20 câu Trắc nghiệm Tổng và hiệu của hai vectơ (Kết nối tri thức 2025) có đáp án

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 8: Tổng và hiệu của hai vectơ

Câu 1. Cho hình thoi ABCD có độ dài cạnh bằng 2 dm và $\hat{B A D} = 100 °$ . Tính độ dài vectơ $\vec{D A} + \vec{D C}$ .

A. 9,39 dm;

B. 3,06 dm;

C. 7,31 dm;

D. 2,70 dm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là B

15 Bài tập Tổng và hiệu của hai vectơ (có đáp án) | Kết nối tri thức Trắc nghiệm Toán 10

Vì ABCD là hình thoi nên ABCD là hình bình hành khi đó: $\vec{D A} + \vec{D C} = \vec{D B}$ (quy tắc hình bình hành)

Xét tam giác ABD có:

BD² = AB² + AD² – 2.AB.AD.cos $\hat{B A D}$

⇔ BD² = 2² + 2² – 2.2.2.cos100°

⇔ BD² ≈ 9,39

⇔ BD ≈ 3,06 dm

⇒ $|\vec{D A} + \vec{D C}| = |\vec{D B}| = 3, 06 d m .$

Vậy độ dài vectơ $\vec{D A} + \vec{D C}$ là 3,06 dm.

Câu 2. Cho hình bình hành ABCD có tâm O, G là trọng tâm tam giác BCD. Đẳng thức nào sau đây sai?

A. $\vec{A B} + \vec{A D} = \vec{A C}$ ;

B. $\vec{G B} + \vec{G C} + \vec{G D} = \vec{0}$ ;

C. $\vec{O A} + \vec{O C} = \vec{0}$ ;

D. $\vec{G C} + \vec{G O} = \vec{0}$ .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là D

15 Bài tập Tổng và hiệu của hai vectơ (có đáp án) | Kết nối tri thức Trắc nghiệm Toán 10

+) Ta có $\vec{A B} + \vec{A D} = \vec{A C}$ (quy tắc hình bình hành). Do đó A đúng.

+) Vì G là trọng tâm tam giác BCD nên $\vec{G B} + \vec{G C} + \vec{G D} = \vec{0}$ . Do đó B đúng.

+) O là tâm của hình bình hành ABCD nên O là trung điểm của AC. Suy ra $\vec{O A} + \vec{O C} = \vec{0}$ . Do đó C đúng.

+) Vì G là trọng tâm tam giác BCD nên GC = 2GA. Suy ra $\vec{G C} + \vec{G O} \neq \vec{0}$ . Do đó D sai.

Câu 3. Tính tổng $\vec{M N} + \vec{P Q} + \vec{R N} + \vec{N P} + \vec{Q R}$

A. $\vec{P R}$ ;

B. $\vec{M R}$ ;

C. $\vec{M P}$ ;

D. $\vec{M N}$ .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là D

Xét tổng $\vec{M N} + \vec{P Q} + \vec{R N} + \vec{N P} + \vec{Q R}$

$= \vec{M N} + (\vec{P Q} + \vec{Q R}) + (\vec{R N} + \vec{N P})$

$= \vec{M N} + \vec{P R} + \vec{R P}$

$= \vec{M N} + (\vec{P R} + \vec{R P})$

$= \vec{M N} + \vec{P P}$
$= \vec{M N} + \vec{0}$

$= \vec{M N}$ .

Câu 4. Cho hình bình hành ABCD. Hãy tìm điểm M để $\vec{D M} = \vec{C B} + \vec{C D}$ .

A. M là một điểm bất kì;

B. M là điểm thỏa mãn ACMD là hình bình hành;

C. M là điểm thỏa mãn ACDM là hình bình hành;

D. Không tồn tại điểm M.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là C

Ta có $\vec{C B} + \vec{C D} = \vec{C A}$ (quy tắc hình bình hành)

$\Rightarrow \vec{D M} = \vec{C A}$

Khi đó hai vectơ $\vec{D M}$ và $\vec{C A}$ cùng hướng hay DM // CA, M nằm ở nửa mặt phẳng chứa điểm A bờ DC và DM = CA. Suy ra ACDM là hình bình hành.

Vậy điểm M là điểm thỏa mãn ACDM là hình bình hành.

