20 câu Trắc nghiệm Tích của một vectơ với một số (Kết nối tri thức 2025) có đáp án

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 9: Tích của một vectơ với một số

Câu 1: Các tam giác ABC có trọng tâm G; M, N lần lượt là trung điểm của BC và AB. Biểu thị $\vec{M G}$ thông qua hai vec tơ $\vec{A B}, \vec{A C}$ .

A. $\vec{N G} = - \frac{1}{6} \vec{A C} + \frac{1}{3} \vec{A B}$ ;

B. $\vec{N G} = - \frac{1}{6} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$ ;

C. $\vec{N G} = - \frac{1}{6} \vec{A B} + \frac{1}{6} \vec{A C}$ ;

D. $\vec{N G} = - \frac{1}{6} \vec{A C} + \frac{2}{3} \vec{A B}$ .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là B

Ta có: $\vec{N G} = \vec{A G} - \vec{A N} = \frac{2}{3} \vec{A M} - \frac{1}{2} \vec{A B}$

$= \frac{2}{3} (\frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A C}) - \frac{1}{2} \vec{A B}$

$= \frac{1}{3} \vec{A B} - \frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A C}$

$= - \frac{1}{6} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A C}$ .

Vậy $\vec{N G} = - \frac{1}{6} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$ .

Câu 2. Cho tam giác ABC có G là trọng tâm tam giác. Hãy xác định điểm M để $\vec{M A} + \vec{M B} + 2 \vec{M C} = \vec{0}$ .

A. M là trung điểm của đoạn thẳng GC;

B. M nằm giữa G và C sao cho GM = 4GC;

C. M nằm ngoài G và C sao cho GM = 4GC;

D. M nằm giữa G và C sao cho $G M = \frac{1}{4} G C$ .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là D

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ .

Xét $\vec{M A} + \vec{M B} + 2 \vec{M C} = \vec{0}$

$\Leftrightarrow \vec{M G} + \vec{G A} + \vec{M G} + \vec{G B} + 2 (\vec{M G} + \vec{G C}) = \vec{0}$

$\Leftrightarrow 4 \vec{M G} + (\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C}) + \vec{G C} = \vec{0}$

$\Leftrightarrow 4 \vec{M G} + \vec{G C} = \vec{0}$

$\Leftrightarrow 4 \vec{M G} = - \vec{G C}$

$\Leftrightarrow \vec{G M} = \frac{1}{4} \vec{G C}$ .

Vậy G là điểm nằm giữa G và C sao cho $G M = \frac{1}{4} G C$ .

Câu 3. Trong hình vẽ, hãy biểu thị mỗi vectơ $\vec{u}, \vec{v}$ hai vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ , tức là tìm các số x, y, z, t để $\vec{u} = x \vec{a} + y \vec{b}, \vec{v} = t \vec{a} + z \vec{b} .$

15 Bài tập Tích của một vectơ với một số (có đáp án) | Kết nối tri thức Trắc nghiệm Toán 10

A. x = 1, y = 2, z = 2, t = -1;

B. x = 1, y = 2, z = -2, t = 3;

C. x = 1, y = 2, z = -2, t = -1;

D. x = 1, y = -2, z = 2, t = -3.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là B

Ta có hình vẽ sau:

15 Bài tập Tích của một vectơ với một số (có đáp án) | Kết nối tri thức Trắc nghiệm Toán 10

Xét hình bình hành OABC, có:

$\vec{O A} = \vec{a}, \vec{O C} = 2 \vec{b}, \vec{O B} = \vec{u}$

Khi đó, ta có:

$\vec{u} = \vec{O B} = \vec{O A} + \vec{O C} = \vec{a} + 2 \vec{b}$ (quy tắc hình bình hành)

Xét hình bình hành OMNP, có:

$\vec{O N} = \vec{v}, \vec{O M} = 3 \vec{b}, \vec{O P} = - 2 \vec{a}$

Khi đó, ta có:

$\vec{v} = \vec{O N} = \vec{O M} + \vec{O P} = 3 \vec{b} - 2 \vec{a} = - 2 \vec{a} + 3 \vec{b} .$

Vậy $\vec{u} = \vec{a} + 2 \vec{b}, \vec{v} = - 2 \vec{a} + 3 \vec{b} .$

Câu 4. Cho tam giác ABC . Lấy E là trung điểm của AB và F thuộc cạnh AC sao cho AF = $\frac{1}{3}$ AC. Hãy xác định điểm M để $\vec{M A} + 3 \vec{M B} + 2 \vec{M C} = \vec{0}$ .

