Giải SGK Toán 10 Bài 5 (Kết nối tri thức): Giá trị lượng giác của một góc từ 0 đến 180

Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 5: Giá trị lượng giác của một góc từ 0 đến 180

Giải Toán 10 trang 33 Tập 1 Kết nối tri thức

Câu  hỏi mở đầu trang 33 Toán lớp 10: Bạn đã biết tỉ số lượng giác của một góc nhọn. Đối với góc tù thì sao?

Lời giải:

Góc $\alpha$ cho trước,$0^o<\alpha <{180}^o$.

Trên nửa đường tròn đơn vị, vẽ điểm $M(x_o;y_o)$ sao cho $\widehat{xOM}=\alpha .$

Khi đó:

$\begin{array}{l}\sin \alpha =y_o;\\ \cos \alpha =x_o;\\ \tan \alpha =\frac{x_o}{y_o}(y_o\ne 0);\\ \cot \alpha =\frac{y_o}{x_o}(x_o\ne 0).\end{array}$

1. Giá trị lượng giác của một góc

Giải Toán 10 trang 34 Tập 1 Kết nối tri thức

HĐ1 trang 34 Toán lớp 10: a) Nêu nhận xét về vị trí điểm M trên nửa đường tròn đơn vị trong mỗi trường hợp sau:

$\begin{array}{l}\alpha ={90}^o;\\ \alpha <{90}^o;\\ \alpha >{90}^o.\end{array}$

b) Khi $0^o<\alpha <{90}^o$, nêu mối quan hệ giữa $\cos \alpha ,\sin \alpha$ với hoành độ và tung độ của điểm M.

Phương pháp giải:

a) Quan sát góc$\alpha =\widehat{xOM}$ trong các trường hợp tương ứng. Khi ấy M thuộc cung nào?

b) Khi $0^o<\alpha <{90}^o$ thì $\cos \alpha =\frac{\left|x_0\right|}{OM},\sin \alpha =\frac{\left|y_0\right|}{OM};$ trong đó $OM=R=1$.

Lời giải:

a) Khi $\alpha ={90}^o$, điểm M trùng với điểm C. (Vì $\widehat{xOC}=\widehat{AOC}={90}^o$)

Khi $\alpha <{90}^o$, điểm M thuộc vào cung AC (bên phải trục tung)

Khi $\alpha >{90}^o$, điểm M thuộc vào cung BC (bên trái trục tung)

b) Khi $0^o<\alpha <{90}^o$ , ta có:

$\begin{array}{l}\cos \alpha =\frac{\left|x_0\right|}{OM}=\left|x_0\right|=x_0;\\ \sin \alpha =\frac{\left|y_0\right|}{OM}=\left|y_o\right|=y_o\end{array}$

Vì $OM=R=1$; $x_0\in$tia $Ox$nên $x_0>0$; $y_0\in$tia $Oy$nên $y_0>0$

Vậy $\cos \alpha$ là hoành độ $x_0$của điểm M, $\sin \alpha$ là tung độ $y_0$ của điểm M.

Luyện tập 1 trang 34 Toán lớp 10:  Tìm các giá trị lượng giác của góc ${120}^o$ (H.3.4)

Phương pháp giải:

Gọi M là điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\widehat{xOM}={120}^o$

Khi đó hoành độ và tung độ của điểm M lần lượt là các giá trị $\cos {120}^o,\sin {120}^o$

Từ đó suy ra $\tan {120}^o=\frac{\sin {120}^o}{\cos {120}^o},\cot {120}^o=\frac{\cos {120}^o}{\sin {120}^o}.$

Lời giải:

Gọi M là điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\widehat{xOM}={120}^o$

Gọi N, P tương ứng là hình chiếu vuông góc của M lên các trục Ox, Oy.

Vì  $\widehat{xOM}={120}^o>{90}^o$ nên M nằm bên trái trục tung.