Câu 5. Cho hình bình hành ABCD tâm O. Ba điểm M, N, P thỏa mãn:

+) $\vec{M A} + \vec{M D} + \vec{M B} = \vec{0}$ ;

+) $\vec{N D} + \vec{N B} + \vec{N C} = \vec{0}$ ;

+) $\vec{P M} + \vec{P N} = \vec{0}$ .

Nhận xét nào sau đây đúng về M, N, P.

A. M là trung điểm của đoạn thẳng NP;

B. N là trung điểm của đoạn thẳng MP;

C. P là trung điểm của đoạn thẳng MN;

D. Cả A, B, C đều sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là C

15 Bài tập Tổng và hiệu của hai vectơ (có đáp án) | Kết nối tri thức Trắc nghiệm Toán 10

+) Hình bình hành ABCD có tâm O nên O là trung điểm của BD.

Do $\vec{M A} + \vec{M D} + \vec{M B} = \vec{0}$ nên M là trọng tâm của tam giác ADB.

Khi đó trên AO chọn M sao cho $\vec{A M} = \frac{2}{3} \vec{A O}$ .

+) Do $\vec{N D} + \vec{N B} + \vec{N C} = \vec{0}$ nên N là trọng tâm của tam giác DBC.

Khi đó trên CO chọn N sao cho $\vec{C N} = \frac{2}{3} \vec{C O}$ .

+) Do $\vec{P M} + \vec{P N} = \vec{0}$ nên P là trung điểm của MN (1).

Ta có AM = $\frac{2}{3}$ AO = $\frac{2}{3} . \frac{1}{2}$ AC = $\frac{1}{3}$ AC; CN = $\frac{2}{3}$ CO = $\frac{2}{3} . \frac{1}{2}$ AC = $\frac{1}{3}$ AC.

Do đó MN = $\frac{1}{3}$ AC.

MO = $\frac{1}{3}$ AO = $\frac{1}{3} . \frac{1}{2}$ AC = $\frac{1}{6}$ AC.

Khi đó MO = $\frac{1}{2}$ MN.

Mà O nằm giữa M và N nên O là trung điểm của MN (2).

Từ (1) và (2) suy ra P trùng O.

Vậy P là trung điểm của MN.

Câu 6. Quy tắc ba điểm được phát biểu:

A. Với ba điểm bất kì A, B, C ta có $\vec{A B} + \vec{A C} = \vec{B C}$ ;

B. Với ba điểm bất kì A, B, C ta có $\vec{A B} + \vec{C B} = \vec{A C}$ ;

C. Với ba điểm bất kì A, B, C ta có $\vec{A B} + \vec{C A} = \vec{B C}$ ;

D. Với ba điểm bất kì A, B, C ta có $\vec{A B} + \vec{B C} = \vec{A C}$ .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là D

Quy tắc ba điểm được phát biểu như sau: Với ba điểm bất kì A, B, C ta có $\vec{A B} + \vec{B C} = \vec{A C}$ .

Câu 7. Cho tam giác ABC có I là trung điểm cạnh AB và G là trọng tâm tam giác ABC. Đẳng thức nào sau đây sai:

A. $\vec{I A} + \vec{I B} = \vec{A B}$ ;

B. $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ ;

C. $\vec{I A} = - \vec{I B}$ ;

D. $\vec{B A} + \vec{A C} = \vec{B C}$ .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là A

Xét tam giác ABC, có:

$\vec{B A} + \vec{A C} = \vec{B C}$ (quy tắc ba điểm). Do đó D đúng.

Vì G là trọng tâm tam giác nên $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ . Do đó B đúng.

Ta có I là trung điểm của AB nên $\vec{I A} + \vec{I B} = \vec{0}$ hay $\vec{I A} = - \vec{I B}$ . Do đó A sai và C đúng.

Câu 8. Cho tam giác ABC vuông cân tại A, đường cao AH và BC = 10cm. Tính độ dài vectơ $\vec{A B} + \vec{A C}$ .

A. 5cm;

B. 10dm;

C. 10cm;

D. 15cm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là C

Xét tam giác ABC vuông cân tại A có AH là đường cao nên AH là đường trung tuyến suy ra H là trung điểm của BC.

Gọi D là điểm đối xứng với A qua H.

15 Bài tập Tổng và hiệu của hai vectơ (có đáp án) | Kết nối tri thức Trắc nghiệm Toán 10

Xét tứ giác ABDC có AD cắt BC tại H là trung điểm của mỗi đường. Do đó ABDC là hình bình hành.