A. M là trung điểm BC;

B. M là đỉnh hình chữ nhật AEFM;

C. M là đỉnh hình bình hành EAFM;

D. M là đỉnh tam giác đều BEM.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là C

15 Bài tập Tích của một vectơ với một số (có đáp án) | Kết nối tri thức Trắc nghiệm Toán 10

Để xác định vị trí điểm M, trước hết ta biểu thị $\vec{A M}$ (với gốc A đã biết) theo hai vec tơ $\vec{A B}, \vec{A C}$ .

Đẳng thức vec tơ đã cho tương đương với $\vec{M A} + 3 (\vec{M A} + \vec{A B}) + 2 (\vec{M A} + \vec{A C}) = \vec{0}$

$\Leftrightarrow 6 \vec{M A} + 3 \vec{A B} + 2 \vec{A C} = \vec{0}$

$\Leftrightarrow \vec{A M} = \frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$ .

Vì E là trung điểm của AB và F thuộc cạnh AC sao cho AF = $\frac{1}{3}$ AC nên $\vec{A E} = \frac{1}{2} \vec{A B}$ và $\vec{A F} = \frac{1}{3} \vec{A C}$ .

Vì vậy $\vec{A M} = \vec{A E} + \vec{A F}$ .

Suy ra M là đỉnh thứ tư của hình bình hành EAFM.

Câu 5. Biết rằng hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ không cùng phương nhưng hai vectơ $5 x \vec{a} + 4 \vec{b}$ và $(3 x - 2) \vec{a} - 2 \vec{b}$ cùng phương. Khi đó giá trị của x bằng:

A. $\frac{4}{11}$ ;

B. $\frac{2}{3}$ ;

C. 4;

D. -4.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là A

Vectơ $5 x \vec{a} + 4 \vec{b}$ và $(3 x - 2) \vec{a} - 2 \vec{b}$ cùng phương khi 5x = – 2(3x – 2)

⇔ 5x = -6x + 4

⇔ 11x = 4

⇔ x = $\frac{4}{11}$ .

Vậy x = $\frac{4}{11}$ .

Câu 6: Cho vectơ $\vec{a} \neq \vec{0}$ với số thực k như thế nào thì vectơ $k \vec{a}$ ngược hướng với vectơ $\vec{a}$ .

A. k = 1;

B. k = 0;

C. k < 0;

D. k > 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là C

Tích của một vectơ $\vec{a} \neq \vec{0}$ với số thực k < 0 là một vec tơ kí hiệu $k \vec{a}$ ngược hướng với vectơ $\vec{a}$ .

Câu 7: Cho vectơ $\vec{a}$ , $\vec{b}$ và hai số thực k, t. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. k(t $\vec{a}$ ) = (kt) $\vec{a}$ ;

B. (k + t) $\vec{a}$ = k $\vec{a}$ + t $\vec{b}$ ;

C. k $(\vec{a} + \vec{b})$ = k $\vec{a}$ + k $\vec{b}$ ;

D. (-1) $\vec{a}$ = – $\vec{a}$ .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là B

Ta có (k + t) $\vec{a}$ = k $\vec{a}$ + t $\vec{a}$ . Do đó B sai.

Câu 8: Cho ba điểm A, B, C phân biệt sao cho $\vec{A B} = k \vec{A C}$ .Biết rằng C là trung điểm đoạn thẳng AB. Giá trị k thỏa mãn điều kiện nào sau đây?

A. k < 0

B. k = 1

C. 0 < k < 1

D. k > 1

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là D

15 Bài tập Tích của một vectơ với một số (có đáp án) | Kết nối tri thức Trắc nghiệm Toán 10

Vì C là trung điểm của đoạn thẳng AB nên AC = 2AB.

Ta có $\vec{A C}, \vec{A B}$ là hai vectơ cùng hướng nên $\vec{A C} = 2 \vec{A B}$ . Suy ra k = 2 > 1.

Vậy k thỏa mãn điều kiện k > 1.

Câu 9. Cho hai điểm phân biệt A và B. Xác định ví trí điểm K thỏa mãn $\vec{K A} + 2 \vec{K B} = \vec{0}$ .

