Sách bài tập Toán 10 Bài 21 (Kết nối tri thức): Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ

Giải SBT Toán lớp 10 Bài 21: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ

Giải SBT Toán 10 trang 41 Tập 2

Bài 7.19 trang 41 SBT Toán 10 Tập 2: Tìm tâm và bán kính của đường tròn (C) trong các trường hợp sau:

a) (x – 2)² + (y – 8)² = 49;

b) (x + 3)² + (y – 4)² = 23.

Lời giải:

Phương trình đường tròn có dạng: (x – a)² + (y – b)² = R²

Với (a; b) là tọa độ tâm I và R > 0 là bán kính của đường tròn

a)

Xét (x – 2)² + (y – 8)² = 49 có:

a = 2, b = 8, R² = 49 ⇒ R = 7

Vậy đường tròn (C) có tâm I(2; 8) và bán kính R = 7.

b)

Xét(x + 3)² + (y – 4)² = 23 có:

a = –3, b = 4, R² = 23 ⇒ R =  $\sqrt{23}$

Vậy đường tròn (C) có tâm I(–3; 4) và bán kính R = $\sqrt{23}$ .

Bài 7.20 trang 41 SBT Toán 10 Tập 2: Phương trình nào dưới đây là phương trình của một đường tròn? Khi đó hãy tìm tâm và bán kính của nó.

a) x² + 2y² – 4x – 2y + 1 = 0.

b) x² + y² – 4x + 3y + 2xy = 0.

c) x² + y² – 8x – 6y + 26 = 0.

d) x² + y² + 6x – 4y + 13 = 0

e) x² + y² – 4x + 2y + 1 = 0.

Lời giải:

a)

Phương trình đã cho không là phương trình của đường tròn do hệ số của x² và y² không bằng nhau

b)

Phương trình đã cho không là phương trình của đường tròn do trong phương trình của đường tròn không có thành phần tích xy.

c)

Phương trình đã cho có các hệ số a = 4, b = 3, c = 26, ta có:

a² + b² – c = 4² + 3² – 26 = –1 < 0

do đó nó không là phương trình của đường tròn.

d)

Phương trình đã cho có các hệ số a = –3, b = 2, c = 13, ta có:

a² + b² – c = (–3)² + 2² – 13 = 0 

do đó nó không là phương trình của đường tròn.

e)

Phương trình đã cho có các hệ số a = 2, b = –1, c = 1, ta có:

a² + b² – c = 2² + (–1)² – 1 = 4 > 0 

nên đây là phương trình của đường tròn có tâm I(2; –1) và có bán kính $R=\sqrt{4}=2$.

Bài 7.21 trang 41 SBT Toán 10 Tập 2: Viết phương trình của đường tròn (C) trong các trường hợp sau.

a) Có tâm I(3; 1) và có bán kính R = 2.

b) Có tâm I(3; 1) và đi qua điểm M(–1; 7).

c) Có tâm I(2; –4) và tiếp xúc với đường thẳng Δ: 3x – 2y – 1 = 0.

d) Có đường kính AB với A(4; 1), B(–2; –5).

Lời giải:

a)

Phương trình đường tròn có tâm I(3; 1) và có bán kính R = 2 là:

(x – 3)²  + (y – 1)² = 2²

⇔ (x – 3)²  + (y – 1)² = 4.

b)

Đường tròn có tâm I(3; 1) và đi qua điểm M(–1; 7) có bán kính

R = IM = $\sqrt{{(-1-3)}^2+{(7-1)}^2}=2\sqrt{13}$

Phương trình đường tròn có tâm I(3; 1) và đi qua điểm M(–1; 7) là:

(x – 3)²  + (y – 1)² = ( )²

⇔ (x – 3)²  + (y – 1)² = 52.

c)

Đường tròn có tâm I(2; –4) và tiếp xúc với đường thẳng Δ: 3x – 2y – 1 = 0 có bán kính R = d(I; Δ) =  $\frac{\left|3.2-2.\left(-4\right)-1\right|}{\sqrt{3^2+{\left(-2\right)}^2}}=\sqrt{13}$  

Phương trình đường tròn có tâm I(2; –4) và tiếp xúc với đường thẳng Δ: 3x – 2y – 1 = 0 là:

(x – 2)²  + (y + 4)² = ( )²

⇔ (x – 2)²  + (y + 4)² = 13.

d)

Đường tròn có đường kính AB với A(4; 1), B(–2; –5) có:

Tâm I là trung điểm AB nên:

x_I = (x_A + x_B) : 2 = (4 + (– 2)) : 2 = 1

y_I = (y_A + y_B) : 2 = (1 + (– 5)) : 2 = –2

Do đó, I(1; –2).