⇒ $\vec{A B} + \vec{A C} = \vec{A D}$ (quy tắc hình bình hành)

⇒ $|\vec{A B} + \vec{A C}| = |\vec{A D}|$

Ta lại có hình bình hành ABDC có $\hat{B A C} = 90^{0}$ nên ABDC là hình chữ nhật do đó AD = BC =10 cm.

⇒ $|\vec{A B} + \vec{A C}| = |\vec{A D}| = A D = B C = 10 c m$ .

Vậy độ dài $\vec{A B} + \vec{A C}$ là 10 cm.

Câu 9. Vectơ đối của vectơ – không là:

A. Mọi vectơ khác vectơ – không;

B. Không có vectơ nào ;

C. Chính nó;

D. Mọi vectơ kể cả vectơ – không.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là C

Vectơ $\vec{0}$ được coi là vectơ đối của chính nó.

Câu 10. Cho hình bình hành ABCD có một điểm O bất kì. Đẳng thức nào sau đây đúng?

A. $\vec{O A} - \vec{O B} = \vec{O C} - \vec{O D}$ ;

B. $\vec{O B} - \vec{O A} = \vec{O C} - \vec{O D}$ ;

C. $\vec{O A} - \vec{O D} = \vec{O C} - \vec{O B}$ ;

D. $\vec{O A} - \vec{O C} = \vec{O D} - \vec{O B}$ .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là B

15 Bài tập Tổng và hiệu của hai vectơ (có đáp án) | Kết nối tri thức Trắc nghiệm Toán 10

+) Áp dụng quy tắc hiệu ta có: $\vec{O A} - \vec{O B} = \vec{B A}$ và $\vec{O C} - \vec{O D} = \vec{D C}$ :

$\vec{O B} - \vec{O A} = \vec{A B}$ và $\vec{O C} - \vec{O D} = \vec{D C}$ ;

Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD và AB // CD khi đó $\vec{A B} = \vec{D C}$ . Suy ra $\vec{O A} - \vec{O B} \neq \vec{O C} - \vec{O D}$ và $\vec{O B} - \vec{O A} = \vec{O C} - \vec{O D}$ . Do đó B đúng, A sai.

+) Áp dụng quy tắc hiệu ta có: $\vec{O A} - \vec{O D} = \vec{D A}$ và $\vec{O C} - \vec{O B} = \vec{B C}$ :

Vì ABCD là hình bình hành nên AD = CB và AD // CB khi đó $\vec{D A} = \vec{C B}$ . Suy ra $\vec{O A} - \vec{O D} \neq \vec{O C} - \vec{O B}$ . Do đó C sai.

+) Áp dụng quy tắc hiệu ta có: $\vec{O A} - \vec{O C} = \vec{C A}$ và $\vec{O D} - \vec{O B} = \vec{B D}$ :

Vì hai vectơ $\vec{C A}$ và $\vec{B D}$ không cùng phương nên không bằng nhau. Suy ra $\vec{O A} - \vec{O C} \neq \vec{O D} - \vec{O B}$ . Do đó D sai.

Câu 11. Hai lực $\vec{F_{1}}, \vec{F_{2}}$ cùng tác động lên một vật, cho $|\vec{F_{1}}| = 7 N, |\vec{F_{2}}| = 3 N$ . Tính độ lớn của hợp lực $\vec{F_{1}} + \vec{F_{2}}$ (biết góc giữa $\vec{F_{1}}, \vec{F_{2}}$ bằng 45°).

15 Bài tập Tổng và hiệu của hai vectơ (có đáp án) | Kết nối tri thức Trắc nghiệm Toán 10

A. 10N;

B. 4N;

C. 5,32N;

D. 9,36N.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là D

Ta có hình vẽ sau:

15 Bài tập Tổng và hiệu của hai vectơ (có đáp án) | Kết nối tri thức Trắc nghiệm Toán 10

Trong đó ABCD là hình bình hành, $\vec{A B} = \vec{F_{1}}, \vec{A D} = \vec{F_{2}}$

Khi đó $\vec{F_{1}} + \vec{F_{2}} = \vec{A B} + \vec{A D} = \vec{A C}$ (quy tắc hình bình hành)