A. K là trung điểm của AB

B. K là điểm nằm giữa I và A thỏa mãn IK = $\frac{1}{3}$ IB với I là trung điểm của AB.

C. K là điểm nằm giữa I và B thỏa mãn IK = $\frac{1}{3}$ IB với I là trung điểm của AB.

D. K là điểm nằm giữa I và A thỏa mãn IK = $\frac{1}{3}$ IA với I là trung điểm của AB.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là C

Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB. Khi đó $\vec{I A} + \vec{I B} = \vec{0}$

Xét đẳng thức: $\vec{K A} + 2 \vec{K B} = \vec{0}$

$\Leftrightarrow \vec{K I} + \vec{I A} + 2 (\vec{K I} + \vec{I B}) = \vec{0}$

$\Leftrightarrow 3 \vec{K I} + \vec{I A} + 2 \vec{I B} = \vec{0}$

$\Leftrightarrow 3 \vec{K I} + (\vec{I A} + \vec{I B}) + \vec{I B} = \vec{0}$

$\Leftrightarrow 3 \vec{K I} + \vec{0} + \vec{I B} = \vec{0}$

$\Leftrightarrow \vec{K I} = - \frac{1}{3} \vec{I B}$ hay $\vec{I K} = \frac{1}{3} \vec{I B}$

Vì vậy điểm K là điểm nằm giữa I và B thỏa mãn $I K = \frac{1}{3} I B$ .

Câu 10. Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM. Khi đó $\vec{A M} = a \vec{A B} + b \vec{A C}$ . Tính S = a + 2b.

A. 1;

B. 2;

C. $\frac{1}{2}$ ;

D. $\frac{3}{2} .$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là D

15 Bài tập Tích của một vectơ với một số (có đáp án) | Kết nối tri thức Trắc nghiệm Toán 10

Ta có: $\vec{A B} + \vec{A C} = 2 \vec{A M}$

⇔ $\vec{A M} = \frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A C}$

⇒ a = $\frac{1}{2}$ , b = $\frac{1}{2}$ .

⇒ S = a + 2b = $\frac{1}{2}$ + 2. $\frac{1}{2}$ = $\frac{1}{2}$ + 1 = $\frac{3}{2}$ .

Vậy S = $\frac{3}{2}$ .

Câu 11. Chất điểm A chịu tác động của ba lực $\vec{F_{1}}, \vec{F_{2}}, \vec{F_{3}}$ như hình vẽ và ở trạng thái cân bằng (tức là $\vec{F_{1}} + \vec{F_{2}} + \vec{F_{3}} = \vec{0}$ ). Tính độ lớn của các lực $\vec{F_{2}}, \vec{F_{3}},$ biết $\vec{F_{1}}$ có độ lớn là 20N.

15 Bài tập Tích của một vectơ với một số (có đáp án) | Kết nối tri thức Trắc nghiệm Toán 10

A. $|\vec{F_{1}}| = \frac{20}{\sqrt{3}} N, |\vec{F_{2}}| = \frac{40 \sqrt{3}}{3} N;$

B. $F_{1} | = = \frac{40}{\sqrt{3}} N | \vec{F_{2}} | = \frac{20 \sqrt{3}}{3}; N$

C. $|\vec{F_{1}}| = |\vec{F_{2}}| = \frac{40 \sqrt{3}}{3} N;$

D. $|\vec{F_{1}}| = \frac{60}{\sqrt{3}} N, |\vec{F_{2}}| = \frac{40 \sqrt{3}}{3} N .$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là A

15 Bài tập Tích của một vectơ với một số (có đáp án) | Kết nối tri thức Trắc nghiệm Toán 10

Ta có: $\vec{F_{1}} + \vec{F_{2}} + \vec{F_{3}} = \vec{0}$

$\Leftrightarrow \vec{F_{1}} + \vec{F_{2}} = - \vec{F_{3}}$

Mà $\vec{F_{1}} + \vec{F_{2}} = \vec{O A} + \vec{O B} = \vec{O D}$ (OBDA là hình bình hành)

$\Rightarrow \vec{O D} = - \vec{F_{3}}$

⇒ Hai vecto $\vec{O D}$ và $\vec{F_{3}}$ là hai vecto đối nhau

$\Rightarrow |\vec{O D}| = |- \vec{F_{3}}|$ và $\hat{B O D} = 60^{0}$ .

Ta lại có: $\vec{B D} = \vec{F_{1}}$

Xét ΔOBD, có:

$O B = \frac{B D}{\tan 60^{0}} = \frac{20}{\sqrt{3}} (N) \Rightarrow |\vec{F_{2}}| = \frac{20}{\sqrt{3}} N .$

$O D = \frac{B D}{\sin 60^{0}} = \frac{40 \sqrt{3}}{3} (N) \Rightarrow |\vec{F_{3}}| = \frac{40 \sqrt{3}}{3} N .$

Vậy độ lớn vecto $\vec{F_{2}}, \vec{F_{3}}$ lần lượt là $\frac{20}{\sqrt{3}} N, \frac{40 \sqrt{3}}{3} N .$

Câu 12. Cho hình vuông ABCD có cạnh AB = 2 và giao điểm các đường chéo là H. Tính độ dài của vectơ $\vec{A B} + 2 \vec{A H}$ .