Khi đó:$\cos {120}^o=-\overline{ON},\sin {120}^o=\overline{OP}$

Vì $\widehat{xOM}={120}^o$ nên $\widehat{NOM}={180}^o-{120}^o={60}^o$ và $\widehat{POM}={120}^o-{90}^o={30}^o$

Vậy các tam giác $\mathrm{\Delta }MON$ và $\mathrm{\Delta }MOP$ vuông tại N, p và có một góc bằng ${30}^o$

$\Rightarrow ON=MP=\frac{1}{2}OM=\frac{1}{2}$(Trong tam giác vuông, cạnh đối diện góc ${30}^o$ bằng một nửa cạnh huyền)

Và $OP=MN=\sqrt{O{M}^2-O{N}^2}=\sqrt{1^2-{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Vậy điểm M có tọa độ là $\left(-\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

Và $\cos {120}^o=-\frac{1}{2};\sin {120}^o=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow \tan {120}^o=\frac{\sin {120}^o}{\cos {120}^o}=\frac{\sqrt{3}}{2}:\left(-\frac{1}{2}\right)=-\sqrt{3};\\ \cot {120}^o=\frac{\cos {120}^o}{\sin {120}^o}=\left(-\frac{1}{2}\right):\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{-1}{\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{3}.\end{array}$

Chú ý:

Ta có thể sử dụng máy tính cầm tay để tính các giá trị lượng giác góc ${120}^o$

Với các loại máy tính fx-570 ES (VN hoặc VN PLUS) ta làm như sau:

Bấm phím “SHIFT”  “MODE” rồi bấm phím “3” (để chọn đơn vị độ)

Tính $\sin {120}^o$, bấm phím:  sin  1  2  0  ${}^o$’’’  = ta được kết quả là $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Tính $\cos {120}^o$,bấm phím:  cos  1  2  0  ${}^o$’’’  = ta được kết quả là $\frac{-1}{2}$

Tính $\tan {120}^o$, bấm phím:  tan  1  2  0  ${}^o$’’’  = ta được kết quả là $-\sqrt{3}$

( Để tính $\cot {120}^o$, ta tính $1:\tan {120}^o$)

2. Mối quan hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc bù nhau

Giải Toán 10 trang 36 Tập 1 Kết nối tri thức

HĐ2 trang 36 Toán lớp 10: Nêu nhận xét về vị trí của hai điểm M, M’ đối với trục Oy. Từ đó nêu các mối quan hệ giữa $\sin \alpha$ và $\sin \left({180}^o-\alpha \right)$, giữa $\cos \alpha$ và  $\cos \left({180}^o-\alpha \right)$.

Phương pháp giải:

Nhận xét vị trí của M và M’ trong mỗi trường hợp: $\alpha ={90}^o;\alpha <{90}^o;\alpha >{90}^o.$

Khi $0^o<\alpha <{90}^o$: $\cos \alpha ,\sin \alpha$ tương ứng là hoành độ và tung độ của điểm M.

Lời giải:

M, M’ là hai điểm trên nửa đường tròn đơn vị tương ứng với hai góc $\alpha$ và ${180}^o-\alpha$.

Giả sử $M\left(x_0;y_o\right)$. Khi đó $\cos \alpha =x_0;\sin \alpha =y_o$

Trường hợp 1:  $\alpha ={90}^o$

Khi đó $\alpha ={180}^o-\alpha ={90}^o$

Tức là M và M’ lần lượt trùng nhau và trùng với B.

Và  $\{\begin{array}{l}\cos \alpha =-\cos \left({180}^o-\alpha \right)=0;\\ \sin \alpha =\sin \left({180}^o-\alpha \right)=\sin {90}^o=1.\\ \cot \alpha =0\end{array}$

Không tồn tại $\tan \alpha$ với $\alpha ={90}^o$

Trường hợp 2: $\alpha <{90}^o\Rightarrow {180}^o-\alpha >{90}^o$

M nằm bên phải trục tung

M’ nằm bên trái trục tung

Dễ thấy: $\widehat{M^{\prime }OC}={180}^o-\widehat{xO{M}^{\prime }}={180}^o-\left({180}^o-\alpha \right)=\alpha =\widehat{xOM}$

$\Rightarrow \widehat{M^{\prime }OB}={90}^o-\widehat{M^{\prime }OC}={90}^o-\widehat{MOA}=\widehat{MOB}$

Xét tam giác $M^{\prime }OB$ và tam giác $MOB$  ta có:

$OM=O{M}^{\prime }$

$\widehat{M^{\prime }OB}=\widehat{MOB}$

OB chung

$\begin{array}{l}\Rightarrow \mathrm{\Delta }MOB=\mathrm{\Delta }{M}^{\prime }OB\\ \Rightarrow \{\begin{array}{l}OM=O{M}^{\prime }\\ BM=B{M}^{\prime }\end{array}\end{array}$

Hay OB là trung trực của đoạn thẳng MM’.