$\Rightarrow |\vec{F_{1}} + \vec{F_{2}}| = |\vec{A C}|$

Vì ABCD là hình bình hành nên $\hat{A B C} + \hat{B A D} = 180 ° \Rightarrow \hat{A B C} = 180 ° - \hat{B A D} = 180 ° - 45 ° = 135 °$
Xét tam giác ABC:

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC, ta có:

AC² = AB² + BC² – 2AB.BC.cos $\hat{A B C}$

⇔ AC² = 7² + 3² – 2.7.3.cos135°

⇔ AC² = $58 + 21 \sqrt{2}$

⇔ AC ≈ 9,36

$\Rightarrow |\vec{F_{1}} + \vec{F_{2}}| = |\vec{A C}| = A C \approx 9, 36 N$ .

Câu 12. Cho lục giác đều ABCDEF và O là tâm. Có bao nhiêu đẳng thức dưới đây là đẳng thức đúng?

1. $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O E} = \vec{0}$ ;

II. $\vec{B C} + \vec{F E} = \vec{A D}$ ;

III. $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O E} = \vec{E B}$ ;

IV. $\vec{A B} + \vec{C D} + \vec{F E} = \vec{0}$ .

A. 1;

B. 2;

C. 3;

D. 4.

Đáp án đúng là A

15 Bài tập Tổng và hiệu của hai vectơ (có đáp án) | Kết nối tri thức Trắc nghiệm Toán 10

+) Ta có $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O E} = \vec{O A} + (\vec{O B} + \vec{O E}) = \vec{O A} + \vec{0} = \vec{O A}$ . Do đó A sai.

+) Ta có $\vec{B C} + \vec{F E} = \vec{A O} + \vec{O D} = \vec{A D}$ . Do đó B đúng.

+) Ta có $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O E} = \vec{O A} + (\vec{O B} + \vec{O E}) = \vec{O A} + \vec{0} = \vec{O A} \neq \vec{E B}$ . Do đó C sai.

+) Ta có $\vec{A B} + \vec{C D} + \vec{F E} = \vec{A B} + \vec{B O} + \vec{F E} = \vec{A O} + \vec{F E} = \vec{A O} + \vec{A O} = 2 \vec{A O} \neq \vec{0}$ . Do đó D sai.

Hướng dẫn giải

Câu 13. Hai người cùng kéo một con thuyền với hai lực $\vec{F_{1}} = \vec{O A}, \vec{F_{2}} = \vec{O B}$ có độ lớn lần lượt là 550 N, 800 N. Cho biết góc giữa hai vectơ là 52^o.

15 Bài tập Tổng và hiệu của hai vectơ (có đáp án) | Kết nối tri thức Trắc nghiệm Toán 10

Độ lớn của vectơ hợp lực $\vec{F}$ là tổng của hai lực $\bar{F_{1}}$ và $\vec{F_{2}}$ nằm trong khoảng nào dưới đây?

A. (900; 1 000);

B. (1 000; 1 100);

C. (1 100; 1 200);

D. (1 200; 1 300).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là D

15 Bài tập Tổng và hiệu của hai vectơ (có đáp án) | Kết nối tri thức Trắc nghiệm Toán 10

Dựng hình bình hành AOBC.

Khi đó $\vec{F} = \vec{O C}$ .

Do AOBC là hình bình hành nên $\hat{A O B} + \hat{O B C} = 180 °$ và OA = BC = 550.

Do đó $\hat{O B C} = 180 ° - \hat{A O B} = 180 ° - 52 ° = 128 °$ .

Áp dụng định lí côsin vào tam giác OBC có:

OC² = OB² + BC² – 2.OB.BC.cos $\hat{O B C}$

⇒OC² = 800² + 550² – 2.800.550.cos 128^o

⇒OC² ≈ 1 484 282, 1

⇒ OC ≈ 1 218,3 N (do OC là độ dài đoạn thẳng nên OC > 0)

Suy ra $|\vec{F}|$ ≈ 1 218,3 N.

Vậy độ lớn lực $\vec{F}$ nằm trong khoảng (1 200; 1 300).

Câu 14. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1. So sánh độ dài của hai vectơ sau:

$\vec{a} = (\vec{A C} + \vec{B D}) + \vec{C B}$ ;

$\vec{b} = \vec{A B} + \vec{A D} + \vec{B C} + \vec{D A}$ .

