Sách bài tập Toán 7 Bài 23 (Kết nối tri thức): Đại lượng tỉ lệ nghịch

Giải SBT Toán lớp 7 Bài 23: Đại lượng tỉ lệ nghịch

Giải Toán 7 trang 14 Tập 2

Bài 6.25 trang 14 Toán 7 Tập 2: Biết rằng x và y tỉ lệ nghịch với nhau và x = 4 khi y = 15.

a. Viết công thức tính y theo x.

b. Tìm giá trị của y khi x = 6.

c. Tìm giá trị của x khi y = 0,5

Lời giải:

a) Ta có xy = 4.15 = 60. Do đó $y = \frac{60}{x}$ .

Vậy công thức tính y theo x là $y = \frac{60}{x}$ .

b) Khi x = 6 thì $y = \frac{60}{6} = 10$ .

c) Từ $y = \frac{60}{x}$ suy ra $x = \frac{60}{y}$ . Do đó, khi $y = 0,5$ thì $x = \frac{60}{0,5} = 60 : \frac{1}{2} = 60.2 = 120$ .

Bài 6.26 trang 14 Toán 7 Tập 2: Cho biết x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Thay dấu “?” trong bảng sau bằng số thích hợp.

x	1	2,5	?	?	8	?
y	?	4	2,5	2	?	10

Viết công thức mô tả mối quan hệ phụ thuộc giữa hai đại lượng x và y.

Lời giải:

Từ bảng trên ta thấy x = 2,5 thì y = 4 nên ta có xy = 2,5.4 = 10 nên $y = \frac{10}{x}$ .

Hoặc $x = \frac{10}{y}$ .

Từ bảng trên ta thay các dấu “?” thành các số phù hợp :

Khi x = 1 thì $y = \frac{10}{x} = \frac{10}{1} = 10$ .

Khi y = 2,5 thì $x = \frac{10}{y} = \frac{10}{2,5} = 4$ .

Khi y = 2 thì $x = \frac{10}{y} = \frac{10}{2} = 5$ .

Khi x = 8 thì $y = \frac{10}{x} = \frac{10}{8} = 1,25$ .

Khi y = 10 thì $x = \frac{10}{y} = \frac{10}{10} = 1$ .

Thay các số trên vào bảng ta được:

x	1	2,5	4	5	8	1
y	10	4	2,5	2	1,25	10

Công thức mô tả mối quan hệ phụ thuộc giữa hai đại lượng x và y là: xy = 10.

Bài 6.27 trang 14 Toán 7 Tập 2: Theo bảng giá trị dưới đây, hai đại lượng x và y có phải là hai đại lượng tỉ lệ nghịch không?

x	6	3	−4	5
y	10	20	−15	12

x	−2	−1	2	5
y	−15	−30	16	6

Lời giải:

a. Từ bảng trên ta thấy x = 6 thì y = 10 nên ta có xy = 6.10 = 60. Suy ra $y = \frac{60}{x}$ .

Thay x = 3 vào $y = \frac{60}{x}$ ta được $y = \frac{60}{3} = 20$ (đúng).

Thay x = −4 vào $y = \frac{60}{x}$ ta được $y = \frac{60}{- 4} = - 15$ (đúng).

Thay x = 5 vào $y = \frac{60}{x}$ ta được $y = \frac{60}{5} = 12$ (đúng).

Vậy hai đại lượng x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

a. Từ bảng trên ta thấy x = −2 thì y = −15 nên ta có xy = (−2).(−15) = 30. Suy ra $y = \frac{30}{x}$ .

Thay x = −1 vào $y = \frac{30}{x}$ ta được $y = \frac{30}{- 1} = - 30$ (đúng).

Thay x = 2 vào $y = \frac{30}{x}$ ta được $y = \frac{30}{2} = 15 \neq 16$ (sai).

Thay x = 5 vào $y = \frac{30}{x}$ ta được $y = \frac{30}{5} = 6$ (đúng).

Vậy hai đại lượng x và y không phải là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

Bài 6.28 trang 14 Toán 7 Tập 2: Đức cùng mẹ và chị Linh đi siêu thị và dự định mua 5 vỉ gồm 20 hộp sữa chua. Siêu thị đang trong đợt khuyến mại, sữa chua được giảm giá 20% mỗi hộp. Chị Linh nói rằng với số tiền ban đầu dự định mua sữa chua thì bây giờ có thể mua được 6 vỉ gồm 24 hộp (tăng thêm 20% số hộp so với ban đầu). Đức thì cho rằng với số tiền đó bây giờ sẽ mua được 25 hộp sữa chua (tăng thêm 25% số hộp so với ban đầu). Hỏi ai đúng, ai sai?

Lời giải:

Gọi x (đồng) là số tiền mua một hộp sữa chua trước khi giảm giá (x > 0). Khi đó số tiền mua một hộp sữa chua sau khi giảm giá là 80%x = 0,8x.