Nói cách khác M và M’ đối xứng với nhau qua trục tung.

Mà $M\left(x_0;y_o\right)$ nên $M^{\prime }\left(-x_0;y_o\right)$

$\begin{array}{l}\cos \left({180}^o-\alpha \right)=-x_0=-\cos \alpha ;\\ \sin \left({180}^o-\alpha \right)=y_o=\sin \alpha .\\ \Rightarrow \{\begin{array}{l}\tan \left({180}^o-\alpha \right)=-\tan \alpha \\ \cot \left({180}^o-\alpha \right)=-\cot \alpha \end{array}\end{array}$

Trường hợp 3: $\alpha >{90}^o\Rightarrow {180}^o-\alpha <{90}^o$

Khi đó M nằm bên trái trục tung và M’ nằm bên phải trục tung.

Tương tự ta cũng chứng minh được M và M’ đối xứng với nhau qua trục tung.

Như vậy

$\begin{array}{l}\cos \left({180}^o-\alpha \right)=-x_0=-\cos \alpha ;\\ \sin \left({180}^o-\alpha \right)=y_o=\sin \alpha .\\ \Rightarrow \{\begin{array}{l}\tan \left({180}^o-\alpha \right)=-\tan \alpha \\ \cot \left({180}^o-\alpha \right)=-\cot \alpha \end{array}\end{array}$

Kết luận: Với mọi $0^o<\alpha <{180}^o$, ta luôn có

$\begin{array}{l}\cos \left({180}^o-\alpha \right)=-\cos \alpha ;\\ \sin \left({180}^o-\alpha \right)=\sin \alpha .\\ \tan \left({180}^o-\alpha \right)=-\tan \alpha (\alpha \ne {90}^o)\\ \cot \left({180}^o-\alpha \right)=-\cot \alpha \end{array}$

Luyện tập 2 trang 36 Toán lớp 10: Trong Hình 3.6, hai điểm M, N ứng với hai góc phụ nhau $\alpha$ và ${90}^o-\alpha$ ($\widehat{xOM}=\alpha ,\widehat{xON}={90}^o-\alpha$). Chứng mình rằng $\mathrm{\Delta }MOP=\mathrm{\Delta }NOQ$. Từ đó nêu mối quan hệ giữa $\cos \alpha$ và $\sin \left({90}^o-\alpha \right)$.

Phương pháp giải:

Nhận xét vị trí của M và N trong mỗi trường hợp: $\alpha ={90}^o;\alpha <{90}^o$

Khi $0^o<\alpha <{90}^o$: $\cos \alpha ,\sin \alpha$ tương ứng là hoành độ và tung độ của điểm M.

Lời giải:

Trường hợp 1:  $\alpha ={90}^o$

Khi đó ${90}^o-\alpha =0^o$

Tức là M và N lần lượt trùng nhau với B và A.

Và  $\cos \alpha =0=\sin \left({90}^o-\alpha \right)$

Trường hợp 2: $0^o<\alpha <{90}^o\Rightarrow 0^o<{90}^o-\alpha <{90}^0$

M và N cùng nằm bên trái phải trục tung.

Ta có: $\alpha =\widehat{AOM};{90}^o-\alpha =\widehat{AON}$

Dễ thấy: $\widehat{AON}={90}^o-\alpha ={90}^o-\widehat{NOB}\Rightarrow \alpha =\widehat{NOB}$

Xét hai tam giác vuông $NOQ$ và tam giác $MOP$  ta có:

$OM=ON$

$\widehat{POM}=\widehat{QON}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow \mathrm{\Delta }NOQ=\mathrm{\Delta }MOP\\ \Rightarrow \{\begin{array}{l}OP=OQ\\ QN=MP\end{array}\end{array}$

Mà $M\left(x_0;y_o\right)$ nên $N\left(y_o;x_0\right)$. Nói cách khác:

$\cos \left({90}^o-\alpha \right)=\sin \alpha ;\sin \left({90}^o-\alpha \right)=\cos \alpha .$

Giải Toán 10 trang 37 Tập 1 Kết nối tri thức

Vận dụng trang 37 Toán lớp 10: Một chiếc đu quay có bán kính 75 m, tâm của vòng quay ở độ cao 90 m (H.3.7), thời gian thực hiện mỗi vòng quay của đu quay là 30 phút. Nếu một người vào cabin tại vị trí thấp nhất của vòng quay, thì sau 20 phút quay, người đó ở độ cao bao nhiêu mét?

