1. Tóm tắt lý thuyết
1.1. Các khái niệm về số phức
– Số phức \(z = a + bi\) có phần thực là \(a\), phần ảo là \(b\) (\(a, b \in \mathbb R\) và \(i^2 =-1\))
– Số phức bằng nhau \(a + bi = c + di ⇔ a = c\) và \(b = d\)
– Số phức \(z = a + bi\) được biểu diễn bởi điểm \(M(a;b)\) trên mặt phẳng toạ độ.
– Độ dài của \(\overrightarrow {OM} \) là môđun của số phức z, kí hiệu là \(|z| = \overrightarrow {OM} = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)
– Số phức liên hợp của \(z = a + bi\) và \( \overline z= a – bi\).
1.2. Một số tính chất cần lưu ý của số phức
Mỗi số thực là số phức có phần ảo bằng 0. Ta có \(\mathbb{R}\subset \mathbb{C}.\)
Số phức \(bi\)(\(b\in\mathbb{R}\)) được gọi là số thuần ảo (phần thực bằng 0).
Số \(i\) được gọi là đơn vị ảo.
Số phức viết dưới dạng \(z = a + bi(a,b\in\mathbb{R})\) gọi là dạng đại số của số phức.
Ta có:
\(\left| {\overline z } \right| = \left| z \right|\).
\(z = \overline z \Leftrightarrow z\) là số thực.
\(z = – \overline z \Leftrightarrow z\) là số ảo.
2. Bài tập minh hoạ
2.1. Bài tập 1
Tìm số phức z biết:
a) \(\left| z \right| = 5\) và \(z = \overline z\).
b) \(\left| z \right| = 4\) và \(z = -\overline z.\)
c) \(\left| z \right| = 6\) và phần thực của số phức z bằng ba lần phần ảo của z.
Hướng dẫn giải
Gọi số phức z cần tìm là \(z=x+yi\) suy ra: \(\overline z = x – yi\)
a) Ta có: \(z = \overline z\) nên \(x + yi = x – yi \Leftrightarrow 2yi = 0 \Leftrightarrow y = 0.\)
Mà \(\left| z \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} = \sqrt {{x^2}} = 5 \Leftrightarrow x = \pm 5.\)
Vậy số phức cần tìm là z=5; z=-5.
b) Ta có: \(z = -\overline z\) nên \(x + yi = -x + yi \Leftrightarrow 2x = 0 \Leftrightarrow x= 0.\)
Mà \(\left| z \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} = \sqrt {{y^2}} = 4 \Leftrightarrow y = \pm 4.\)
Vậy số phức z cần tìm là z=4i; z=-4i.
c) Phần thực của số phức z là x và phần ảo là y nên x=3y. Do đó ta có:
\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x = 3y\\ \sqrt {{x^2} + {y^2}} = 6 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 3y\\ {\left( {3y} \right)^2} + {y^2} = 36 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 3y\\ {y^2} = \frac{{18}}{5} \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y = \frac{{3\sqrt {10} }}{5};x = \frac{{9\sqrt {10} }}{5}\\ y = – \frac{{3\sqrt {10} }}{5};x = – \frac{{9\sqrt {10} }}{5} \end{array} \right. \end{array}\)
vậy ta có \(z = \frac{{9\sqrt {10} }}{5} + \frac{{3\sqrt {10} }}{5}i;\,\,z = – \frac{{9\sqrt {10} }}{5} – \frac{{3\sqrt {10} }}{5}i.\)
2.2. Bài tập 2
Trên mặt phẳng toạ độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn điều kiện:
a) Phần thực của \(z\) bằng \(-2\)
b) Phần ảo của \(z\) bằng \(3\)
c) Phần thực của \(z\) thuộc khoảng \((-1; 2)\)
d) Phần ảo của \(z\) thuộc đoạn \([1; 3]\)
Hướng dẫn giải
a) Giả sử \(z = x + yi\) (\(x, y \in \mathbb R\)), khi đó trên mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), điểm \(M(x;y)\) biểu diễn số phức \(z\).
Phần thực của \(z\) bằng \(-2\), tức là \(x = -2, \, y \in R\).
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(z\) là đường thẳng \(x = -2\) trên mặt phẳng toạ độ \(Oxy\)
b) Giả sử \(z = x + yi\) (\(x, y \in \mathbb R\)), khi đó trên mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), điểm \(M(x;y)\) biểu diễn số phức \(z\).
Phần ảo của số phức \(z\) bằng \(3\) nên \(x \in R\) và \(y = 3.\)
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức \(z\) là đường thẳng \(y = 3\) trên mặt phẳng \(Oxy\).
c) Giả sử \(z = x + yi\) (\(x, y \in \mathbb R\)), khi đó trên mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), điểm \(M(x;y)\) biểu diễn số phức \(z\).
Ta có \(x \in (-1;2)\) và \(y \in \mathbb R\).
Vậy tập hợp số phức \(z\) cần tìm là các điểm nằm giữa hai đường thẳng \(x = -1\) và \(x = 2\) trên mặt phẳng \(Oxy\)
d) Giả sử \(z = x + yi\) (\(x, y \in \mathbb R\)), khi đó trên mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), điểm \(M(x;y)\) biểu diễn số phức \(z\).
Ta có \(x \in \mathbb R\) và \(y \in [1;3]\)
Vậy tập hợp các điểm cần tìm là phần mặt phẳng nằm giữa hai đường thẳng \(y = 1\) và \(y = 3\) (kể cả các điểm trên hai đường đó).