Gọi y (hộp) là số hộp sữa chua mua được sau khi giảm giá (y $\in$ ℕ*).
Do số tiền dự định để mua sữa chua không thay đổi nên giá tiền mỗi hộp và số hộp sữa chua mua được là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

Ta có: x.20 = 0,8x.y.

Do đó: $y = \frac{x .20}{0,8 x} = 25$ .

Vậy với số tiền dự định ban đầu, số hộp sữa chua mua được sau khi giảm giá là 25 hộp.

Vậy Đức đúng, chị Linh sai.

Giải Toán 7 trang 15 Tập 2

Bài 6.29 trang 15 Toán 7 Tập 2: Một ô tô và một xe máy cùng đi từ A đến B. Biết rằng vận tốc của ô tô gấp rưỡi vận tốc của xe máy và xe máy đi hết 6 giờ. Hỏi ô tô đi hết bao nhiêu giờ?

Lời giải:

Gọi v₁, v₂ (km/h) lần lượt là vận tốc của ô tô và xe máy (v₁, v₂ > 0);

t₁, t₂ (giờ) là thời gian tương ứng để đi từ A đến B của ô tô và xe máy(t₁, t₂ > 0);.

Ta có: v₁ = 1,5v₂ và t₂ = 6 (giờ)

Vì vận tốc và thời gian chuyển động trên cùng một quãng đường là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên: $\frac{v_{1}}{v_{2}} = \frac{t_{2}}{t_{1}}$ .

Thay v₁ = 1,5v₂ và t₂ = 6 vào ta có:

$\frac{1,5 v_{2}}{v_{2}} = \frac{6}{t_{1}}$ hay $1,5 = \frac{6}{t_{1}}$

Suy ra $t_{1} = \frac{6}{1,5} = 4$ .

Vậy thời gian để ô tô đi từ A đến B là 4 giờ.

Bài 6.30 trang 15 Toán 7 Tập 2: Ba máy cày cùng loại, mỗi máy làm việc 8 giờ một ngày thì trong 7 ngày cày xong một cánh đồng. Do thời tiết nắng nóng và sắp có mưa nên yêu cầu trong 4 ngày phải hoàn thành và mỗi ngày chỉ làm được trong 6 giờ. Hỏi cần bao nhiêu máy cày để có thể hoàn thành công việc đó?

Lời giải:

Gọi x là số máy cày để hoàn thành công việc đó trong 4 ngày (x $\in$ ℕ*).

Số giờ ba máy cày xong cánh đồng là: 8.7 = 56 (giờ).

Số giờ x máy cày xong cánh đồng là: 6.4 = 24 (giờ).

Trên cùng một cánh đồng, số máy cày và số giờ làm việc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

Do đó, ta có $\frac{56}{24} = \frac{x}{3}$ .

Suy ra $x = \frac{56.3}{24} = 7$ (máy).

Vậy cần 7 máy cày để hoàn thành công việc đó trong 4 ngày.

Bài 6.31 trang 15 Toán 7 Tập 2: Ba tổ công nhân làm đường có tổng cộng 52 công nhân. Để hoàn thành cùng một công việc, tổ I cần 2 ngày, tổ II cần 3 ngày và tổ III cần 4 ngày. Hỏi mỗi tổ có bao nhiêu công nhân, biết rằng năng suất làm việc của mỗi người là như nhau?

Lời giải:

Gọi x, y, z (công nhân) lần lượt là số công nhân của ba tổ (x, y, z $\in$ ℕ*).

Vì ba tổ có tổng cộng 52 công nhân nên ta có : x + y + z = 52.

Do ba tổ đều hoàn thành cùng một công việc nên thời gian hoàn thành và số công nhân là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

Do đó 2x = 3y = 4z.

Suy ra $\frac{x}{6} = \frac{y}{4} = \frac{z}{3}$ .

Từ tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{x}{6} = \frac{y}{4} = \frac{z}{3} = \frac{x + y + z}{6 + 4 + 3} = \frac{52}{13} = 4$ .

Suy ra x = 4.6 = 24; y = 4.4 = 16; z = 4.3 = 12.

Vậy ba tổ lần lượt có 24 công nhân, 16 công nhân và 12 công nhân.

Bài 6.32 trang 15 Toán 7 Tập 2: Cho biết x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch, x₁, x₂ là hai giá trị khác nhau của x và y₁, y₂ là hai giá trị tương ứng của y.

a) Tính giá trị của y₁ và y₂, biết x₁ = 3, x₂ = 2 và 2y₁ + 3y₂ = −26.

b) Tính x₁ và y₂, biết 3x₁ − 2y₂ = 32; x₂ = −4; y₁ = −10.

Lời giải:

Vì x, y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch, nên theo tính chất của đại lượng tỉ lệ nghịch, ta có:

a) $\frac{y_{1}}{y_{2}} = \frac{x_{2}}{x_{1}}$ , suy ra $\frac{y_{1}}{x_{2}} = \frac{y_{2}}{x_{1}}$ nên $\frac{2 y_{1}}{2 x_{2}} = \frac{3 y_{2}}{3 x_{1}}$ .