Phương pháp giải:

Bước 1: Giả sử chiều quay của chiếc đu quay. Xác định vị trí của cabin sau 20 phút.

Bước 2: Dựa vào giá trị lượng giác của góc, xác định khoảng cách từ cabin đến Ox (trong hình H.3.7)

Bước 3: Suy ra độ cao của người đó sau 20 phút quay.

Lời giải:

Giả sử chiếc đu quay quay theo chiều kim đồng hồ.

Gọi M là vị trí của cabin, M’ là vị trí của cabin sau 20 phút và các điểm A A’, B, H như hình dưới.

Vì đi cả vòng quay mất 30 phút nên sau 20 phút, cabin sẽ đi quãng đường bằng $\frac{2}{3}$ chu vi đường tròn.

Sau 15 phút cabin đi chuyển từ điểm M đến điểm B, đi được $\frac{1}{2}$ chu vi đường tròn.

 Trong 5 phút tiếp theo cabin đi chuyển từ điểm B đến điểm M’ tương ứng $\frac{1}{6}$ chu vi đường tròn  hay $\frac{1}{3}$ cung .

Do đó: $\widehat{BO{M}^{\prime }}=\frac{1}{3}{.180}^o={60}^o$$\Rightarrow \widehat{AO{M}^{\prime }}={90}^o-{60}^o={30}^o.$

$\Rightarrow M^{\prime }H=\sin {30}^o.O{M}^{\prime }=\frac{1}{2}.75=37,5\left(m\right).$

$\Rightarrow$ Độ cao của người đó là: 37,5 + 90 = 127,5 (m).

Vậy sau 20 phút quay người đó ở độ cao 127,5 m.

Bài tập

Bài 3.1 trang 37 Toán lớp 10: Không dùng bảng số hay máy tính cầm tay, tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $\left(2\sin {30}^o+\cos {135}^o-3\tan {150}^o\right).\left(\cos {180}^o-\cot {60}^o\right)$

b) ${\sin }^2{90}^o+{\cos }^2{120}^o+{\cos }^2{0}^o-{\tan }^{2}60+{\cot }^2{135}^o$

c) $\cos {60}^o.\sin {30}^o+{\cos }^2{30}^o$

a) 

Phương pháp giải:

Bước 1: Đưa GTLG của các góc ${135}^o,{150}^o,{180}^o$ về GTLG của các góc ${45}^o,{30}^o,0^o$

$\cos {135}^o=-\cos {45}^o;\cos {180}^o=-\cos 0^o\tan {150}^o=-\tan {30}^o$

Bước 2: Sử dụng bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt.

$\sin {30}^o=\frac{1}{2};\tan {30}^o=\frac{\sqrt{3}}{3}\cos {45}^o=\frac{\sqrt{2}}{2};\cos 0^o=1;\cot {60}^o=\frac{\sqrt{3}}{3}$

Lời giải:

Đặt  $A=\left(2\sin {30}^o+\cos {135}^o-3\tan {150}^o\right).\left(\cos {180}^o-\cot {60}^o\right)$

Ta có: $\{\begin{array}{l}\cos {135}^o=-\cos {45}^o;\cos {180}^o=-\cos 0^o\\ \tan {150}^o=-\tan {30}^o\end{array}$

$\Rightarrow A=\left(2\sin {30}^o-\cos {45}^o+3\tan {30}^o\right).\left(-\cos 0^o-\cot {60}^o\right)$

Sử dụng bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt, ta có:

$\{\begin{array}{l}\sin {30}^o=\frac{1}{2};\tan {30}^o=\frac{\sqrt{3}}{3}\\ \cos {45}^o=\frac{\sqrt{2}}{2};\cos 0^o=1;\cot {60}^o=\frac{\sqrt{3}}{3}\end{array}$