A. $\frac{\sqrt{2}}{2}$

B. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

C. $\sqrt{5}$

D. $\frac{1}{2}$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là C

Vì ABCD là hình bình hành nên AH = HC = $\frac{1}{2}$ AC. Khi đó $\vec{A H} = \frac{1}{2} \vec{A C}$

Ta có: $\vec{A B} + 2 \vec{A H} = \vec{A B} + 2. \frac{1}{2} . \vec{A C} = \vec{A B} + \vec{A C}$

Gọi M là trung điểm của DC

$\Rightarrow \vec{A B} + \vec{A C} = 2 \vec{A M}$

$\Rightarrow \vec{A B} + 2 \vec{A H} = 2 \vec{A M}$

$\Rightarrow |\vec{A B} + 2 \vec{A H}| = 2 |\vec{A M}|$

Xét tam giác ADM vuông tại M, có:

AM² = AD² + DM² = 2² + ${(\frac{2}{2})}^{2}$ = 5 (định lí Py – ta – go)

⇔ AM = $\sqrt{5}$

Vậy $|\vec{A B} + 2 \vec{A H}| = \sqrt{5} .$

Câu 13. Cho tứ giác ABCD. Gọi M là trung điểm của cạnh AB, CD. Đẳng thức nào dưới đây là sai?

A. $\vec{B C} + \vec{A D} = \vec{M N}$ ;

B. $\vec{B C} + \vec{A D} = 2 \vec{M N}$ ;

C. $\vec{B C} + \vec{A D} = 3 \vec{M N}$ ;

D. $\vec{B C} + \vec{A D} = 4 \vec{M N}$ .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là B

15 Bài tập Tích của một vectơ với một số (có đáp án) | Kết nối tri thức Trắc nghiệm Toán 10

Ta có $\vec{B C} + \vec{A D} = \vec{B M} + \vec{M C} + \vec{A M} + \vec{M D}$

$= (\vec{B M} + \vec{A M}) + (\vec{M C} + \vec{M D})$

$= \vec{0} + 2 \vec{M N}$

$= 2 \vec{M N}$

Vậy $\vec{B C} + \vec{A D} = 2 \vec{M N}$

Câu 14. Cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ khác vec tơ – không. Hai vec tơ nào dưới đây cùng phương?

A. $2 \vec{a} + \vec{b}$ và $\frac{1}{3} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b}$ ;

B. $- \vec{a} + \vec{b}$ và $- 2 \vec{a} + 3 \vec{b}$ ;

C. $\frac{1}{6} \vec{a} - \vec{b}$ và $- \vec{a} + 6 \vec{b}$ ;

D. $\vec{a} + \vec{b}$ và $\vec{a} - \vec{b}$ .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là C

Ta có: $- 6 (\frac{1}{6} \vec{a} - \vec{b}) = - \vec{a} + \vec{b}$ . Do đó vectơ $\frac{1}{6} \vec{a} - \vec{b}$ và $- \vec{a} + 6 \vec{b}$ cùng phương.

Câu 15. Cho hình vẽ sau:

15 Bài tập Tích của một vectơ với một số (có đáp án) | Kết nối tri thức Trắc nghiệm Toán 10

Phát biểu nào dưới đây là đúng?

A. $5 \vec{M P} = 4 \vec{M N}$ ;

B. $\vec{P M} = 4 \vec{P N}$ ;

C. $\vec{P N} = - \frac{1}{5} \vec{M N}$ ;

D. Cả A, B và C đều sai

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là A

+) Ta có hai vectơ $\vec{M P}$ và $\vec{M N}$ cùng hướng và $M P = \frac{4}{5} M N$ . Suy ra $\vec{M P} = \frac{4}{5} \vec{M N}$ hay $5 \vec{M P} = 4 \vec{M N}$ . Do đó A đúng.

+) Ta có hai vectơ $\vec{P M}$ và $\vec{P N}$ ngược hướng và PM = 4PN. Suy ra $\vec{P M} = - 4 \vec{P N}$ . Do đó B sai.

+) Ta có hai vectơ $\vec{P N}$ và $\vec{M N}$ cùng hướng và $P N = \frac{1}{5} M N$ . Suy ra $P N = \frac{1}{5} M N$ . Do đó D sai.

Xem thêm các bài trắc nghiệm Toán lớp 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 8: Tổng và hiệu của hai vectơ

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 9: Tích của một vectơ với một số

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ

Trắc nghiệm Toán 10 Chương 4: Vectơ

Bài liên quan