Bán kính R = $\frac{AB}{2}=\frac{\sqrt{{(-2-4)}^2+{(-5-1)}^2}}{2}=3\sqrt{2}$

Phương trình đường tròn có đường kính AB với A(4; 1), B(–2; –5) là:

(x – 1)²  + (y + 2)² = ( $3\sqrt{2}$)²

⇔ (x – 1)²  + (y + 2)² = 18.

Bài 7.22 trang 41 SBT Toán 10 Tập 2: Viết phương trình đường tròn (C) có tâm thuộc đường thẳng Δ: x + y – 1 = 0 và đi qua hai điểm A(6; 2), B(–1; 3).

Lời giải:

Dựa vào Δ: x + y – 1 = 0 ta có: y = 1 – x

Gọi I là tâm của đường tròn (C). Ta có I ∈ Δ ⇔ I(t; 1 – t)

Vì A, B thuộc (C) nên ta có

AI² = BI²

⇔ (t – 6)² + (1 – t – 2)² = (t + 1)² + (1 – t – 3)²

⇔ (t – 6)² + (–1 – t )² = (t + 1)² + (–2 – t )²

⇔ (t – 6)² + (t + 1)² = (t + 1)² + (t + 2)²

⇔ (t – 6)² = (t + 2)²

⇔ t² – 12t + 36 = t² + 4t + 4

⇔ 16t = 32

⇔ t = 2

Do đó, I(2; –1)

Bán kính của (C) là:

$R=IA=\sqrt{{\left(6-2\right)}^2+{\left(2-\left(-1\right)\right)}^2}=5$

Phương trình của đường tròn (C) là:

(x – 2)² + (y + 1)² = 5²

⇔ (x – 2)² + (y + 1)² = 25.

Giải SBT Toán 10 trang 42 Tập 2

Bài 7.23 trang 42 SBT Toán 10 Tập 2: Cho đường tròn (C) có phương trình x² + y² + 6x – 4y – 12 = 0. Viết phương trình tiếp tuyến Δ của (C) tại điểm M(0; –2).

Lời giải:

Xét đường tròn (C) có phương trình: x² + y² + 6x – 4y – 12 = 0. Ta có:

Tâm I(a; b) với a = 6 : (–2) = –3, b = –4 : (–2) = 2, do đó, đường tròn (C) có tâm I(–3; 2).

Đường thẳng Δ đi qua điểm M(0; –2) và có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{\Delta }}=\overrightarrow{IM}=\left(3;-4\right)$ . Phương trình của Δ là

3(x – 0) – 4(y + 2) = 0

⇔ 3x – 4y – 8 = 0.

Bài 7.24 trang 42 SBT Toán 10 Tập 2: Cho điểm A(4; 2) và hai đường thẳng d: 3x + 4y – 20 = 0, d’: 2x + y = 0.

a) Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua A và vuông góc với d.

b) Viết phương trình đường tròn (C) có tâm thuộc đường thẳng d’ và tiếp xúc với d tại điểm A.

Lời giải:

a)

Dựa vào đề bài ta có do đường thẳng Δ vuông góc với d nên: $\overrightarrow{u_{\Delta }}=\overrightarrow{n_d}=\left(3;4\right)\Rightarrow \overrightarrow{n_{\Delta }}=\left(4;-3\right)$ .

Phương trình của Δ là:

4(x – 4) – 3(y – 2) = 0 

⇔ 4x – 3y – 10 = 0.

b)

Gọi I là tâm của đường tròn (C).