$\Rightarrow A=\left(2.\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}+3.\frac{\sqrt{3}}{3}\right).\left(-1-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$

$\begin{array}{l}\iff A=-\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}+\sqrt{3}\right).\left(1+\frac{\sqrt{3}}{3}\right)\\ \iff A=-\frac{2-\sqrt{2}+2\sqrt{3}}{2}.\frac{3+\sqrt{3}}{3}\\ \iff A=-\frac{\left(2-\sqrt{2}+2\sqrt{3}\right)\left(3+\sqrt{3}\right)}{6}\\ \iff A=-\frac{6+2\sqrt{3}-3\sqrt{2}-\sqrt{6}+6\sqrt{3}+6}{6}\\ \iff A=-\frac{12+8\sqrt{3}-3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{6}.\end{array}$

b) ${\sin }^2{90}^o+{\cos }^2{120}^o+{\cos }^2{0}^o-{\tan }^{2}60+{\cot }^2{135}^o$

Phương pháp giải:

Bước 1: Đưa GTLG của các góc ${120}^o,{135}^o$ về GTLG của các góc ${60}^o,{45}^o$

$\cos {120}^o=-\cos {60}^o,\cot {135}^o=-\cot {45}^o$

Bước 2: Sử dụng bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt.

$\cos 0^o=1;\cot {45}^o=1;\cos {60}^o=\frac{1}{2}\tan {60}^o=\sqrt{3};\sin {90}^o=1$

Lời giải:

Đặt  $B={\sin }^2{90}^o+{\cos }^2{120}^o+{\cos }^2{0}^o-{\tan }^{2}60+{\cot }^2{135}^o$

Ta có: $\{\begin{array}{l}\cos {120}^o=-\cos {60}^o\\ \cot {135}^o=-\cot {45}^o\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{\cos }^2{120}^o={\cos }^2{60}^o\\ {\cot }^2{135}^o={\cot }^2{45}^o\end{array}$

$\Rightarrow B={\sin }^2{90}^o+{\cos }^2{60}^o+{\cos }^2{0}^o-{\tan }^{2}60+{\cot }^2{45}^o$

Sử dụng bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt, ta có:

$\{\begin{array}{l}\cos 0^o=1;\cot {45}^o=1;\cos {60}^o=\frac{1}{2}\\ \tan {60}^o=\sqrt{3};\sin {90}^o=1\end{array}$

$\Rightarrow B=1^2+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+1^2-{\left(\sqrt{3}\right)}^2+1^2$

$\iff B=1+\frac{1}{4}+1-3+1=\frac{1}{4}.$

c) $\cos {60}^o.\sin {30}^o+{\cos }^2{30}^o$

Phương pháp giải:

Sử dụng bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt.

$\sin {30}^o=\frac{1}{2};\cos {30}^o=\frac{\sqrt{3}}{2};\cos {60}^o=\frac{1}{2}$

Lời giải:

Đặt  $C=\cos {60}^o.\sin {30}^o+{\cos }^2{30}^o$

Sử dụng bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt, ta có:

$\sin {30}^o=\frac{1}{2};\cos {30}^o=\frac{\sqrt{3}}{2};\cos {60}^o=\frac{1}{2}$

$\Rightarrow C=\frac{1}{2}.\frac{1}{2}+{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1.$

Bài 3.2 trang 37 Toán lớp 10: Đơn giản các biểu thức sau:

a) $\sin {100}^o+\sin {80}^o+\cos {16}^o+\cos {164}^o;$

b) $2\sin \left({180}^o-\alpha \right).\cot \alpha -\cos \left({180}^o-\alpha \right).\tan \alpha .\cot \left({180}^o-\alpha \right)$ với $0^o<\alpha <{90}^o$.

a,

Phương pháp giải:

Lời giải:

Ta có:  $\{\begin{array}{l}\sin {100}^o=\sin \left({180}^o-{80}^o\right)=\sin {80}^o\\ \cos {164}^o=\cos \left({180}^o-{16}^o\right)=-\cos {16}^o\end{array}$

$\Rightarrow \sin {100}^o+\sin {80}^o+\cos {16}^o+\cos {164}^o$$=\sin {80}^o+\sin {80}^o+\cos {16}^o-\cos {16}^o$$=2\sin {80}^o.$

b) $2\sin \left({180}^o-\alpha \right).\cot \alpha -\cos \left({180}^o-\alpha \right).\tan \alpha .\cot \left({180}^o-\alpha \right)$ với $0^o<\alpha <{90}^o$.

