Giải SGK Toán 7 Bài 14 (Kết nối tri thức): Trường hợp bằng nhau thứ hai và thứ ba của tam giác

Giải bài tập Toán lớp Bài 14: Trường hợp bằng nhau thứ hai và thứ ba của tam giác

Video bài giảng Trường hợp bằng nhau thứ hai và thứ ba của tam giác – Kết nối tri thức

Giải Toán 7 trang 70 Tập 1

1. Trường hợp bằng nhau thứ hai của tam giác: Cạnh – Góc – Cạnh (c.g.c)

HĐ 1 trang 70 Toán lớp 7: Vẽ $\widehat{xAy}$ = 60°. Lấy điểm B trên tia Ax và điểm C trên tia Ay sao cho: AB = 4 cm, AC = 3 cm. Nối điểm B với điểm C ta được tam giác ABC (H.4.27)

Dùng thước thẳng có vạch chia đo độ dài cạnh BC của tam giác ABC.

Phương pháp giải:

Dùng thước thẳng có vạch chia đo độ dài cạnh BC của tam giác ABC.

Lời giải:

Dùng thước thẳng có vạch chia đo độ dài cạnh BC ta được: BC=3,6cm.

HĐ 2 trang 70 Toán lớp 7: Vẽ thêm tam giác A’B’C’ với  $\widehat{B^{\prime }{A}^{\prime }{C}^{\prime }}$= 60°, A’B’ = 4 cm và A’C’= 3 cm (H.4.28).

Dùng thước thẳng có vạch chia hoặc compa để so sánh độ dài các cạnh tương ứng của hai tam giác ABC và A’B’C’

– Hai tam giác ABC và A’B’C’ có bằng nhau không?

– Độ dài các cạnh BC và B’C’ của hai tam giác em vừa vẽ có bằng các cạnh BC và B’C’ của hai tam giác các bạn khác vẽ không?

– Hai tam giác em vừa vẽ có bằng hai tam giác mà các bạn khác vẽ không?

Phương pháp giải:

Dùng thước thẳng có vạch chia đo độ dài cạnh BC của tam giác ABC.

Lời giải:

Thực hiện tương tự trong Hoạt động 1, ta vẽ hình như sau:

Bước 1. Vẽ góc x’A’y’ = $60°$

Bước 2. Lấy điểm B’ trên A’y’ sao cho A’B’ = 4cm và lấy điểm C’ trên A’x’ sao cho A’C’ = 3cm

Bước 3. Nối điểm B’ và C’ ta được tam giác A’B’C’

Dùng thước thẳng có vạch chia ta đo được:

 AB = A’B’ = 4cm, AC = A’C’ = 3cm, BC = B’C’$\approx$3,6cm

– Xét hai tam giác ABC và A’B’C’ có:

AB = A’B’ (chứng minh trên).

BC = B’C’ (chứng minh trên).

AC = A’C’ (chứng minh trên).

Do đó $△\mathrm{ABC}=△\mathrm{A}‘\mathrm{B}‘\mathrm{C}‘ (\mathrm{c}–\mathrm{c}–\mathrm{c})$.

– Độ dài các cạnh BC và B’C’ của hai tam giác em vừa vẽ bằng các cạnh BC và B’C’ của hai tam giác các bạn khác vẽ.

– Hai tam giác em vừa vẽ bằng hai tam giác mà các bạn khác vẽ.

Giải Toán 7 trang 71 Tập 1

Câu hỏi trang 71 Toán lớp 7: Trong Hình 4.29, hai tam giác nào bằng nhau?

Phương pháp giải:

Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

Lời giải:

Xét 2 tam giác ABC và MNP có:

AB=MN

$\widehat{BAC}=\widehat{NMP}$

AC=MP

Vậy $\mathrm{\Delta }ABC=\mathrm{\Delta }MNP$(c.g.c)

Luyện tập 1 trang 71 Toán lớp 7: Hai tam giác ABC và MNP trong Hình 431 Có bằng nhau không? Vì sao?

Phương pháp giải:

Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

Lời giải:

Xét tam giác MNP có:

$\begin{array}{l}\hat{M}+\hat{N}+\hat{P}={180}^o\\ \Rightarrow \hat{M}+{50}^o+{70}^o={180}^o\\ \Rightarrow \hat{M}={60}^o\end{array}$

Xét 2 tam giác ABC và MNP có:

AB=MN

$\widehat{BAC}=\widehat{NMP}$

AC=MP

Vậy $\mathrm{\Delta }ABC=\mathrm{\Delta }MNP$(c.g.c)

Vận dụng trang 71 Toán lớp 7: Cho Hình 4.32, biết $\widehat{OAB}=\widehat{ODC},OA=OD$ và $AB=CD$.

Chứng minh rằng:

a) $AC=DB$;

b) $\mathrm{\Delta }OAC=\mathrm{\Delta }ODB$.

