Giải SGK Toán 10 (Kết nối tri thức) Bài tập cuối chương 2

Giải bài tập Toán lớp 10 Bài tập cuối chương II

Giải Toán 10 trang 31 Tập 1 Kết nối tri thức

A. Trắc nghiệm

Bài 2.7 trang 31 Toán lớp 10: Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

A. $x+y>3$

B. $x^2+y^2\le 4$

C. $\left(x-y\right)\left(3x+y\right)\ge 1$

D. $y^3-2\le 0$

Phương pháp giải:

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng tổng quát:

$ax+by\le c$($ax+by\ge c$, $ax+by<c$, $ax+by>c$

Trong đó a, b, c là các số thực cho trước, a và b không đồng thời bằng 0, x và y là các ẩn số.

Lời giải:

Đáp án A: $x+y>3$ là bất phương trình bậc nhất hai ẩn x và y có a=1, b=1, c=3

Đáp án B: $x^2+y^2\le 4$ không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì có $x^2,y^2$

Đáp án C: $\left(x-y\right)\left(3x+y\right)\ge 1\iff 3x^2-2xy-y^2\ge 1$ không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì có $x^2,y^2$

Đáp án D: $y^3-2\le 0$ không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì có $y^3$.

Chọn A

Bài 2.8 trang 31 Toán lớp 10: Cho bất phương trình 2x+y>3. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Bất phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

B. Bất phương trình đã cho vô nghiệm

C. Bất phương trình đã cho có vô số nghiệm

D. Bất phương trình đã cho có tập nghiệm là $\left[3;+\mathrm{\infty }\right)$

Lời giải:

Bất phương trình 2x+y>3 là bất phương trình bậc nhất hai ẩn và có vô số nghiệm.

Chọn C.

Bài 2.9 trang 31 Toán lớp 10: Hình nào sau đây biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình $x-y<3$?

A. 

B. 

C. 

D. 

Phương pháp giải:

– Kiểm tra đường thẳng x-y=3 là đường thẳng nào và loại trừ các đáp án không chính xác.

– Kiểm tra O có thuộc miền nghiệm của bất phương trình đã cho hay không và chọn đáp án đúng.

Lời giải:

Xét đường thẳng x-y=3:

Cho x=0=>y=-3 => Đường thẳng đi qua A(0;-3)

=> Loại đáp án A và B vì hai đường thẳng trong hình không đi qua A.

Thay tọa độ O vào biểu thức x-y ta được: x-y=0-0=0 < 3

=> Điểm O thỏa mãn bất phương trình.

=> Điểm O thuộc miền biểu diễn của bất phương trình x-y<3

Chọn D vì điểm O nằm ở phần không bị gạch chéo.

Bài 2.10 trang 31 Toán lớp 10: Hệ bất phương trình nào sau đây là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

A. $\{\begin{array}{l}x-y<0\\ 2y\ge 0\end{array}$

B. $\{\begin{array}{l}3x+y^3<0\\ x+y>3\end{array}$

C. $\{\begin{array}{l}x+2y<0\\ y^2+3<0\end{array}$

D. $\{\begin{array}{l}-x^3+y<4\\ x+2y<1\end{array}$

Phương pháp giải:

Kiểm tra từng đáp án và chọn.

Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ gồm các bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Lời giải:

Ta thấy hệ $\{\begin{array}{l}x-y<0\\ 2y\ge 0\end{array}$ là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn với các bất phương trình bậc nhất hai ẩn là $x-y<0;2y\ge 0$.

Đáp án B loại vì $3x+y^3<0$ không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Đáp án C loại vì $y^2+3<0$ không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Đáp án D loại vì $-x^3+y<4$ không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Bài 2.11 trang 32 Toán lớp 10: Cho hệ bất phương trình $\{\begin{array}{l}x-y<-3\\ 2y\ge -4\end{array}$. Điểm nào sau đây thuộc miền nghiệm của hệ đã cho?

A. (0;0)

B. (-2;1)

C. (3;-1)

D. (-3;1)

Phương pháp giải:

Thay tọa độ các điểm vào, nếu điểm nào thỏa mãn thì điểm đó thuộc miền nghiệm của hệ.

Lời giải:

Thay tọa độ điểm (0;0) vào ta được: $\{\begin{array}{l}0-0<-3\left(ktm\right)\\ 2.0\ge -4\left(tm\right)\end{array}$

=> Loại A

Thay tọa độ điểm (-2;1) vào ta được: $\{\begin{array}{l}-2-1<-3\left(ktm\right)\\ 2.1\ge -4\left(tm\right)\end{array}$

=> Loại B.

Thay tọa độ điểm (3;-1) vào ta được: $\{\begin{array}{l}3-\left(-1\right)<-3\left(ktm\right)\\ 2.\left(-1\right)\ge -4\left(tm\right)\end{array}$

Loại C

Thay tọa độ điểm (-3;1) vào ta được: $\{\begin{array}{l}-3-1<-3\left(tm\right)\\ 2.1\ge -4\left(tm\right)\end{array}$

Chọn D.

Giải Toán 10 trang 32 Tập 1 Kết nối tri thức

B. Tự luận

Bài 2.12 trang 32 Toán lớp 10: Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình $\frac{x+y}{2}\ge \frac{2x-y+1}{3}$ trên mặt phẳng tọa độ.

Phương pháp giải:

Thu gọn bất phương trình về dạng tổng quát.

Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình:

Bước 1: Vẽ đường thẳng (nét đứt).

Bước 2: Lấy một điểm bất kì không thuộc d trên mặt phẳng rồi thay vào biểu thức ax+b. Xác định c có bằng 0 hay không, nếu c = 0 thì ta lấy điểm A(-1;-1) để thay vào.