A. $|\vec{a}| = 2 |\vec{b}|$ ;

B. $|\vec{a}| = |\vec{b}|$ ;

C. $|\vec{a}| = \sqrt{2} |\vec{b}|$ ;

D. $|\vec{a}| = \frac{1}{\sqrt{2}} |\vec{b}|$ .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là C

15 Bài tập Tổng và hiệu của hai vectơ (có đáp án) | Kết nối tri thức Trắc nghiệm Toán 10

Ta có: $(\vec{A C} + \vec{B D}) + \vec{C B} = \vec{A C} + \vec{B D} + \vec{C B}$

$= (\vec{A C} + \vec{C B}) + \vec{B D}$

$= \vec{A B} + \vec{B D}$

$= \vec{A D}$

Do đó $|\vec{a}| = |\vec{A D}|$ = 1.

Ta lại có: $\vec{A B} + \vec{A D} + \vec{B C} + \vec{D A} = (\vec{A B} + \vec{B C}) + (\vec{A D} + \vec{D A}) = \vec{A C} + \vec{A A} = \vec{A C}$ .

Do đó $|\vec{b}| = |\vec{A C}|$ .

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ADC có:

AC² = AD² + DC²

⇒ AC² = 1² + 1²

⇒ AC² = 2

⇒ AC = $\sqrt{2}$ (do AC là độ dài đoạn thẳng)

Suy ra $|\vec{b}| = |\vec{A C}| = \sqrt{2}$ .

Vậy $|\vec{b}| = \sqrt{2} |\vec{a}|$ .

Câu 15. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a và ba điểm G, H, K thỏa mãn: $\vec{K A} + \vec{K C} = \vec{0}$ ; $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ ; $\vec{H A} + \vec{H D} + \vec{H C} = \vec{0}$ . Tính độ dài các vectơ $\vec{G H}$ .

A. $\frac{\sqrt{2} a}{2}$ ;

B. $\sqrt{2}$ a;

C. $\frac{\sqrt{2} a}{3}$ ;

D. a

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là C

15 Bài tập Tổng và hiệu của hai vectơ (có đáp án) | Kết nối tri thức Trắc nghiệm Toán 10

Do $\vec{K A} + \vec{K C} = \vec{0}$ nên K là trung điểm của AC.

Do đó K là giao điểm hai đường chéo của hình vuông ABCD.

Do $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ nên G là trọng tâm của tam giác ABC.

Khi đó trên đoạn BK chọn điểm G sao cho $\vec{B G} = \frac{2}{3} \vec{B K}$ .

Do $\vec{H A} + \vec{H D} + \vec{H C} = \vec{0}$ nên H là trọng tâm của tam giác ADC.

Khi đó trên đoạn DK chọn điểm H sao cho $\vec{D H} = \frac{2}{3} \vec{D K}$ .

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ADC vuông tại D có:

AC² = AD² + DC²

⇒ AC² = a² + a²

⇒ AC² = 2a²

⇒ AC = $\sqrt{2}$ a (do AC là độ dài đoạn thẳng nên AC > 0)

Do K là trung điểm của AC nên AK = $\frac{1}{2}$ AC = $\frac{\sqrt{2} a}{2}$ .

Do đó $|\vec{K A}| = \frac{\sqrt{2} a}{2}$ .

Do ABCD là hình vuông nên AC = BD.

Do đó BD = $\sqrt{2}$ a.

Do H là trọng tâm của tam giác ADC nên HK = $\frac{1}{3}$ DK = $\frac{1}{3} . \frac{1}{2}$ BD = $\frac{1}{6}$ BD = $\frac{\sqrt{2} a}{6}$ .

Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên KG = $\frac{1}{3}$ BK = $\frac{1}{3} . \frac{1}{2}$ BD = $\frac{1}{6}$ BD = $\frac{\sqrt{2} a}{6}$ .

Do đó HK + KG = $\frac{\sqrt{2} a}{6}$ + $\frac{\sqrt{2} a}{6}$ hay HG = $\frac{\sqrt{2} a}{3}$ .

Do đó $|\vec{G H}| = \frac{\sqrt{2} a}{3}$ .

Xem thêm các bài trắc nghiệm Toán lớp 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 7: Các khái niệm mở đầu

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 8: Tổng và hiệu của hai vectơ

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 9: Tích của một vectơ với một số

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ

Bài liên quan