơ $\vec{v}$ (x’; y’) cùng phương với vectơ $\vec{u}$ (x; y) ≠ $\vec{0}$ khi và chỉ khai tồn tại số k sao cho x’ = kx, y’ = ky (hay là $\frac{x ‘}{x} = \frac{y ‘}{y}$ nếu xy ≠ 0).

– Nếu điểm M có tọa độ (x; y) thì vectơ $\vec{O M}$ có tọa độ (x; y) và độ dài $| \vec{O M} | = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ .

– Với vectơ $\vec{u}$ = (x; y), ta lấy điểm M(x; y) thì $\vec{u}$ = $\vec{O M}$ . Do đó $| \vec{u} | = | \vec{O M} | = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ .

– Với hai điểm M(x; y) và N(x’ ; y’) thì và khoảng cách giữa hai điểm M, N là MN = $| \vec{M N} | = \sqrt{{(x ‘ - x)}^{2} + {(y ‘ - y)}^{2}}$ .

Ví dụ: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A(1; –2), B(3; 2), C(7; 4).

a) Tìm tọa độ của các vectơ $\vec{A B}, \vec{B C}$ .

b) So sánh các khoảng cách từ B tới A và C.

c) Ba điểm A, B, C có thẳng hàng không?

Hướng dẫn giải

a) Ta có $\vec{A B} = (3 - 1; 2 - (- 2)) = (2; 4)$ ;

$\vec{B C} = (7 - 3; 4 - 2) = (4; 2) .$

b) Các khoảng cách từ B đến A và C lần lượt là:

AB = $| \vec{A B} | = \sqrt{2^{2} + 4^{2}} = \sqrt{20} = 2 \sqrt{5}$ ;

BC = $| \vec{B C} | = \sqrt{4^{2} + 2^{2}} = \sqrt{20} = 2 \sqrt{5}$ .

Suy ra AB = BC = $2 \sqrt{5}$ .

Vậy khoảng cách từ B đến A bằng khoảng cách từ B đến C.

c) Hai vectơ $\vec{A B} = (2; 4)$ và $\vec{B C} = (4; 2)$ không cùng phương (vì $\frac{2}{4} \neq \frac{4}{2}$ ).

Do đó các điểm A, B, C không cùng nằm trên cùng một đường thẳng.

Vậy ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

Chú ý:

– Trung điểm M của đoạn thẳng AB có tọa độ là $(\frac{x_{A} + x_{B}}{2}; \frac{y_{A} + y_{B}}{2})$ .

– Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ là $(\frac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3}; \frac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3})$ .

Xem thêm các bài giải SGK Toán 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 9: Tích của một vecto với một số

Bài 11: Tích vô hướng của hai vecto

Bài tập cuối chương 4

Bài 12: Số gần đúng và sai số

Bài liên quan