Nếu A thỏa mãn bất phương trình thì miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng bờ d chứa điểm A đã lấy.

Lời giải:

$\begin{array}{l}\frac{x+y}{2}\ge \frac{2x-y+1}{3}\\ \iff 3\left(x+y\right)\ge 2\left(2x-y+1\right)\\ \iff 3x+3y\ge 4x-2y+2\\ \iff x-5y\le -2\end{array}$

Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình:

Bước 1: Vẽ đường thẳng d:$x-5y=-2$(nét liền)

Bước 2: Lấy điểm O(0;0) thay vào biểu thức x-5y ta được: x-5y=0-5.0=0<-2

=> Điểm O thuộc miền biểu diễn của bất phương trình.

Vậy miền biểu diễn của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng d và chứa gốc tọa độ O.

Bài 2.13 trang 32 Toán lớp 10: Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình $\{\begin{array}{l}x+y<1\\ 2x-y\ge 3\end{array}$ trên mặt phẳng tọa độ

Phương pháp giải:

Biểu diễn các miền nghiệm của từng bất phương trình $x+y<1$ và $2x-y\ge 3$

Bước 1: Vẽ đường thẳng $ax+by=c$

Bước 2: Lấy điểm một điểm không thuộc đường thẳng $ax+by=c$ và thay vào bất phương trình cần xác định miền nghiệm.

Bước 3: Nếu tọa độ điểm đó thỏa mãn bất phương trình thì miền nghiệm của bất phương trình chứa điểm đó.

Lời giải:

Xác định miền nghiệm của bất phương trình $x+y<1$

+ Vẽ đường thẳng d: x+y=1 (nét đứt)

+ Vì 0+0=0

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình $x+y\le 1$ là nửa mặt phẳng bờ d chứa gốc tọa độ O.

Xác định miền nghiệm của bất phương trình $2x-y\ge 3$

+ Vẽ đường thẳng d’: $2x-y=3$

+ Vì 0+0=0

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình $2x-y\ge 3$ là nửa mặt phẳng bờ d’ không chứa gốc tọa độ O.

Vậy miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho (Không  đường thẳng d’).

Chú ý

Đường thẳng x+y=1 là đường thẳng nét đứt.

Bài 2.14 trang 32 Toán lớp 10: Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình $\{\begin{array}{l}y-2x\le 2\\ y\le 4\\ x\le 5\\ x+y\ge -1\end{array}$ trên mặt phẳng tọa độ.

Từ đó tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $F\left(x;y\right)=-x-y$ với $\left(x;y\right)$ thỏa mãn hệ trên.

Phương pháp giải:

– Biểu diễn các miền nghiệm của từng bất phương trình $y-2x\le 2$; $y\le 4$; $x\le 5$ và $x+y\ge -1$ trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

Bước 1: Vẽ đường thẳng $ax+by=c$

Bước 2: Lấy điểm một điểm không thuộc đường thẳng $ax+by=c$ và thay vào bất phương trình cần xác định miền nghiệm.

Bước 3: Nếu tọa độ điểm đó thỏa mãn bất phương trình thì miền nghiệm của bất phương trình chứa điểm đó.

– Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $F\left(x;y\right)=-x-y$

Bước 1: Xác định các đỉnh của đa giác

Bước 2: Tính giá trị $F\left(x;y\right)=-x-y$ tại các đỉnh đó và kết luận.

Lời giải:

– Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình $\{\begin{array}{l}y-2x\le 2\\ y\le 4\\ x\le 5\\ x+y\ge -1\end{array}$

Miền biểu diễn nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác ABCD với

A(1;4); B(5;4), C(5;-6); D(-1;0).

Giá trị F tại các điểm A, B, C, D lần lượt là:

$F\left(1;4\right)=-1-4=-5$

$F\left(5;4\right)=-5-4=-9$

$F\left(5;6\right)=-5-6=-11$

$F\left(-1;0\right)=-\left(-1\right)-0=1$

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức F(x;y) là 1 và giá trị nhỏ nhất của biểu thức F(x;y) là -11.

Bài 2.15 trang 32 Toán lớp 10: Bác An đầu tư 1,2 tỉ đồng vào ba loại trái phiếu, trái phiếu chính phủ với lãi suất 7

Phương pháp giải:

Bước 1: Gọi x là số tiền mua trái phiếu ngân hàng và y là số tiền mua trái phiếu doanh nghiệp và biểu diễn các dữ kiện bài cho thành hệ bất phương trình tương ứng.

Bước 2: Lập biểu thức về lợi nhuận thu được F theo x và y. Từ đó tìm giá trị lớn nhất của F.

Lời giải:

 Bước 1:

1,2 tỉ đồng=1200 (triệu đồng)

Gọi x là số tiền mua trái phiếu ngân hàng và y là số tiền mua trái phiếu doanh nghiệp.

Khi đó $x\ge 0,y\ge 0$.

Bác An đầu tư 1,2 tỉ đồng vào ba loại trái phiếu, trái phiếu chính phủ nên số tiền đầu tư trái phiếu chính phủ là $1200-x-y$ (triệu đồng)

Số tiền đầu tư trái phiếu chính phủ gấp ít nhất 3 lần số tiền đầu tư trái phiếu ngân hàng nên ta có: $1200-x-y\ge 3x\iff 4x+y\le 1200$

Bác An đầu tư không quá 200 triệu đồng cho trái phiếu doanh nghiệp nên $y\le 200$

Từ điều kiện của bài toán ta có số tiền bác An đầu tư trái phiếu phải thỏa mãn hệ:

$\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ 4x+y\le 1200\\ y\le 200\end{array}$

Xác định miền nghiệm là miền tứ giác OABC với:

O(0;0); A(3

00;0); B(250;200); C(0;200).

Bước 2: Lợi nhuận thu được sau một năm là