Phương pháp giải:

Lời giải:

Ta có:

$\{\begin{array}{l}\sin \left({180}^o-\alpha \right)=\sin \alpha \\ \cos \left({180}^o-\alpha \right)=-\cos \alpha \\ \tan \left({180}^o-\alpha \right)=-\tan \alpha \\ \cot \left({180}^o-\alpha \right)=-\cot \alpha \end{array}(0^o<\alpha <{90}^o)$$\Rightarrow 2\sin \left({180}^o-\alpha \right).\cot \alpha -\cos \left({180}^o-\alpha \right).\tan \alpha .\cot \left({180}^o-\alpha \right)$ $=2\sin \alpha .\cot \alpha -\left(-\cos \alpha \right).\tan \alpha .\left(-\cot \alpha \right)$$=2\sin \alpha .\cot \alpha -\cos \alpha .\tan \alpha .\cot \alpha$

$=2\sin \alpha .\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }-\cos \alpha .\left(\tan \alpha .\cot \alpha \right)$$=2\cos \alpha -\cos \alpha =\cos \alpha .$

Bài 3.3 trang 37 Toán lớp 10: Chứng minh các hệ thức sau:

a) ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$.

b) $1+{\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }(\alpha \ne {90}^o)$

c) $1+{\cot }^2\alpha =\frac{1}{{\sin }^2\alpha }(0^o<\alpha <{180}^o)$

a)

Phương pháp giải:

Bước 1: Vẽ đường tròn lượng giác, lấy điểm M biểu diễn góc $\alpha$ bất kì.

Bước 2: Xác định $\sin \alpha ,\cos \alpha$( tương ứng với tung độ và hoành độ của điểm M).

Bước 3: Suy ra đẳng thức cần chứng minh.

Lời giải chi tiết:

Gọi M(x;y) là điểm trên đường tròn đơn vị sao cho $\widehat{xOM}=\alpha$. Gọi N, P tương ứng là hình chiếu vuông góc của M lên các trục Ox, Oy.

Ta có: $\{\begin{array}{l}x=\cos \alpha \\ y=\sin \alpha \end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{\cos }^2\alpha =x^2\\ {\sin }^2\alpha =y^2\end{array}$(1)

Mà $\{\begin{array}{l}\left|x\right|=ON\\ \left|y\right|=OP=MN\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{x}^2={\left|x\right|}^2=O{N}^2\\ y^2={\left|y\right|}^2=M{N}^2\end{array}$(2)

Từ (1) và (2) suy ra ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =O{N}^2+M{N}^2=O{M}^2$ (do $\mathrm{\Delta }OMN$ vuông tại N)

$\Rightarrow {\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ (vì OM =1). (đpcm)

b) $1+{\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }(\alpha \ne {90}^o)$

Phương pháp giải:

Bước 1: Viết $\tan \alpha$ dưới dạng $\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }(\alpha \ne {90}^o)$, thay vào vế trái.

Bước 2: Biến đổi vế trái bằng cách quy đồng, kết hợp với ý a) để suy ra vế phải.

Lời giải:

Ta có:  $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }(\alpha \ne {90}^o)$

$\Rightarrow 1+{\tan }^2\alpha =1+\frac{{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }=\frac{{\cos }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }+\frac{{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }=\frac{{\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }$

Mà theo ý a) ta có ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ với mọi góc $\alpha$

$\Rightarrow 1+{\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$ (đpcm)

c) $1+{\cot }^2\alpha =\frac{1}{{\sin }^2\alpha }(0^o<\alpha <{180}^o)$

Phương pháp giải:

Bước 1: Viết $\cot \alpha$ dưới dạng $\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }$, thay vào vế trái.

Bước 2: Biến đổi vế trái bằng cách quy đồng, kết hợp với ý a) để suy ra vế phải.