Phương pháp giải:

Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

Lời giải:

a) Ta có:

$\begin{array}{l}AB=CD\\ \Rightarrow AB+BC=CD+BC\\ \Rightarrow AC=BD\end{array}$

b) Xét tam giác OAC và ODB có:

AC=BD(cmt)

$\hat{A}=\hat{D}$

OA=OD

$\Rightarrow \mathrm{\Delta }OAC=\mathrm{\Delta }ODB$(c.g.c)

Giải Toán 7 trang 72 Tập 1

2. Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác: Góc – Cạnh – Góc (g.c.g)

HĐ 3 trang 72 Toán lớp 7: Vẽ đoạn thẳng $BC=3\mathrm{c}\mathrm{m}$. Vẽ hai tia Bx và Cy sao cho $\widehat{xBC}={80}^{\circ },\widehat{yCB}={40}^{\circ }$ như Hình 4.33.

Lấy giao điểm $A$ của hai tia Bx và Cy, ta được tam giác ABC (H.4.33)

Dùng thước thẳng có vạch chia độ dài hai cạnh AB, AC của tam giác ABC.

Phương pháp giải:

Dùng thước thẳng có vạch chia độ dài hai cạnh AB, AC của tam giác ABC.

Lời giải:

AB=2,2 cm

AC=3,4 cm

HĐ 4 trang 72 Toán lớp 7: Vẽ thêm tam giác $A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }}$ sao cho $B^{\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }}=3\mathrm{c}\mathrm{m}$, $\widehat{A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }}}={80}^{\circ },\widehat{A^{\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}}={40}^{\circ }.(\mathrm{H}.4.34)$.

Dùng thước thẳng có vạch chia hoặc compa so sánh độ dài các cạnh của hai tam giác A B C và $A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }}$.

Hai tam giác A B C và $A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }}$ có bằng nhau không?

Phương pháp giải:

Dùng thước thẳng hoặc compa để đo độ dài các cạnh của 2 tam giác và so sánh

Lời giải:

Tương tự Hoạt động 3, ta vẽ hình như sau:

Bước 1. Vẽ đoạn thẳng B’C’ = 3cm

Bước 2. Dùng thước đo độ, vẽ hai tia B’x’ và C’y’ sao cho x’B’C’ = 80 độ, y’C’B’ = 40 độ

Bước 3. Lấy giao điểm A’ của hai tia B’x’ và C’y’ ta được tam giác A’B’C’.

– Dùng thước thẳng có vạch chia, ta đo được AB = A’B’ $\approx$2,2 cm; AC = A’C’ $\approx$3,4 cm và BC = B’C’ = 3 cm

– Xét hai tam giác ABC và A’B’C’ có:

AB = A’B’ (chứng minh trên).

ABC = A’B’C’ (cùng bằng 80o).

BC = B’C’ (chứng minh trên).

Vậy $∆\mathrm{ABC}=∆\mathrm{A}‘\mathrm{B}‘\mathrm{C}‘$ (c – g – c).

Câu hỏi trang 72 Toán lớp 7: Hai tam giác nào trong Hình 4.35 bằng nhau?

Phương pháp giải:

Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau

Lời giải: 

Cặp tam giác bằng nhau là:

$\mathrm{\Delta }ABC=\mathrm{\Delta }MNP$ vì

$\begin{array}{l}\hat{B}=\hat{N}(={50}^{\circ })\\ BC=NP\\ \hat{C}=\hat{P}(={70}^{\circ })\end{array}$$\begin{array}{l}\hat{B}=\hat{N}(={50}^{\circ })\\ BC=NP\\ \hat{C}=\hat{P}(={70}^{\circ })\end{array}$

Vậy $\mathrm{\Delta }ABC=\mathrm{\Delta }MNP$ (g-c-g)

Giải Toán 7 trang 73 Tập 1

Luyện tập 2 trang 73 Toán lớp 7: Chứng minh hai tam giác ABD và CBD trong hình 4.37 bằng nhau.

Phương pháp giải:

Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

Lời giải:

Xét hai tam giác ABD và CBD có:

$\widehat{ABD}=\widehat{CBD}$

BD chung

$\widehat{ADB}=\widehat{CDB}$

$\mathrm{\Delta }ABD=\mathrm{\Delta }CBD$(g.c.g)

Thử thách nhỏ trang 73 Toán lớp 7: Bạn Lan nói rằng: “Nếu tam giác này có một cạnh cùng một góc kề và góc đối diện tương ứng bằng một cạnh cùng một góc kề và góc đối diện của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau” (H.4.38). Theo em bạn Lan nói có đúng không? Vì sao?

Phương pháp giải:

Kiểm tra xem góc còn lại của hai tam giác có bằng nhau không?

Lời giải:

Do hai tam giác trên có hai cặp cạnh bằng nhau nên cặp góc còn lại bằng nhau.

$\hat{C}=\widehat{C^{\prime }}$

Vậy hai tam giác đã cho bằng nhau theo trường hợp góc – cạnh – góc.

Bài tập

Bài 4.12 trang 73 Toán lớp 7: Trong mỗi hình bên (H.4.39), hãy chỉ ra một cặp tam giác bằng nhau và giải thích vì sao chúng bằng nhau.

