Chuyên đề Toán 10 Bài tập cuối chuyên đề 2 | Kết nối tri thức

Giải bài tập Chuyên đề Toán 10 Bài tập cuối chuyên đề 2

Bài tập (trang 38)

Bài 2.19 trang 38 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên , ta có:

2.2¹ + 3.2² + 4.2³ + … + (n + 1).2ⁿ = n.2^{n + 1}.

Lời giải:

Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.

Bước 1. Với n = 1 ta có 2.2¹ = 4 = 1.2^{1 + 1}. 

Như vậy khẳng định đúng cho trường hợp n = 1.

Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k, tức là ta có: 

2.2¹ + 3.2² + 4.2³ + … + (k + 1).2^k = k.2^{k + 1}. 

Ta sẽ chứng minh rằng khẳng định cũng đủng với n = k + 1, nghĩa là ta sẽ chứng minh:

2.2¹ + 3.2² + 4.2³ + … + (k + 1).2^k + [(k + 1) + 1].2^{k + 1} = (k + 1)2^{(k + 1) + 1}.

Thật vậy, sử dụng giả thiết quy nạp ta có:

2.2¹ + 3.2² + 4.2³ + … + (k + 1).2^k + [(k + 1) + 1].2^{k + 1}

= k.2^{k + 1} + [(k + 1) + 1].2^{k + 1}

= (2k + 2).2^{k + 1}

= (k + 1).2.2^{k + 1}

= (k + 1)2^{k + 2}

= (k + 1).2^{(k + 1) + 1}.

Vậy khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

Bài 2.20 trang 38 Chuyên đề Toán 10: Đặt $S_n=\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\dots +\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$.

a) Tính S₁, S₂, S₃.

b) Dự đoán công thức tính tổng S_n và chứng minh nó bằng quy nạp.

Lời giải:

a) $S_1=\frac{1}{1.3}=\frac{1}{3},S_2=\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}=\frac{2}{5},S_3=\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.7}=\frac{3}{7}.$

b) Từ a) ta có thể dự đoán $S_n=\frac{n}{2n+1}.$

Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.

Bước 1. Với n = 1 ta có $S_1=\frac{1}{3}=\frac{1}{2.1+1}.$

Như vậy khẳng định đúng cho trường hợp n = 1.

Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k, tức là ta có: $S_k=\frac{k}{2k+1}.$

Ta sẽ chứng minh rằng khẳng định cũng đủng với n = k + 1, nghĩa là ta sẽ chứng minh:

$S_{k+1}=\frac{k+1}{2\left(k+1\right)+1}.$

Thật vậy, sử dụng giả thiết quy nạp ta có:

$S_{k+1}=\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\dots +\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}+\frac{1}{\left[2\left(k+1\right)-1\right]\left[2\left(k+1\right)+1\right]}$

$=S_k+\frac{1}{\left[2\left(k+1\right)-1\right]\left[2\left(k+1\right)+1\right]}$

$=\frac{k}{2k+1}+\frac{1}{\left[2\left(k+1\right)-1\right]\left[2\left(k+1\right)+1\right]}$

$=\frac{k}{2k+1}+\frac{1}{\left(2k+1\right)\left(2k+3\right)}$

$=\frac{k\left(2k+3\right)+1}{\left(2k+1\right)\left(2k+3\right)}$

$=\frac{2k^2+3k+1}{\left(2k+1\right)\left(2k+3\right)}$

$=\frac{\left(k+1\right)\left(2k+1\right)}{\left(2k+1\right)\left(2k+3\right)}=\frac{k+1}{2k+3}=\frac{k+1}{2\left(k+1\right)+1}.$

Vậy khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

Bài 2.21 trang 38 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, ta có 10^{2n + 1} + 1 chia hết cho 11.

Lời giải:

Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.

Bước 1. Với n = 0 ta có 10^{2.0 + 1} + 1 = 11 ⁝ 11.

Như vậy khẳng định đúng cho trường hợp n = 0.

Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k, tức là ta có: 10^{2k + 1} + 1 chia hết cho 11.

Ta sẽ chứng minh rằng khẳng định cũng đủng với n = k + 1, nghĩa là ta sẽ chứng minh: 10^{2(k + 1) + 1} + 1 chia hết cho 11.

Thật vậy, ta có:

10^{2(k + 1) + 1} + 1

= 10^{(2k + 1) + 2} + 1

= 100.10^{2k + 1} + 1

= 100.10^{2k + 1} + 100 – 100 + 1

= 100(10^{2k + 1} + 1) – 100 + 1

= 100(10^{2k + 1} + 1) – 99.

Vì 10^{2k + 1} + 1 và 99 đều chia hết cho 11 nên 100(10^{2k + 1} + 1) – 99 chia hết cho 11. Do đó 10^{2(k + 1) + 1} + 1 chia hết cho 11.

Vậy khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n.

Bài 2.22 trang 38 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2, ta có 5ⁿ ≥ 3ⁿ + 4ⁿ.