Lời giải:

Ta có:  $\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }(0^o<\alpha <{180}^o)$

$\Rightarrow 1+{\cot }^2\alpha =1+\frac{{\cos }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha }=\frac{{\sin }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha }+\frac{{\cos }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha }=\frac{{\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha }$

Mà theo ý a) ta có ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ với mọi góc $\alpha$

$\Rightarrow 1+{\cot }^2\alpha =\frac{1}{{\sin }^2\alpha }$ (đpcm)

Bài 3.4 trang 37 Toán lớp 10: Cho góc $\alpha (0^o<\alpha <{180}^o)$ thỏa mãn $\tan \alpha =3$

Tính giá trị biểu thức: $P=\frac{2\sin \alpha -3\cos \alpha }{3\sin \alpha +2\cos \alpha }$

Phương pháp giải:

Chia cả tử và mẫu của P cho $\cos \alpha$.

Lời giải:

Vì  $\tan \alpha =3$ nên $\cos \alpha \ne 0$

$\begin{array}{l}\Rightarrow P=\frac{\frac{2\sin \alpha -3\cos \alpha }{\cos \alpha }}{\frac{3\sin \alpha +2\cos \alpha }{\cos \alpha }}=\frac{2\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }-3}{3\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }+2}\\ \iff P=\frac{2\tan \alpha -3}{3\tan \alpha +2}=\frac{2.3-3}{3.3+2}=\frac{3}{11}.\end{array}$

Cách 2: 

Ta có: $1+{\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }(\alpha \ne {90}^o)$

$\Rightarrow \frac{1}{{\cos }^2\alpha }=1+3^2=10$

$\iff {\cos }^2\alpha =\frac{1}{10}\iff \cos \alpha =\pm \frac{\sqrt{10}}{10}$

Vì $0^o<\alpha <{180}^o$ nên $\sin \alpha >0$.

Mà $\tan \alpha =3>0\Rightarrow \cos \alpha >0\Rightarrow \cos \alpha =\frac{\sqrt{10}}{10}$

Lại có: $\sin \alpha =\cos \alpha .\tan \alpha =\frac{\sqrt{10}}{10}.3=\frac{3\sqrt{10}}{10}.$

$\Rightarrow P=\frac{2.\frac{3\sqrt{10}}{10}-3.\frac{\sqrt{10}}{10}}{3.\frac{3\sqrt{10}}{10}+2.\frac{\sqrt{10}}{10}}=\frac{\frac{\sqrt{10}}{10}\left(2.3-3\right)}{\frac{\sqrt{10}}{10}\left(3.3+2\right)}=\frac{3}{11}.$

Lý thuyết Giá trị lượng giác của một góc từ 0 đến 180

1. Giá trị lượng giác của một góc

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nửa đường tròn tâm O, bán kính R = 1 nằm phía trên trục hoành được gọi là nửa đường tròn đơn vị.

Cho trước một góc α, 0° ≤ α ≤ 180°. Khi đó, có duy nhất điểm M(x₀; y₀) trên nửa đường tròn đơn vị để $\widehat{\mathrm{xOM}}=\mathrm{\alpha }$.

– Định nghĩa tỉ số lượng giác của một góc từ 0^o đến 180^o

Với mỗi góc α (0° ≤ α ≤ 180°), gọi M(x₀; y₀) là điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho  $\widehat{\mathrm{xOM}}=\mathrm{\alpha }$. Khi đó:

+ sin của góc α là tung độ y₀ của điểm M, được kí hiệu là sin α;

+ côsin của góc α là hoành độ x₀ của điểm M, được kí hiệu là cos α;

+ Khi α ≠ 90° (hay x₀ ≠ 0), tang của α là $\frac{{\mathrm{y}}_0}{{\mathrm{x}}_0}$, được kí hiệu là tan α;

+ Khi α ≠ 0° và α ≠ 180° (hay y₀ ≠ 0), côtang của α là $\frac{{\mathrm{x}}_0}{{\mathrm{y}}_0}$, được kí hiệu là cot α.

– Từ định nghĩa trên ta có:

$\mathrm{tan\alpha }=\frac{\mathrm{sin\alpha }}{\mathrm{cos\alpha }}(\mathrm{\alpha }\ne 90°);$$\mathrm{cot\alpha }=\frac{\mathrm{cos\alpha }}{\mathrm{sin\alpha }}(\mathrm{\alpha }\ne 0°\mathrm{và}\mathrm{\alpha }\ne 180°);$$\mathrm{tan\alpha }=\frac{1}{\mathrm{cot\alpha }}\text{ (}\mathrm{\alpha }\notin \text{{}0°;90°;180°\text{}})$

– Bảng giá trị lượng giác (GTLG) của một số góc đặc biệt:

Chú ý: Kí hiệu || chỉ giá trị lượng giác tương ứng không xác định.

