Sách bài tập Toán 7 Bài 31 (Kết nối tri thức): Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác

Giải SBT Toán lớp 7 Bài 31: Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác

Giải SBT Toán 7 trang 48 Tập 2

Bài 9.1 trang 48 SBT Toán 7 Tập 2: Tam giác ABC có cạnh BC dài nhất. Chứng minh số đo góc A lớn hơn hoặc bằng 60°.

Lời giải:

Tam giác ABC có cạnh BC dài nhất. Chứng minh số đo góc A lớn hơn hoặc bằng 60°

Xét tam giác ABC có BC là cạnh dài nhất và góc đối diện của cạnh BC là $\hat{A}$ nên theo định lí 1 ta có $\hat{A}$ là góc lớn nhất thỏa mãn: $\hat{A} \geq \hat{B}, \hat{A} \geq \hat{C}$ .

Suy ra $\hat{A} + \hat{A} + \hat{A} \geq \hat{A} + \hat{B} + \hat{C}$

Hay $3 \hat{A} \geq \hat{A} + \hat{B} + \hat{C}$

Do đó $\hat{A} \geq \frac{\hat{A} + \hat{B} + \hat{C}}{3}$ .

Mà tổng ba góc trong một tam giác là 180º.

Nên $\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180 °$ .

Từ đó ta có: $\hat{A} \geq \frac{\hat{A} + \hat{B} + \hat{C}}{3} = \frac{180 °}{3} = 60 °$ .

Vậy suy ra số đo góc A lớn hơn hoặc bằng 60º (đpcm).

Bài 9.2 trang 48 SBT Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC cân tại A, hai điểm D, E nằm trên đường thẳng BC, D nằm giữa B và C, C nằm giữa D và E. Chứng minh AD < AC < AE.

Lời giải:

Do trong một tam giác cân, hai góc của đáy luôn bé hơn 90º nên suy ra $\hat{A C B}$ là góc nhọn.

Mà $\hat{A C E}$ kề bù với $\hat{A C B}$ nên suy ra $\hat{A C E}$ là góc tù.

Xét tam giác ACE có $\hat{A C E}$ là góc tù nên cạnh đối diện với $\hat{A C E}$ là cạnh AE là cạnh lớn nhất.

Suy ra AE > AC (*)

Mà tam giác ABC cân tại A nên AB = AC và $\hat{A B C} = \hat{A C B}$ .

Lại có:

Xét tam giác ABC có: $\hat{B A C} + \hat{A B C} + \hat{A C B} = 180 °$

Suy ra $\hat{B A C} = 180 ° - 2 \hat{A B C}$ (1)

Xét tam giác ABD có: $\hat{B A D} + \hat{A B D} + \hat{A D B} = 180 °$

Suy ra $\hat{B A D} = 180 ° - \hat{A B D} - \hat{A D B}$ (2)

Mà D nằm giữa B và C nên suy ra $\hat{B A D} < \hat{B A C}$ (3)

Từ (1), (2) và (3) ta suy ra: $180 ° - \hat{A B D} - \hat{A D B} < 180 ° - 2 \hat{A B C}$

Hay $\hat{A B C} + \hat{A D B} > 2 \hat{A B C}$

Do đó $\hat{A D B} > \hat{A B C}$ .

Áp dụng định lí 2 ta được AB > AD

Mà AB = AC (cmt) nên suy ra AC > AD (**)

Từ (*) và (**) nên suy ra AE > AC > AD (đpcm).

Bài 9.3 trang 48 SBT Toán 7 Tập 2: Hãy giải thích tại sao trong tam giác vuông, cạnh huyền dài nhất và trong tam giác tù, cạnh đối diện với góc tù là cạnh lớn nhất.

Lời giải:

Gọi tam giác ABC vuông tại A và tam giác MNP là tam giác tù tại đỉnh M.

Hãy giải thích tại sao trong tam giác vuông, cạnh huyền dài nhất và trong tam giác tù

+) Giả sử $0 ° < \hat{P} < 90 °$ tam giác ABC là tam giác vuông tại đỉnh A nên suy ra $\hat{A} = 90 °$ (1)

Lại có tam giác ABC có tổng ba góc trong tam giác bằng 180º nên suy ra: $\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180 °$

Hay $\hat{A} = 180 ° - (\hat{B} + \hat{C})$

Vậy suy ra $180 ° - (\hat{B} + \hat{C}) = 90 ° \Leftrightarrow \hat{B} + \hat{C} = 90 °$

Hay ta suy ra được $0 ° < \hat{B} < 90 °$ và $0 ° < \hat{C} < 90 °$ (2)

Từ (1) và (2) ta có: $\hat{A} > \hat{B}, \hat{A} > \hat{C}$

Theo định lí 2 ta có BC > AC và BC > AB nên BC là cạnh lớn nhất

Vậy trong tam giác vuông, cạnh huyền là cạnh lớn nhất (đpcm).

+) Giả sử tam giác MNP là tam giác tù tại đỉnh M nên suy ra $90 ° < \hat{M} < 180 °$ (3)

Lại có tam giác MNP có tổng ba góc trong tam giác bằng 180º nên suy ra: $\hat{M} + \hat{N} + \hat{P} = 180 °$

Hay $\hat{M} = 180 ° - (\hat{N} + \hat{P})$

Suy ra $90 ° < 180 ° - (\hat{N} + \hat{P}) < 180 °$

Do đó $0 ° < \hat{N} + \hat{P} < 90 °$

Hay ta suy ra được $0 ° < \hat{N} < 90 °$ và (4)

Từ (3) và (4) ta có: $\hat{M} > \hat{N}; \hat{M} > \hat{P}$ .