Lời giải:

Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.

Bước 1. Với n = 2 ta có 5² = 25 = 3² + 4².                                                

Như vậy khẳng định đúng cho trường hợp n = 2.

Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k, tức là ta có: 5^k ≥ 3^k + 4^k.

Ta sẽ chứng minh rằng khẳng định cũng đủng với n = k + 1, nghĩa là ta sẽ chứng minh: 5^{k + 1} ≥ 3^{k + 1} + 4^{k + 1}.

Thật vậy, sử dụng giả thiết quy nạp ta có:

5^{k + 1} = 5.5^k ≥ 5(3^k + 4^k) = 5. 3^k + 5.4^k ≥ 3. 3^k + 4.4^k = 3^{k + 1} + 4^{k + 1}.

Vậy khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n.

Bài 2.23 trang 38 Chuyên đề Toán 10:

a) Khai triển (1 + x)¹⁰.

b) (1,1)¹⁰ và 2.

Lời giải:

a) ${\left(1+x\right)}^{10}=C_{10}^0{1}^{10}+C_{10}^1{1}^{9}x+C_{10}^2{1}^8{x}^2+\mathrm{\dots }+C_{10}^{9}1x^9+C_{10}^{10}{x}^{10}$

$=1+C_{10}^{1}x+C_{10}^2{x}^2+\mathrm{\dots }+C_{10}^9{x}^9+x^{10}.$

b) Áp dụng câu a) ta có:

${\left(1,1\right)}^{10}={\left(1+0,1\right)}^{10}$

$=1+C_{10}^1.0,1+C_{10}^2{\left(0,1\right)}^2+\mathrm{\dots }+C_{10}^9{\left(0,1\right)}^9+{\left(0,1\right)}^{10}>1+C_{10}^1.0,1=2.$

Bài 2.24 trang 38 Chuyên đề Toán 10: Tìm hệ số của x⁹ trong khai triển thành đa thức của (2x – 3)¹¹.

Lời giải:

Số hạng chứa x⁹ trong khai triển thành đa thức của (2x – 3)¹¹ là

$C_{11}^{11-9}{\left(2x\right)}^9{\left(-3\right)}^{11-9}=C_{11}^2{2}^9{x}^9{\left(-3\right)}^2=C_{11}^2{2}^9{3}^2{x}^9=253440x^9.$

Vậy hệ số của x⁹ trong khai triển thành đa thức của (2x – 3)¹¹ là 253440.

Bài 2.25 trang 38 Chuyên đề Toán 10: Khai triển đa thức (1 + 2x)¹² thành dạng a₀ + a₁x + a₂x² + … + a₁₂x¹².

Tìm hệ số a_k lớn nhất.

Lời giải:

Số hạng chứa x^k trong khai triển thành đa thức của (1 + 2x)¹² hay (2x + 1)¹² là

$C_{12}^{12-k}{\left(2x\right)}^k{1}^{12-k}=C_{12}^k{2}^k{x}^k.$

Do đó $a_k=C_{12}^k{2}^k.$

Thay các giá trị của k từ 0 đến 12 vào a_k ta thấy a₈ có giá trị lớn nhất và bằng 126720.

Bài 2.26 trang 38 Chuyên đề Toán 10:Chứng minh rằng $C_{2n}^0+C_{2n}^2+C_{2n}^4+\dots +C_{2n}^{2n}=C_{2n}^1+C_{2n}^3+C_{2n}^5+\dots +C_{2n}^{2n-1}.$

Áp dụng: Tìm số nguyên dương n thoả mãn $C_{2n}^1+C_{2n}^3+\dots +C_{2n}^{2n-1}=2048.$

Lời giải:

Xét:

$M=C_{2n}^0+C_{2n}^1+C_{2n}^2+\dots +C_{2n}^{2n-1}+C_{2n}^{2n}$;

$N=C_{2n}^0-C_{2n}^1+C_{2n}^2-\dots -C_{2n}^{2n-1}+C_{2n}^{2n}$;

$P={\text{C}}_{2n}^0+{\text{C}}_{2n}^2+{\text{C}}_{2n}^4+\dots +{\text{C}}_{2n}^{2n-2}+{\text{C}}_{2n}^{2n}$;

$Q=C_{2n}^1+C_{2n}^3+C_{2n}^5+\dots +C_{2n}^{2n-3}+C_{2n}^{2n-1}.$

+) Ta có:

${(x+1)}^{2n}=C_{2n}^0{x}^{2n}+C_{2n}^1{x}^{2n-1}1+C_{2n}^2{x}^{2n-2}{1}^2+\dots +C_{2n}^{2n-1}x{1}^{2n-1}+C_{2n}^{2n}{1}^{2n}$

$=C_{2n}^0{x}^{2n}+C_{2n}^1{x}^{2n-1}+C_{2n}^2{x}^{2n-2}+\dots +C_{2n}^{2n-1}x+C_{2n}^{2n}.$

Cho x = 1, ta được:

${(1+1)}^{2n}={\text{C}}_{2n}^0{1}^{2n}+{\text{C}}_{2n}^1{1}^{2n-1}+{\text{C}}_{2n}^2{1}^{2n-2}+\dots +{\text{C}}_{2n}^{2n-1}1+{\text{C}}_{2n}^{2n}$

$={\text{C}}_{2n}^0+{\text{C}}_{2n}^1+{\text{C}}_{2n}^2+\dots +{\text{C}}_{2n}^{2n-1}+{\text{C}}_{2n}^{2n}.$

Vậy M = (1 + 1)²ⁿ = 2²ⁿ .