2.3. Bài tập 3
Tìm số thực x, y thỏa mãn:
a) \(5x + y + 5xi = 2y – 1 + (x – y)i.\)
b) \(\left( { – x + 2y} \right)i + \left( {2x + 3y + 1} \right) = \left( {3x – 2y + 2} \right) + \left( {4x – y – 3} \right)i\)
Hướng dẫn giải
a) \(\begin{array}{l} 5x + y + 5xi = 2y – 1 + (x – y)i\\ \Leftrightarrow (3x + y) + 5xi = (2y – 1) + (x – y)i\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3x + y = 2y – 1\\ 5x = x – y \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = – \frac{1}{7}.\\ y = \frac{4}{7}. \end{array} \right. \end{array}\)
b) Ta có: \(\left( { – x + 2y} \right)i + \left( {2x + 3y + 1} \right) = \left( {3x – 2y + 2} \right) + \left( {4x – y – 3} \right)i\) khi:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { – x + 2y = 4x – y – 3}\\ {2x + 3y + 1 = 3x – 2y + 2} \end{array}} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {5x – 3y = 3}\\ {x – 5y = – 1} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \frac{9}{{11}}}\\ {y = \frac{4}{{11}}} \end{array}} \right.\)
3. Luyện tập
3.1. Bài tập tự luận
Câu 1: Tìm phần thực và phần ảo của số phức \(z\), biết:
a) \(z = 1 – πi\)
b) \(z = \sqrt 2 – i\)
c) \(z = 2\sqrt 2\)
d) \(z = -7i\)
Câu 2: Tìm các số thực \(x, y\) thỏa màn:
a) \(2x + 1 + (1 – 2y)i\) \( = 2 – x + (3y – 2)i\)
b) \(4x + 3 + (3y – 2)i \) \( = y +1 + (x – 3)i\)
c) \(x + 2y + (2x – y)i \) \( = 2x + y + (x + 2y)i\)
Câu 3: Trên mặt phẳng toạ độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn điều kiện
a) Phần thực của \(z\) bằng \(-2\)
b) Phần ảo của \(z\) bằng \(3\)
c) Phần thực của \(z\) thuộc khoảng \((-1; 2)\)
d) Phần ảo của \(z\) thuộc đoạn \([1; 3]\)
Câu 4: Cho hai số phức \(\alpha = a + bi,\beta = c + di\). Hãy tìm điều kiện của \(a, b, c , d\) để các điểm biểu diễn \(\alpha \) và \(\beta \) trên mặt phẳng tọa độ:
a) Đối xứng với nhau qua trục \(Ox\);
b) Đối xứng với nhau qua trục \(Oy\);
c) Đối xứng với nhau qua đường phân giác của góc phần tư thứ nhất và góc phần tư thứ ba;
d) Đối xứng với nhau qua gốc tọa độ.
Câu 5: Trên mặt phẳng tọa độ tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức \(z\) thỏa mãn điều kiện:
a) Phần thực của \(z\) bằng phần ảo của nó ;
b) Phần thực của \(z\) là số đối của phần ảo của nó ;
c) Phần ảo của \(z \) bằng hai lần phần thực của nó cộng với \(1\);
d) Modun của \(z\) bằng \(1\), phần thực của \(z\) không âm.
3.2. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Tìm điểm biểu diễn của số phức \(z = 5 – 3i\) trên mặt phẳng phức.
A. \(M\left( {5; – 3} \right)\)
B. \(N\left( { – 3;5} \right)\)
C. \(P\left( { – 5;3} \right)\)
D. \(Q\left( {3; – 5} \right)\)
Câu 2: Xác định tập hợp các điểm trong hệ tọa độ vuông góc biểu diễn số phức \(z = x + iy\) thỏa mãn điều kiện \(\left| z \right| = 2\).
A. Đường tròn \({x^2} + {y^2} = 4\)
B. Đường thẳng y=2
C. Đường thẳng x=2
D. Hai đường thẳng x=2 và y=2
Câu 3: Cho số phức \(z = ax + bi\,\left( {a,b \in R} \right)\), mệnh đề nào sau đây là sai?
A. Đối với số phức z, a là phần thực.
B. Điểm \(M\left( {a,b} \right)\) trong một hệ tọa độ vuông góc của mặt phẳng phức được gọi là điểm biểu diễn số phức \(z = a + bi\).
C. Đối với số phức z, bi là phần ảo.
D. Số i được gọi là đơn vị ảo.
Câu 4: Tìm mệnh đề sai trong các mênh đề sau:
A. Số phức z=a+bi đuợc biểu diễn bằng đỉểm M(a;b) trong mặt phẳng phức Oxy
B. Số phức z=a+bi có môđun là \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} \)
C. Số phức z=a+bi=0 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 0\\ b = 0 \end{array} \right.\)
D. Số phức z=-a+bi có số phức liên hợp là z=-a+bi
Câu 5: Cho số phức z=a+bi . Số phức \(z^2\) có phần ảo là :
A. ab
B. \(2a^2b^2\)
C. \(a^2b^2\)
D. 2ab
Câu 6: Cho số phức z = 2 – 2i. Tìm khẳng định sai
A. Phần thực của z là 2.
B. Phần ảo của z là -2.
C. Số phức liên hợp của z là \(\overline z = – 2 + 2i\)
D. \(\left| z \right| = \sqrt {{2^2} + {{\left( { – 2} \right)}^2}} = 2\sqrt 2 \)
4. kết luận
Qua bài học này giúp các em nắm được một số nội dung chính như sau:
- Hiểu được số phức , phần thực phần ảo của nó; hiểu được ý nghĩa hình học của khái niệm môđun, số phức liên hợp, hai số phức bằng nhau.
- Biết biểu diễn số phức trên mặt phẳng toạ độ
- Xác định được môđun của số phức , phân biệt được phần thực và phần ảo của số phức.
- Biết cách xác định được điều kiện để hai số phức bằng nhau.