Phương pháp giải:

Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau

Lời giải:

a)Xét tam giác ABD và tam giác CBD có:

AB=CD

$\widehat{ABD}=\widehat{CDB}$

BD chung

Vậy $\mathrm{\Delta }ABD=\mathrm{\Delta }CBD$(c.g.c)

b)Xét hai tam giác OAD và OCB có:

AO=CO

$\widehat{AOD}=\widehat{COB}$(đối đỉnh)

OD=OB

Vậy $\mathrm{\Delta }OAD=\mathrm{\Delta }OCB$(c.g.c)

Bài 4.13 trang 73 Toán lớp 7: Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tại điểm O sao cho OA = OC, OB = OD như Hình 4.40.

a) Hãy tìm hai cặp tam giác có chung đỉnh O bằng nhau;

b) Chứng minh rằng $\mathrm{\Delta }$DAB = $\mathrm{\Delta }$BCD.

Phương pháp giải:

Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

Lời giải:

a) Hai cặp tam giác có chung đỉnh O bằng nhau là: AOB và COD; AOD và COB theo trường hợp cạnh – góc – cạnh.

b)

Do hai tam giác AOD và COB nên: $\widehat{ADO}=\widehat{CBO}$ (2 góc tương ứng) và AD=BC (2 cạnh tương ứng)

Xét $\mathrm{\Delta }$DAB và $\mathrm{\Delta }$BCD có:

AD=BC

$\widehat{ADO}=\widehat{CBO}$

BD chung

Vậy $\mathrm{\Delta }$DAB =$\mathrm{\Delta }$BCD (c.g.c)

Bài 4.14 trang 73 Toán lớp 7: Chứng minh rằng hai tam giác ADE và BCE trong Hình 4.41 bằng nhau.

Phương pháp giải:

Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

Lời giải:

Xét hai tam giác ADE và BCE có:

$\hat{A}=\hat{B}$

AE=BE

$\widehat{AED}=\widehat{BEC}$(đối đỉnh)

Vậy $\mathrm{\Delta }ADE=\mathrm{\Delta }BCE$(g.c.g)

Bài 4.15 trang 73 Toán lớp 7: Cho đoạn thẳng AB song song và bằng đoạn thẳng CD như Hình 4.42. Gọi E là giao điểm của hai đường thẳng AD và BC. Hai điểm G và H lần lượt nằm trên AB và CD sao cho G, E, H thẳng hàng. Chứng minh rằng:

a) $\mathrm{\Delta }$ABE =$\mathrm{\Delta }$DCE;

b) EG = EH.

Phương pháp giải: 

Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

Lời giải:

a)Xét hai tam giác ABE và DCE có:

$\widehat{BAE}=\widehat{CDE}$(so le trong)

AB=CD(gt)

$\widehat{ABE}=\widehat{DCE}$(so le trong)

Vậy $\mathrm{\Delta }$ABE =$\mathrm{\Delta }$DCE(g.c.g)

b)Xét hai tam giác BEG và CEH có:

$\widehat{CEH}=\widehat{BEG}$(đối đỉnh)

CE=BE (do $\mathrm{\Delta }$ABE =$\mathrm{\Delta }$DCE)

$\widehat{ECH}=\widehat{EBG}$(so le trong)

Suy ra $\mathrm{\Delta }BEG=\mathrm{\Delta }CEH$(g.c.g)

Vậy EG=EH (hai cạnh tương ứng).

Lý thuyết Trường hợp bằng nhau thứ hai và thứ ba của tam giác

1. Trường hợp bằng nhau thứ hai của tam giác: cạnh – góc – cạnh (c.g.c)

• Trong tam giác ABC, góc BAC (hay góc A) được gọi là góc xen giữa của hai cạnh AB và AC.

• Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

Ví dụ:

+ Tam giác ABC và tam giác EFD có cạnh AB = EF = 5cm; AC = ED = 3cm; góc A là góc xen giữa của cạnh AB và AC, góc E là góc xen giữa của cạnh EF và ED; $\hat{A}=\hat{E}=79°$.

Khi đó ta có $\Delta ABC=\Delta EFD$ theo trường hợp cạnh góc cạnh (c.g.c)

2. Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác: góc – cạnh – góc (g.c.g)

• Trong tam giác ABC, hai góc ABC, ACB (hay góc B và góc C) được gọi là hai góc kề cạnh BC của tam giác ABC.

• Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

Ví dụ

+ Tam giác ABC và tam giác EFD có $\hat{B}=\hat{F}=37°$; $\hat{C}=\hat{D}=64°$; góc B và góc C là hai góc kề của cạnh BC, góc F và góc D là hai góc kề của cạnh FD; cạnh BC = FD = 6cm.

Khi đóta có <$\Delta ABC=\Delta EFD$theo trường hợp góc cạnh góc (g.c.g)

Xem thêm các bài giải SGK Toán lớp 7 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Luyện tập chung trang 68

Luyện tập chung trang 74

Bài 15: Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông

Bài 16: Tam giác cân. Đường trung trực của đoạn thẳng