Theo định lí 2 ta có NP > MP và NP > MN nên NP là cạnh lớn nhất.

Vậy trong tam giác tù, cạnh đối diện với góc tù là cạnh lớn nhất (đpcm).

Bài 9.4 trang 48 SBT Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC với AB > AC. Gọi M là trung điểm của cạnh BC.

a) Hãy so sánh hai góc MAB và MAC.

(HD. Lấy điểm P sao cho M là trung điểm của AP rồi chứng minh hai tam giác AMC và PMB bằng nhau).

b) Tia phân giác của góc BAC cắt BC tại D. Hỏi D thuộc đoạn thẳng MB hay đoạn thẳng MC? Vì sao?

Lời giải:

Cho tam giác ABC với AB > AC. Gọi M là trung điểm của cạnh BC

a) Lấy P là điểm thuộc đường thẳng AM sao cho M là trung điểm của AP.

Xét hai tam giác ∆ AMC và ∆ PMB có:

AM = PM (M là trung điểm của AP)

MC = MB (M là trung điểm của BC)

$\hat{A M C} = \hat{P M B}$ (hai góc đối đỉnh)

Do đó ∆AMC = ∆PMB (c.g.c)

Suy ra $\hat{M A C} = \hat{M P B}$ (hai góc tương ứng) (1)

Và AC = PB

Mà AB > AC (gt)

Nên suy ra AB > PB

Xét tam giác ABP có AB > PB (cmt) nên theo định lí 1 ta có $\hat{A P B} > \hat{B A P}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\hat{M A C} > \hat{M A B}$ (3).

b) AD là đường phân giác của góc BAC nên ta có: $\hat{B A D} = \hat{D A C}$ (4)

Từ (3) và (4) nên suy ra được: $2 \hat{M A C} > \hat{M A C} + \hat{M A B} = \hat{B A C}$

Hay $2 \hat{M A C} > \hat{D A B} + \hat{D A C} = 2 \hat{D A C}$

Suy ra $\hat{M A C} > \hat{D A C}$ .

Do đó MC > DC.

Vậy D là điểm thuộc đoạn thẳng MC.

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 7 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Ôn tập chương 8

Bài 31: Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác

Bài 32: Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên

Bài 33: Quan hệ giữa ba cạnh trong một tam giác

Bài 34: Sự đồng quy của ba đường trung tuyến, ba đường phân giác trong một tam giác

Bài 35: Sự đồng quy của ba đường trung trực, ba đường cao trong một tam giác

Lý thuyết Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác

1. Góc đối diện với cạnh lớn hơn trong một tam giác

Định lí 1: Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn.

Ví dụ:Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh: AB = 3 cm, BC = 5 cm, CA = 7 cm. Hãy xác định góc đối diện với từng cạnh rồi sắp xếp các góc của tam giác ABC theo thứ tự từ bé đến lớn.

Hướng dẫn giải

Lý thuyết Toán 7 Kết nối tri thức Bài 31: Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác (ảnh 1)

Góc đối diện của cạnh AB là $\hat{C}$ , góc đối diện của cạnh AC là $\hat{B}$ và góc đối diện của cạnh BC là $\hat{A}$ .

Trong tam giác ABC, vì AB = 3 cm, AC = 5 cm nên AB < AC. Do đó theo định lí 1 ta có: $\hat{C} < \hat{B}$ (1).

Tương tự ta có do AC < BC (5 cm < 7 cm) nên theo định lí 1 ta có: $\hat{B} < \hat{A}$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra $\hat{C} < \hat{B} < \hat{A} .$

2. Cạnh đối diện với góc lớn hơn tỏng một tam giác

Định lí 2: Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn.

Ví dụ: Cho tam giác ABC vuông tại A có $\hat{B} = 60 °$ . Hãy viết các cạnh của tam giác đó theo thứ tự độ dài từ lớn đến bé.

Hướng dẫn giải

Lý thuyết Toán 7 Kết nối tri thức Bài 31: Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác (ảnh 2)

Tam giác ABC cạnh đối diện của các góc $\hat{A}, \hat{B}, \hat{C}$ lần lượt là BC, AC, AB.

Xét tam giác ABC vuông tại A, vì tổng số đo các góc trong một tam giác bằng , nên ta có: $\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180 °$ .

Suy ra $\hat{C} = 180 ° - \hat{A} - \hat{B}$ .

Do đó $\hat{C} = 180 ° - 90 ° - 60 ° = 30 °$ .

Từ đó trong tam giác ABC, ta có: $\hat{A} > \hat{B} > \hat{C}$ .

Theo định lí 2, ta suy ra BC > AC > AB.

Nhận xét

+ Trong tam giác vuông, góc vuông là góc lớn nhất nên cạnh đối diện với vuông góc (tức là cạnh huyền) là cạnh lớn nhất.

Ví dụ:Trong tam giác ABC vuông tại A, cạnh đối diện với góc vuông là BC nên BC là cạnh lớn nhất.

Lý thuyết Toán 7 Kết nối tri thức Bài 31: Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác (ảnh 3)

+ Tương tự trong tam giác tù, cạnh đối diện với góc tù là cạnh lớn nhất.

Ví dụ:Trong tam giác ABC là tam giác tù tại đỉnh A, có cạnh đối diện của góc tù là cạnh BC nên ở đây BC chính là cạnh lớn nhất.

Lý thuyết Toán 7 Kết nối tri thức Bài 31: Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác (ảnh 4)

Lý thuyết Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác

Bài liên quan