Vì d tiếp xúc với (C) tại điểm A nên ta có IA ⊥ d, do đó I thuộc Δ. Mặt khác, I thuộc đường thẳng d’. Suy ra toạ độ của I thoả mãn hệ phương trình

$\left\{\begin{array}{c}4x-3y-10=0\\ 2x+y=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}4x-3y=10\\ 2x+y=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}x=1\\ y=-2\end{array}\right.$

Do đó, I(1; –2)

Bán kính của (C) là: $R=IA=\sqrt{{\left(4-1\right)}^2+{\left(2-\left(-2\right)\right)}^2}=5$ .

Vậy phương trình của (C) là

(x – 1)² + (y + 2)² = 5²

⟺ (x – 1)² + (y + 2)² = 25.

Bài 7.25 trang 42 SBT Toán 10 Tập 2: Cho đường tròn (C), đường thẳng Δ có phương trình lần lượt là:

(x – 1)² + (y + 1)² = 2; x + y + 2 = 0.

a) Chứng minh rằng Δ là một tiếp tuyến của đường tròn (C).

b) Viết phương trình tiếp tuyến d của (C), biết rằng d song song với đường thẳng Δ.

Lời giải:

Đường tròn (C): (x – 1)² + (y + 1)² = 2 có

tâm I(1; –1)

bán kính R² = 2 ⇒ $R=\sqrt{2}$ .

a)

Khoảng cách từ I đến đường thẳng Δ là

$d\left(I,\Delta \right)=\frac{\left|1-1+2\right|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\sqrt{2}$

Ta có d(I, Δ) = R, do đó Δ là một tiếp tuyến của (C).

b)

Vì đường thẳng d song song với đường thẳng Δ nên phương trình đường thẳng d có dạng x + y + m = 0, trong đó m ≠ 2.

Để d là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi

$d\left(I,d\right)=R\iff \frac{\left|1-1+m\right|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\sqrt{2}$ ⇔ |m| = 2 ⇔ m = ± 2

Mà m ≠ 2 nên m = –2

Vậy phương trình của đường thẳng d là x + y – 2 = 0.

Bài 7.26 trang 42 SBT Toán 10 Tập 2: Cho đường thẳng Δ: x . sinα° + y . cosα° – 1 = 0, trong đó α là một số thực thuộc khoảng (0; 180).

a) Tính khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng Δ.

b) Chứng minh rằng khi α thay đổi, tồn tại một đường tròn cố định luôn tiếp xúc với đường thẳng Δ.

Lời giải:

a)

Khoảng cách từ O(0; 0) đến đường thẳng Δ là

 $d\left(O,\Delta \right)=\frac{\left|\text{0.s}in\alpha °+\text{ 0}cos\alpha °–1\right|}{\sqrt{{\left(\sin \alpha °\right)}^2+{\left(\text{cos}\alpha °\right)}^2}}=1$

Do (sinα^o)² + (cosα^o)² = 1 với α là một số thực thuộc khoảng (0; 180).

b)

Giả sử (C) là đường tròn có tâm O và bán kính R = 1.

Với α là một số thực thuộc khoảng (0; 180) có thể thay đổi thì có:

d(O, Δ) = 1 = R không đổi

nên (C) luôn tiếp xúc với Δ.

Vậy phương trình đường tròn (C) cần tìm là x² + y² = 1.

Bài 7.27 trang 42 SBT Toán 10 Tập 2: Vị trí của một chất điểm M tại thời điểm t (t trong khoảng thời gian từ 0 phút đến 180 phút) có toạ độ là (3 + 5sin t°; 4 + 5cos t°). Tìm toạ độ của chất điểm M khi M ở cách xa gốc toạ độ nhất.