Ví dụ: Tìm các giá trị lượng giác của góc 120°.

Gọi M là điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\widehat{\mathrm{xOM}}={120}^{\mathrm{o}}$. Gọi N, K tương ứng là hình chiếu vuông góc của M lên các trục Ox, Oy.

Do $\widehat{\mathrm{xOM}}={120}^{\mathrm{o}}$ và $\widehat{\mathrm{xOK}}={90}^{\mathrm{o}}$nên $\widehat{\mathrm{KOM}}={30}^{\mathrm{o}}$và $\widehat{\mathrm{MON}}={60}^{\mathrm{o}}$.

Từ bảng GTLG của một số góc đặc biệt:

Ta có: cos 60^o = $\frac{1}{2}$ và cos 30^o = $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Các tam giác MOK và MON là các tam giác vuông với cạnh huyền bằng 1

Suy ra ON = cos$\widehat{\mathrm{MON}}$.OM = cos60^o.1 = $\frac{1}{2}$ và OK = cos$\widehat{\mathrm{MOK}}$.OM = cos30^o.1 = $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Mặt khác, do điểm M nằm bên trái trục tung nên $\mathrm{M}\left(-\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

Theo định nghĩa giá trị lượng giác ta có:

sin 120^o = $\frac{\sqrt{3}}{2}$

cos 120^o =  $-\frac{1}{2}$

tan 120^o = $\frac{\sin {120}^{\mathrm{o}}}{\cos {120}^{\mathrm{o}}}=-\sqrt{3}$

cot 120^o = $\frac{\cos {120}^{\mathrm{o}}}{\sin {120}^{\mathrm{o}}}=-\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Vậy sin 120^o = $\frac{\sqrt{3}}{2}$; cos 120^o =  $-\frac{1}{2}$; tan 120^o = $-\sqrt{3}$; cot 120^o = $-\frac{1}{\sqrt{3}}$.

– Ta có thể dùng máy tính bỏ túi để tính giá trị gần đúng của các giá trị lượng giác của một góc.

Ví dụ:

– Ta cũng có thể tìm được góc khi biết một giá trị lượng giác của góc đó.

Ví dụ:

 

Chú ý:

+ Khi tìm x biết sin x, máy tính chỉ đưa ra giá trị x ≤ 90°.

+ Muốn tìm x khi biết cos x, tan x, ta cũng làm tương tự như trên, chỉ thay phím  tương ứng bởi phím .

2. Mối quan hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc bù nhau

Đối với hai góc bù nhau, α và 180° – α, ta có:

sin (180° – α) = sin α;

cos (180° – α) = – cos α;

tan (180° – α) = – tan α  (α ≠ 90°);

cot (180° – α) = – cot α  (0° < α < 180°).

Chú ý:

– Hai góc bù nhau có sin bằng nhau; có côsin, tang, côtang đối nhau.

Ví dụ: Tính các giá trị lượng giác của góc 135°.

Hướng dẫn giải

Ta có 135° + 45° = 180°, vì vậy góc 135° và góc 45° là hai góc bù nhau:

Suy ra:

sin135° = sin45° = $\frac{\sqrt{2}}{2}$

cos135° = – cos45° = $-\frac{\sqrt{2}}{2}$

tan135° = – tan45° = –1

cot135° = – cot45° = –1

Vậy sin135° = $\frac{\sqrt{2}}{2}$; cos135° = $-\frac{\sqrt{2}}{2}$; tan135° = –1 ; cot135° = –1.

– Hai góc phụ nhau có sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia.

Ví dụ:

Ta có  30° + 60° = 90° nên góc 30° và góc 60° là hai góc phụ nhau.

Khi đó:  

sin30° = cos60° = $\frac{1}{2}$

tan30° = cot60° = $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Xem thêm các bài giải SGK Toán 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài tập cuối chương 2

Bài 6: Hệ thức lượng trong tam giác

Bài tập cuối chương 3

Bài 7: Các khái niệm mở đầu