Giải bài tập Toán lớp 7 Bài 33: Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác
Giải Toán 7 trang 66 Tập 2
HĐ 1 trang 66 Toán lớp 7: Cho hai bộ ba thanh tre nhỏ có độ dài như sau
Bộ thứ nhất: 10 cm, 20 cm, 25 cm.
Bộ thứ hai: 5 cm, 15 cm, 25 cm.
Em hãy ghép và cho biết bộ nào ghép được thành một tam giác.
Phương pháp giải:
Ghép sao cho cứ 2 đầu của 2 thanh tre trùng nhau thì bộ ba đó ghép được thành tam giác.
Lời giải:
Bộ thứ nhất ghép được thành tam giác.
HĐ 2 trang 66 Toán lớp 7: Với bộ ba thanh tre ghép lại được thành một tam giác trong HĐ1, em hãy so sánh độ dài của thanh tre bất kì với tổng độ dài 2 thanh còn lại
Phương pháp giải:
Tính tổng độ dài của 2 thanh tre bất kì rồi so sánh với dộ dài thanh còn lại.
Lời giải:
Ta có: 10 + 20 = 30 > 25
10 + 25 = 35 > 20
20 + 25 = 45 > 10
Vậy độ dài của thanh tre bất kì luôn nhỏ hơn tổng độ dài 2 thanh còn lại.
Giải Toán 7 trang 67 Tập 2
Tranh luận trang 67 Toán lớp 7: Ý kiến của em thì sao?
Phương pháp giải:
Sử dụng bất đẳng thức tam giác: Trong một tam giác, độ dài của một cạnh luôn nhỏ hơn tổng độ dài hai cạnh còn lại.
Kiểm tra, nếu ba độ dài không thỏa mãn bất đẳng thức tam giác thì chúng không ghép được thành một tam giác.
Lời giải:
Vì 1+ 2 < 4 nên bộ ba đoạn thẳng không lập được thành 1 tam giác.
Vậy Vuông sai, Tròn đúng.
Chú ý: Khi kiểm tra 3 đoạn thẳng có thỏa mãn bất đẳng thức tam giác không, để nhanh gọn, ta chỉ cần kiểm tra tổng độ dài của 2 cạnh nhỏ hơn có lớn hơn độ dài cạnh lớn nhất hay không
Giải Toán 7 trang 68 Tập 2
Luyện tập trang 68 Toán lớp 7: Hỏi ba độ dài nào sau đây không thể là độ dài ba cạnh của một tam giác? Vì sao? Hãy vẽ tam giác nhận ba độ dài còn lại làm độ dài 3 cạnh.
a) 5 cm, 4 cm, 6 cm.
b) 3 cm, 6 cm, 10 cm.
Phương pháp giải:
Khi kiểm tra 3 đoạn thẳng có thỏa mãn bất đẳng thức tam giác không, để nhanh gọn, ta chỉ cần kiểm tra tổng độ dài của 2 cạnh nhỏ hơn có lớn hơn độ dài cạnh lớn nhất hay không
Lời giải:
a) Vì 5+4 > 6 nên ba độ dài 5 cm, 4 cm, 6 cm có thể là độ dài ba cạnh của một tam giác.
b) Vì 3 + 6 = 9 < 10 nên ba độ dài 3 cm, 6 cm, 10 cm không thể là độ dài ba cạnh của một tam giác
Giải Toán 7 trang 69 Tập 2
Bài tập
Bài 9.10 trang 69 Toán lớp 7: Cho các bộ ba đoạn thẳng có độ dài như sau
a) 2 cm, 3 cm, 5 cm
b) 3 cm, 4 cm, 6 cm
c) 2 cm, 4 cm, 5 cm.
Hỏi bộ ba nào không thể là độ dài ba cạnh của một tam giác? Vì sao? Với mỗi bộ ba còn lại, hãy vẽ một tam giác có độ dài ba cạnh được cho trong bộ ba đó.
Phương pháp giải:
Khi kiểm tra 3 đoạn thẳng có thỏa mãn bất đẳng thức tam giác không, để nhanh gọn, ta chỉ cần kiểm tra tổng độ dài của 2 cạnh nhỏ hơn có lớn hơn độ dài cạnh lớn nhất hay không
Lời giải:
Theo bất đẳng thức tam giác:
a) Vì 2 + 3 = 5 nên bộ ba đoạn thẳng có độ dài 2 cm, 3 cm, 5 cm không thể là độ dài ba cạnh của một tam giác
b) Vì 3+4 > 6 nên bộ ba đoạn thẳng có độ dài 3 cm, 4 cm, 6 cm có thể là độ dài ba cạnh của một tam giác
* Cách vẽ: + Vẽ độ dài cạnh AB = 6cm.
+ Dùng compa, vẽ cung tròn tâm A bán kính 3 cm, cung tròn tâm B bán kính 4cm. Hai cung tròn này cắt nhau tại C.
Ta được tam giác ABC cần vẽ.
c) Vì 2+4 > 5 nên bộ ba đoạn thẳng có độ dài 2 cm, 4 cm, 5 cm có thể là độ dài ba cạnh của một tam giác
* Cách vẽ: + Vẽ độ dài cạnh AB = 5cm.
+ Dùng compa, vẽ cung tròn tâm A bán kính 2 cm, cung tròn tâm B bán kính 4cm. Hai cung tròn này cắt nhau tại C.
Ta được tam giác ABC cần vẽ.
Bài 9.11 trang 69 Toán lớp 7: a) Cho tam giác ABC có AB = 1 cm, BC = 7 cm. Hãy tìm độ dài cạnh CA biết rằng đó là một số nguyên (cm).
b) Cho tam giác ABC có AB= 2 cm, BC = 6 cm và BC là cạnh lớn nhất. Hãy tìm độ dài cạnh CA biết rằng đó là một số nguyên ( cm).
