Giải SBT Toán lớp 7 Bài 33: Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác
Giải SBT Toán 7 trang 52 Tập 2
Bài 9.10 trang 52 SBT Toán 7 Tập 2: Cho tam giác có độ dài cạnh lớn nhất bằng 4 cm. Hãy giải thích tại sao chu vi tam giác đó bé hơn 12 cm và lớn hơn 8 cm.
Lời giải:
Gọi độ dài ba cạnh tam giác là a, b, c (cm), (a > b > c).
Cạnh lớn nhất là a = 4, b < 4, c < 4.
Chu vi tam giác là: a + b + c < 4 + 4 + 4 = 12.
Mặt khác, theo bất đẳng thức tam giác: b + c > a
Hay a + b + c > a + a
Suy ra a + b + c > 2a = 8
Do đó 8 < a + b + c < 12
Vậy chu vi tam giác đó bé hơn 12 cm và lớn hơn 8 cm.
Bài 9.11 trang 52 SBT Toán 7 Tập 2: Tam giác ABC có AB = 2 cm, BC = 5 cm, AC = b (cm) với b là một số nguyên. Hỏi b có thể bằng bao nhiêu?
Lời giải:
Theo bất đẳng thức tam giác, ta có:
BC − AB < AC < BC + AB
Hay 5 − 2 < b < 5 + 2
Do đó 3 < b < 7
Mà b là số nguyên nên b ∈ {4; 5; 6}.
Bài 9.12 trang 52 SBT Toán 7 Tập 2: Tam giác ABC có AB = 2 cm, BC = 3 cm. Đặt CA = b (cm).
a) Chứng minh rằng 1 < b < 5.
b) Giả sử rằng với 1 < b < 5, có tam giác ABC thỏa mãn AB = 2 cm, BC = 3 cm, CA = b (cm). Với mỗi tam giác đó, hãy sắp xếp ba góc A, B, C theo thứ tự từ bé đến lớn.
Lời giải:
a) Theo bất đẳng thức tam giác, ta có:
BC − AB < AC < BC + AB
Hay 3 − 2 < b < 3 + 2
Do đó 1 < b < 5 (đpcm).
b)
+) Với 1 < b ≤ 2, ta có: AC ≤ AB < BC.
Xét tam giác ABC có AC ≤ AB < BC nên suy ra .
+) Với 2 < b ≤ 3, ta có: AB ≤ AC < BC.
Xét tam giác ABC có AB ≤ AC < BC nên suy ra .
+) Với 3 < b < 5, ta có: AB ≤ BC < AC.
Xét tam giác ABC có AB ≤ BC < AC nên suy ra .
Bài 9.13 trang 52 SBT Toán 7 Tập 2: a) Cho P là một điểm bên trong tam giác ABC. Chứng minh rằng:
AB + AC > PB + PC.
b) Cho M là một điểm bên trong tam giác ABC. Chứng minh rằng:
.
Lời giải:
a)
Lấy N là giao điểm của đường thẳng AC và BP.
Ta có: AB + AC = AB + (AN + NC) = (AB + AN) + NC (1)
Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào tam giác ABN nên suy ra: AB + AN > BN (2)
Từ (1) và (2) suy ra: AB + AC > BN + NC = (BP + NP) + NC = PB + (NP + NC) (3)
Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào tam giác CPN nên suy ra:
NP + NC > PC (4)
Từ (3) và (4) suy ra: AB + AC > PB + PC (đpcm).
b)
Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào tam giác MAB ta có:
MA + MB > AB (5)
Tương tự với các tam giác MBC và MAC ta lần lượt suy ra được:
MB + MC > BC và MA + MC > AC (6).
Từ (5) và (6) ta suy ra được:
(MA + MB) + (MB + MC) + (MA + MC) > AB + BC + AC
Hay 2(MA + MB + MC) > AB + BC + AC
Suy ra
Mặt khác chứng minh tương tự theo a) ta có:
AB + AC > MB + MC; AC + BC > MA + MB; BC + BA > MC + MA.
Từ đó ta suy ra được:
(MA + MB) + (MB + MC) + (MA + MC) < (AC + AB) + (AB + AC) + (BC + BA)
Hay 2(MA + MB + MC) < 2(AB + BC + CA)
Suy ra MA + MB + MC < AB + BC + CA (**)
Từ (*) và (**) ta suy ra:
(đpcm).
Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 7 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:
Bài 32: Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên
Bài 33: Quan hệ giữa ba cạnh trong một tam giác
Bài 34: Sự đồng quy của ba đường trung tuyến, ba đường phân giác trong một tam giác
Bài 35: Sự đồng quy của ba đường trung trực, ba đường cao trong một tam giác
Ôn tập chương 9
Bài 36: Hình hộp chữ nhật và hình lập phương
Lý thuyết Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác
1. Bất đẳng thức tam giác
Định lí: Trong một tam giác, độ dài của một cạnh bất kì luôn nhỏ hơn tổng độ dài hai cạnh còn lại.
Ví dụ: Cho tam giác ABC như hình dưới đây:
Ta suy ra được các hệ thức sau:
AB < AC + BC
AC < AB + BC
BC < AC + AB
Ba hệ thức phai trên được gọi là các bất đẳng thức tam giác.
2. Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác
Từ định lí trên, ta suy ra được tinh chất sau:
Tính chất: Trong một tam giác, độ dài của một cạnh bất kì luôn lớn hơn hiệu độ dài hai cạnh còn lại.
Ví dụ: Cho tam giác ABC như hình dưới đây:
Ta suy ra được các hệ thức sau:
AB > AC − BC
AC > AB − BC
BC > AC – AB
Nhận xét: Với a, b, c là độ dài ba cạnh tùy ý của một tam giác thì từ định lí và tinh chất nêu trên ta có:
b – c < a < b + c
Chú ý: Để kiểm tra ba độ dài có là ba cạnh của một tam giác hay không, ta chỉ cần so sanh độ dài lớn nhất có nhỏ hơn tổng hai độ dài còn lại hoặc độ dài nhỏ nhất có lớn hơn hiệu hai độ dài còn lại hay không.
Ví dụ: Cho 3 điểm phân biệt A, B, C với độ dài các đoạn thẳng như sau: AB = 3, AC = 5, BC = 7. Hỏi AB, AC, BC có là ba cạnh của một tam giác hay không?
Để kiểm tra xem AB, AC, BC có là ba cạnh của một tam giác hay không ta có thể chứng minh theo hai cách:
+ Cách 1: Ta so sánh cạnh lớn nhất là BC = 7 với tổng hai cạnh còn lại.
Vì: BC < AB + AC (7 < 3 + 5) nên suy ra AB, AC, BC có là ba cạnh của một tam giác.
+ Cách 2: Ta so sánh cạnh nhỏ nhất AB = 3 với hiệu hai cạnh còn lại.
Vì AB > BC – AC (3 > 7 – 5) nên suy ra AB, AC, BC có là ba cạnh của một tam giác.