1. Tóm tắt lý thuyết
1.1. Công thức cộng, trừ và nhân hai số phức
Cho hai số phức \({z_1} = a + bi,\,\,{z_2} = c + di\,(a,b,c,d \in \mathbb{R}),\) ta có:
- \(z_1+z_2=(a + bi) + ( c + di) = (a + c) + (b + d)i\)
- \(z_1-z_2=(a + bi) – ( c + di) = (a – c) + (b – d)i\)
- \(z_1.z_2=(a + bi)( c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i\)
– Phép cộng và phép nhân số phức được thực hiện tương tự như đối với số thực, với chú ý \(i^2=-1.\)
– Với mọi \(z,z’\in\mathbb{C}\):
- \(z + \overline z = 2a\) (với \(z = a + bi\))
- = + ‘
- \(z.\overline z = {\left| z \right|^2} = {\left| {\overline z } \right|^2}\)
- \(\left| {z.z’} \right| = \left| z \right|.\left| {z’} \right|\)
- \(\left| {z + z’} \right| \le \left| z \right| + \left| {z’} \right|\)
2. Bài tập minh họa
2.1. Bài tập 1
Tìm số phức \(z\) biết \((2z – i)(1 + i) + (\overline z + 1)(1 – i) = 2 – 2i.\)
Hướng dẫn giải
Cho \(z=a+bi (a,b\in\mathbb{R})\) suy ra \(\overline z = a – bi,\) từ giải thiết bài toán ta có:
\((2a + 2bi – 1)(1 + i) + (a – bi + 1)(1 – i) = 2 – 2i\)
\(\Leftrightarrow 3a – 3b + (a + b – 2)i = 2 – 2i\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3a – 3b = 2\\ a + b – 2 = – 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = \frac{1}{3}\\ b = \frac{{ – 1}}{3} \end{array} \right.\)
Vậy \(z=\frac{1}{3}-\frac{1}{3}i.\)
2.2. Bài tập 2
Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa \(\left| {z – 1 + i} \right|=2.\)
Hướng dẫn giải
Đặt \(z=x+yi (x,y\in\mathbb{R})\) ta có: \(z – 1 + i = (x – 1) + (y + 1)i\)
\(\left| {z – 1 + i} \right|=2\) suy ra: \(\sqrt {{{(x – 1)}^2} + {{(y + 1)}^2}} = 2 \Leftrightarrow {(x – 1)^2} + {(y + 1)^2} = 4\)
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(1;-1), bán kính R=2.
2.3. Bài tập 3
Cho số phức \(\frac{{\sqrt 3 }}{2} – \frac{1}{2}i.\) Tìm các số phức sau \(\overline z\); \(z^2\); \({\left( {\overline z } \right)^3}\); \(1+z+z^2.\)
Hướng dẫn giải
\(z = \frac{{\sqrt 3 }}{2} – \frac{1}{2}i \Rightarrow \overline z = \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i\)
\({z^2} = {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} – \frac{1}{2}i} \right)^2} = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}{i^2} – \frac{{\sqrt 3 }}{2}i = \frac{1}{2} – \frac{{\sqrt 3 }}{2}i\)
\(\Rightarrow {\left( {\overline z } \right)^2} = {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i} \right)^2} = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}{i^2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i = \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i\)
\({\left( {\overline z } \right)^3} = {\left( {\overline z } \right)^2}.\overline z = \left( {\frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{4} + \frac{1}{2}i + \frac{3}{4}i – \frac{{\sqrt 3 }}{4} = i\)
\(1 + z + {z^2} = 1 + \frac{{\sqrt 3 }}{2} – \frac{1}{2}i + \frac{1}{2} – \frac{{\sqrt 3 }}{2}i = \frac{{3 + \sqrt 3 }}{2} – \frac{{1 + \sqrt 3 }}{2}i\)
2.4. Bài tập 4
Tìm phần thực, phần ảo và tính mô đun của số phức \(z\) biết: \(\overline z = {\left( {\sqrt 2 + i} \right)^2}\left( {1 – i\sqrt 2 } \right).\)
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(\begin{array}{l} \overline z = {\left( {\sqrt 2 + i} \right)^2}\left( {1 – i\sqrt 2 } \right) = \left( {2 + {i^2} + 2i\sqrt 2 } \right)\left( {1 – i\sqrt 2 } \right) = 5 + i\sqrt 2 \\ \Rightarrow z = 5 – i\sqrt 2 \end{array}\)
Vậy z có phần thực bằng 5; phần ảo bằng \(-\sqrt2\).
Môđun: \(\left| z \right| = \sqrt {{5^2} + {{\left( { – \sqrt 2 } \right)}^2}} = 3\sqrt 3 .\)
3. Luyện tập
3.1. Bài tập tự luận
Câu 1: Thực hiện các phép tính sau:
a) \((3 – 5i) + (2 + 4i)\)
b) \((-2 – 3i) + (-1 – 7i)\)
c) \((4 + 3i) – (5 – 7i)\)
d) \((2 – 3i) – ( 5 – 4i)\)
Câu 2: Tính \(α + β, α – β\), biết
a) \(α = 3, β = 2i\)
b) \(α = 1- 2i, β = 6i\)
c) \(α = 5i, β = -7i\)
d) \(α = 15, β = 4- 2i\)
Câu 3: Thực hiện các phép tính sau
a) \((3 – 2i)(2 – 3i)\)
b) \((-1 + i)(3 + 7i)\)
c) \(5(4 + 3i)\)
d) \((-2 – 5i).4i\)
Câu 4: Tính \({i^3},{i^4},{i^5}\)
Nêu cách tính \(i^n\) với \(n\) là một số tự nhiên tuỳ ý.
Câu 5: Tính
a) \((2 + 3i)^2\)
b) \((2 + 3i)^3\)
3.2. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Cho số phức z, biết \(z – \left( {2 + 3i} \right)\bar z = 1 – 9i\). Tìm phần ảo của số phức z.
A. -1
B. -2
C. 1
D. 2
Câu 2: Tìm số phức z thỏa mãn \(z + z.\overline z = \frac{i}{2}\).
A. \(z = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i\)
B. \(z = – \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i\)
C. \(z= \frac{1}{2} + \frac{3}{2}i\)
D. \(z = – \frac{1}{2}i\)
Câu 3: Số phức z = 6+7i. Số phức liên hợp của z có điểm biểu diễn là:
A. (6;7)
B. (6;-7)
C. (-6;7)
D. (-6;-7)
Câu 4: Cho số phức \(z = \left( {{m^2} + m – 2} \right) + \left( {{m^2} – 1} \right)i\,(m \in R)\). Tìm giá trị của m để z là số thuần ảo và khác 0.
A. m=1
B. m=2
C. m=-2
D. \(m = \pm 1\)
Câu 5: Số phức z = 2-3i có điểm biểu diễn là
A. (2;3)
B. (-2;-3)
C. (2;-3)
D. (-2;3)
4. Kết luận
Qua bài học này giúp các em học sinh biết được một số nội dung chính như sau:
- Nắm được các công thức và quy tắc cộng trừ và nhân số phức.
- Biết vận dụng các công thức vào giải bài tập về số phức.