+) Ta có:

${(x-1)}^{2n}={\text{C}}_{2n}^0{x}^{2n}-{\text{C}}_{2n}^1{x}^{2n-1}1+{\text{C}}_{2n}^2{x}^{2n-2}{1}^2-\dots -{\text{C}}_{2n}^{2n-1}x{1}^{2n-1}+{\text{C}}_{2n}^{2n}{1}^{2n}$

$={\text{C}}_{2n}^0{x}^{2n}-{\text{C}}_{2n}^1{x}^{2n-1}+{\text{C}}_{2n}^2{x}^{2n-2}-\dots -{\text{C}}_{2n}^{2n-1}x+{\text{C}}_{2n}^{2n}.$

Cho x = 1, ta được:

${(1-1)}^{2n}={\text{C}}_{2n}^0{1}^{2n}-{\text{C}}_{2n}^1{1}^{2n-1}+{\text{C}}_{2n}^2{1}^{2n-2}-\dots -{\text{C}}_{2n}^{2n-1}1+{\text{C}}_{2n}^{2n}$

$={\text{C}}_{2n}^0-{\text{C}}_{2n}^1+{\text{C}}_{2n}^2-\dots -{\text{C}}_{2n}^{2n-1}+{\text{C}}_{2n}^{2n}.$

Vậy N = (1 – 1)²ⁿ = 0.

Ta có:  P + Q = M = 2²ⁿ và P – Q = N = 0 nên P = Q = 2²ⁿ : 2 = 2^2n-1.

Áp dụng:

$C_{2n}^1+C_{2n}^3+\dots +C_{2n}^{2n-1}=2048$

$\Rightarrow 2^{2n-1}=2048\Rightarrow 2n-1=11\Rightarrow n=6.$

Bài 2.27 trang 38 Chuyên đề Toán 10: Tìm giá trị lớn nhất trong các giá trị $C_n^0,C_n^1,\dots ,C_n^n.$

Áp dụng: Tìm hệ số lớn nhất của khai triển (a + b)ⁿ, biết rằng tổng các hệ số của khai triển bằng 4096.

Lời giải:

+) Ta có:

 $C_n^k\le C_n^{k+1}\iff \frac{n!}{k!\left(n-k\right)!}\le \frac{n!}{\left(k+1\right)!\left(n-k-1\right)!}$

$\iff \left(k+1\right)!\left(n-k-1\right)!\le k!\left(n-k\right)!$

$\iff k+1\le n-k\iff 2k\le n-1$ (*).

– Nếu n lẻ thì (*) ⇔ k $\le \frac{n-1}{2}.$ Từ đây ta có $C_n^k\ge C_n^{k+1}\iff k\ge \frac{n-1}{2}.$

$\Rightarrow C_n^0\le C_n^1\le \mathrm{\dots }\le C_n^{\frac{n-1}{2}}\le C_n^{\frac{n+1}{2}}\le \mathrm{\dots }\le C_n^n.$

Dấu “=” chỉ xảy ra khi k = $\frac{n–1 }{2}$.

Do đó có hai số có giá trị lớn nhất là $C_n^{\frac{n-1}{2}}$ và $C_n^{\frac{n+1}{2}}$.

– Nếu n chẵn thì (*) ⇔ k$\le \left[\frac{n-1}{2}\right]=\frac{n}{2}-1.$ Từ đây ta có $C_n^k\ge C_n^{k+1}\iff k\ge \frac{n}{2}-1.$

$\Rightarrow C_n^0\le C_n^1\le \mathrm{\dots }\le C_n^{\frac{n}{2}}\le \mathrm{\dots }\le C_n^n.$

Dấu “=” không xảy ra với bất kì giá trị k nào.

Do đó chỉ có đúng một số có giá trị lớn nhất là $C_n^{\frac{n}{2}}$.

+) Áp dụng:

Tổng các hệ số của khai triển (a + b)ⁿ bằng 4096

$\Rightarrow C_n^0+C_n^1+\dots +C_n^n=4096\Rightarrow 2^n=4096\Rightarrow n=12$

 Hệ số lớn nhất của khai triển là $C_{12}^6$ = 924.

Bài 2.28 trang 38 Chuyên đề Toán 10: Tìm số hạng có giá trị lớn nhất của khai triển (p + q)ⁿvới p > 0, q > 0, p + q = 1.