Phương pháp giải:
Sử dụng bất đẳng thức tam giác: Trong một tam giác, độ dài của một cạnh luôn nhỏ hơn tổng độ dài hai cạnh còn lại và lớn hơn hiệu độ dài 2 cạnh còn lại: b – c < a < b + c ( với a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác)
Kết hợp điều kiện độ dài cạnh CA là số nguyên
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức tam giác trong tam giác ABC, ta có:
7 – 1 < CA < 7 + 1
6 < CA < 8
Mà CA là số nguyên
CA = 7 cm.
Vậy CA = 7 cm.
b) Áp dụng bất đẳng thức tam giác trong tam giác ABC, ta có:
AB + CA > BC
2 + CA > 6
CA > 4 cm
Mà CA là số nguyên và CA < 6 ( vì BC = 6 cm là cạnh lớn nhất của tam giác)
CA = 5 cm
Vậy CA = 5 cm.
Bài 9.12 trang 69 Toán lớp 7: Cho điểm M nằm bên trong tam giác ABC. Gọi N là giao điểm của đường thẳng AM và cạnh BC. (H.9.18)
a) So sánh MB với MN + NB, từ đó suy ra MA + MB < NA + NB
b) So sánh NA với CA + CN, từ đó suy ra NA + NB < CA + CB
c) Chứng minh MA + MB < CA + CB.
Phương pháp giải:
Sử dụng định lí:
+ Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ 1 điểm nằm ngoài 1 đường thẳng đến đường thẳng đó thì đường vuông góc là đường ngắn nhất.
+ Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn nhất là cạnh lớn nhất.
Lời giải:
a) 3 điểm M,N,B không thẳng hàng.
Áp dụng bất đẳng thức tam giác trong tam giác MNB có:
MB < MN + NB
MA + MB < MA + MN + NB
MA + MB < NA + NB ( vì MA + MN = NA) (1)
b) 3 điểm A,N,C không thẳng hàng.
Áp dụng bất đẳng thức tam giác trong tam giác ACN có:
NA < CA + CN
NA + NB < CA + CN + NB
NA + NB < CA + CB ( vì CN + NB = CB) (2)
c) Từ (1) và (2) ta có:
MA + MB < NA + NB < CA + CB
Vậy MA + MB < CA + CB
Bài 9.13 trang 69 Toán lớp 7: Cho tam giác ABC, điểm D nằm giữa B và C. Chứng minh rằng AD nhỏ hơn nửa chu vi tam giác ABC.
Phương pháp giải:
Áp dụng quan hệ giữa ba cạnh của tam giác ABD và tam giác ACD.
Lời giải:
Áp dụng quan hệ giữa ba cạnh của tam giác ABD, ta có: AD < AB + BD
Áp dụng quan hệ giữa ba cạnh của tam giác ACD, ta có: AD < CD + AC
( vì )
2AD < Chu vi tam giác ABC hay AD < (Chu vi tam giác ABC) : 2
Vậy AD nhỏ hơn nửa chu vi tam giác ABC.
Xem thêm các bài giải SGK Toán lớp 7 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:
Bài 32: Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên
Luyện tập chung trang 70
Bài 34: Sự đồng quy của ba đường trung tuyến, ba đường phân giác trong một tam giác
Bài 35: Sự đồng quy của ba đường trung trực, ba đường cao trong một tam giác
Lý thuyết Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác
1. Bất đẳng thức tam giác
Định lí: Trong một tam giác, độ dài của một cạnh bất kì luôn nhỏ hơn tổng độ dài hai cạnh còn lại.
Ví dụ: Cho tam giác ABC như hình dưới đây:
Ta suy ra được các hệ thức sau:
AB < AC + BC
AC < AB + BC
BC < AC + AB
Ba hệ thức phai trên được gọi là các bất đẳng thức tam giác.
2. Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác
Từ định lí trên, ta suy ra được tinh chất sau:
Tính chất: Trong một tam giác, độ dài của một cạnh bất kì luôn lớn hơn hiệu độ dài hai cạnh còn lại.
Ví dụ: Cho tam giác ABC như hình dưới đây:
Ta suy ra được các hệ thức sau:
AB > AC − BC
AC > AB − BC
BC > AC – AB
Nhận xét: Với a, b, c là độ dài ba cạnh tùy ý của một tam giác thì từ định lí và tinh chất nêu trên ta có:
b – c < a < b + c
Chú ý: Để kiểm tra ba độ dài có là ba cạnh của một tam giác hay không, ta chỉ cần so sanh độ dài lớn nhất có nhỏ hơn tổng hai độ dài còn lại hoặc độ dài nhỏ nhất có lớn hơn hiệu hai độ dài còn lại hay không.
Ví dụ: Cho 3 điểm phân biệt A, B, C với độ dài các đoạn thẳng như sau: AB = 3, AC = 5, BC = 7. Hỏi AB, AC, BC có là ba cạnh của một tam giác hay không?
Để kiểm tra xem AB, AC, BC có là ba cạnh của một tam giác hay không ta có thể chứng minh theo hai cách:
+ Cách 1: Ta so sánh cạnh lớn nhất là BC = 7 với tổng hai cạnh còn lại.
Vì: BC < AB + AC (7 < 3 + 5) nên suy ra AB, AC, BC có là ba cạnh của một tam giác.
+ Cách 2: Ta so sánh cạnh nhỏ nhất AB = 3 với hiệu hai cạnh còn lại.
Vì AB > BC – AC (3 > 7 – 5) nên suy ra AB, AC, BC có là ba cạnh của một tam giác.