Từ tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{2 y_{1}}{2 x_{2}} = \frac{3 y_{2}}{3 x_{1}} = \frac{2 y_{1} + 3 y_{2}}{2 x_{2} + 3 x_{1}} = \frac{- 26}{13} = - 2$ .

Suy ra: y₁ = −2 . x₂ = −2.2 = −4; y₂ = −2 . x₁ = −2 . 3 =−6.

b) $\frac{x_{1}}{x_{2}} = \frac{y_{2}}{y_{1}}$ , suy ra $\frac{3 x_{1}}{3 x_{2}} = \frac{2 y_{2}}{2 y_{1}}$

Từ tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{3 x_{1}}{3 x_{2}} = \frac{2 y_{2}}{2 y_{1}} = \frac{3 x_{1} - 2 y_{2}}{3 x_{2} - 2 y_{1}} = \frac{32}{8} = 4$ .

Vậy x₁ = 4.x₂ = 4 . (−4) = −16; y₂ = 4 . y₁ = 4 . (−10) = −40.

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 7 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 22: Đại lượng tỉ lệ thuận

Bài 23: Đại lượng tỉ lệ nghịch

Ôn tập cuối chương 6

Bài 24: Biểu thức đại số

Bài 25: Đa thức một biến

Lý thuyết Đại lượng tỉ lệ nghịch

1. Đại lượng tỉ lệ nghịch

• Nếu đại lượng y liên hệ với đại lượng x theo công thức $y = \frac{a}{x}$ (a là một hằng số khác 0) thì ta nói y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ a.

Chú ý:

Nếu y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ a thì x cũng tỉ lệ nghịch với y theo hệ số tỉ lệ a và ta nói hai đại lượng x và y tỉ lệ nghịch với nhau.

Ví dụ: Nếu $y = \frac{3}{x}$ thì y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số 3, hay x tỉ lệ nghịch với y theo hệ số 3.

Nhận xét:

Nếu hai đại lượng y và x tỉ lệ nghịch với nhau thì:

• Tích hai giá trị tương ứng của chúng luôn không đổi (và bằng hệ số tỉ lệ):

$x_{1} y_{1} = x_{2} y_{2} = x_{3} y_{3} = … = a$ hay $\frac{y_{1}}{\frac{1}{x_{1}}} = \frac{y_{2}}{\frac{1}{x_{2}}} = \frac{y_{3}}{\frac{1}{x_{3}}} = … = a$

• Tỉ số hai giá trị bất kì của đại lượng này bằng nghịch đảo của tỉ số hai giá trị tương ứng của đại lượng kia:

$\frac{y_{1}}{y_{2}} = \frac{x_{2}}{x_{1}}; \frac{y_{1}}{y_{3}} = \frac{x_{3}}{x_{1}}; \frac{y_{2}}{y_{3}} = \frac{x_{3}}{x_{2}}; …$

Ví dụ: Cho biết x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Điền số thích hợp vào ô trống trong bảng sau:

x	0,5	-1,2			4	6
y			3	-2	1,5

Hướng dẫn giải:

Gọi hệ số tỉ lệ của x và y là a, nghĩa là $y = \frac{a}{x}$ hay x . y = a.

Ta có x = 4 thì y = 1,5 nên suy ra a = x.y = 4 . 1,5 = 6.

Vậy x . y = 6.

Khi x = 0,5 thì y = 6 : 0,5 = 12

Khi x = -1,2 thì y = 6 : (-1,2) = -5

Khi y = 3 thì x = 6 : 3 = 2

Khi y = -2 thì x = 6 : (-2) = -3

Khi x = 6 thì y = 6 : 6 = 1

Vậy ta có bảng sau:

x	0,5	-1,2	2	-3	4	6
y	12	-5	3	-2	1,5	1

2. Một số bài toán về đại lượng tỉ lệ nghịch

Để giải toán về đại lượng tỉ lệ nghịch, ta cần nhận biết được hai đại lượng tỉ lệ nghịch trong bài toán. Từ đó ta có thể lập các tỉ số bằng nhau và dựa vào tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để tìm các yếu tố chưa biết.

Ví dụ:

Cho biết 35 công nhân xây một ngôi nhà hết 168 ngày. Hỏi 28 công nhân xây một ngôi nhà trong bao nhiêu ngày? (Giả sử năng suất làm việc của mỗi công nhân là như nhau)

Hướng dẫn giải:

Vì năng suất làm việc của mỗi người là như nhau nên số công nhân và số ngày xây xong ngôi nhà là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

Gọi số công nhân là y (công nhân); số ngày xây xong ngôi nhà là x (ngày). (y $\in ℕ^{*}$ ; x > 0)

Ta có x . y = a

Khi y = 35 thì x = 168 nên ta có a = 35 . 168 = 5880.

Do đó x . y = 5880.

Vậy khi y = 28 thì x = 5880 : 28 =210.

Vậy 28 công nhân xây ngôi nhà đó hết 210 ngày.

Lý thuyết Đại lượng tỉ lệ nghịch

Bài liên quan