Lời giải:

Từ cách xác định toạ độ của chất điểm M ta có

$\left\{\begin{array}{c}{x}_M=3+5\sin t°\\ y_M=4+5\cos t°\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}{x}_M-3=5\sin t°\\ y_M-4=5\cos t°\end{array}\right.$

⇔ (x_M – 3)² + (y_M – 4)² = (5sin t°)² + (5cos t°)²

⇔ (x_M – 3)² + (y_M – 4)² = 25(sin t°)² + 25(cos t°)²

⇔ (x_M – 3)² + (y_M – 4)² = 25[(sin t°)² + (cos t°)²]

⇔ (x_M – 3)² + (y_M – 4)² = 25.1

⇔ (x_M – 3)² + (y_M – 4)² = 25

Vậy chất điểm M luôn thuộc đường tròn (C) có tâm I(3; 4) và có bán kính R = $\sqrt{25}$  = 5. Mặt khác gốc toạ độ O(0; 0) cũng thuộc đường tròn (C).

Do đó ta có: OM ≤ 2R = 10

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi OM là đường kính của đường tròn (C), nghĩa là I là trung điểm của OM, điều đó tương đương với

$\left\{\begin{array}{c}{x}_M=2x_I-x_O=6\\ y_M=2y_I-y_O=8\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}3+5\sin t°=6\\ 4+5\cos t°=8\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{c}\sin t°=\frac{3}{5}\\ \cos t°=\frac{4}{5}\end{array}\right.\iff t\approx 37$  (có t ∈ (0; 180)).

Vậy M(6; 8) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Xem thêm các bài giải SBT Toán 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 20: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách

Bài 22: Ba đường conic

Bài tập cuối chương 7

Bài 23: Quy tắc đếm

Lý thuyết Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ

1. Phương trình đường tròn

– Điểm M(x; y) thuộc đường tròn (C), tâm I(a; b), bán kính R khi và chỉ khi

(x – a)² + (y – b)² = R² (1)

Ta gọi (1) là phương trình đường tròn (C).

Nhận xét:

– Phương trình (1) tương đương với: x² + y² – 2ax – 2by + (a² + b² – R²) = 0.

– Phương trình x² + y² – 2ax – 2by + c = 0 là phương trình của một đường tròn (C) khi và chỉ khi a² + b² – c > 0. Khi đó, (C) có tâm I(a; b) và bán kính $R=\sqrt{a^2+b^2-c}$

Ví dụ:

a) Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I(2; –1) và bán kính R = 1.

b) Cho phương trình đường tròn x² + y² + 2x + 4y – 5 = 0. Hãy xác định tâm và bán kính của đường tròn này.

Hướng dẫn giải

a) Phương trình đường tròn (C) có tâm I(2; –1) và bán kính R = 1 là:

(x – 2)² + (y + 1)² = 1 .

b) Từ phương trình x² + y² + 2x + 4y – 5 = 0

⇔ x² + y² – 2.( –1).x – 2.( –2).y + (– 5) = 0

Khi đó a = –1 và b = –2, c = – 5.

Suy ra tâm của đường tròn này là I(–1; –2) và bán kính của đường tròn là:

$R=\sqrt{{(-1)}^2+{(-2)}^2-(-5)}=\sqrt{10}$

Vậy tâm của đường tròn này là: I(–1; –2) và bán kính R= $\sqrt{10}$.

2. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn.

Cho điểm M(x₀; y₀) thuộc đường tròn (C): (x – a)² + (y – b)² = R² (tâm I(a; b), bán kính R). Khi đó, tiếp tuyến ∆ của (C) tại M(x₀; y₀) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{MI}=(a-x_0;b-y_0)$ và phương trình:

(a – x₀)(x – x₀) + (b – y₀)(y – y₀) = 0.

Ví dụ: Cho đường tròn (C) có phương trình (x – 1)² + (y + 2)² = 10 và điểm M(0; 1) thuộc đường tròn (C). Hãy viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M.

Hướng dẫn giải

Từ phương trình đường tròn (C): (x – 1)² + (y + 2)² = 10 suy ra tâm của (C) là I(1; –2).

Tiếp tuyến của (C) tại M là đường thẳng đi qua M và vuông góc với MI.

Khi đó tiếp tuyến của (C) tại M(0; 1) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{MI}=(1-0;-2-1)=(1;-3)$ , nên ta có phương trình:

1(x – 0) + (–2)(y – 1) = 0 ⇔ x – 2y + 2 = 0.

Vậy phương trình tiếp tuyến của (C) tại M(0; 1) là x – 2y + 2 = 0.