Giải bài tập SGK Bài 4. Phương trình bậc hai với hệ số thực
Bài 1. Tìm các căn bậc hai phức của các số sau: \(-7; -8; -12; -20; -121\)
Hướng dẫn giải:
\(± i\sqrt7\) ; \(± i2\sqrt2\) ; \(± i2\sqrt3\); \(± i2\sqrt5\) ; \(± 11i\).
================
Bài 2. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:
a) \( – 3{z^2} +2z – 1 = 0\); b) \(7{z^2} + {\rm{ }}3z + 2 = 0\); c) \(5{z^2} -7z+ 11= 0\)
Hướng dẫn giải:
a) Ta có \(∆’ = 1 – 3 = -2\).
Vậy nghiệm của phương trình là \(z_{1,2}\)= \( \frac{1\pm i\sqrt{2}}{3}\)
b) Ta có \(∆ = 9 – 56 = -47\).
Vậy nghiệm của phương trình là \(z_{1,2}\) = \( \frac{-3\pm i\sqrt{47}}{14}\);
c) Ta có \(∆ = 49 – 4.5.11 = -171\).
Vậy nghiệm của phương trình là \(z_{1,2}\) = \( \frac{7\pm i\sqrt{171}}{10}\)
=============
Bài 3. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:
a) \({z^4} + {z^2}-6= 0\); b) \({z^4} + 7{z^2} + 10 = 0\)
Hướng dẫn giải:
a) Đặt \(Z = z^2\) , ta được phương trình \(Z^2+ Z – 6 = 0\)
Phương trình này có hai nghiệm là: \(Z_1= 2, Z_2= -3\)
Vậy phương trình có bốn nghiệm là: \(± \sqrt2\) và \(± i\sqrt3\).
b) Đặt \(Z = z^2\) , ta được phương trình \(Z^2+ 7Z + 10 = 0\)
Phương trình này có hai nghiệm là: \(Z_1= -5, Z_2= -2\)
Vậy phương trình có bốn nghiệm là: \(± i\sqrt2\) và \(± i\sqrt5\).
===============
Bài 4. Cho \(a, b, c \in \mathbb R\), \(a \ne 0\), \(z_1\) và \(z_2\) là hai nghiệm của phương trình \(a{z^2} + {\rm{ }}bz{\rm{ }} + {\rm{ }}c{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)
Hãy tính \({z_1} + {z_2}\) và\({z_1} {z_2}\) theo các hệ số \(a, b, c\).
Hướng dẫn giải:
Yêu cầu của bài toán này là kiểm chứng định lí Vi-ét đối với phương trình bậc hai trên tập số phức.
+) Trường hợp \(∆ ≥ 0\) ta đã biết kết quả theo định lí vi-ét.
+) Trường hợp \(∆ < 0\), từ công thức nghiệm
\({z_1} = \frac{-b+i\sqrt{|\bigtriangleup |}}{2a}\), \({z_2}= \frac{-b-i\sqrt{|\bigtriangleup |}}{2a}\) với \(|∆| = 4ac – b^2\)
\({z_1} + {z_2}\) = \( \frac{-b+i\sqrt{|\bigtriangleup |}-b-i\sqrt{|\bigtriangleup |}}{2a}=-\frac{b}{a}\)
\({z_1} {z_2} = \frac{(-b+i\sqrt{|\bigtriangleup |})(-b-i\sqrt{|\bigtriangleup |})}{2a.2a}=\frac{b^{2}+|\bigtriangleup |}{4a^{2}}=\frac{b^{2}+4ac-b^{2}}{4a^{2}}=\frac{c}{a}\)
=============
Bài 5. Cho \(z = a + bi\) là một số phức. Hãy tìm một phương trình bậc hai với hệ số thực nhận \(z\) và \( \overline{z}\) làm nghiệm
Hướng dẫn giải:
Một phương trình bậc hai nhận \(z\) và \( \overline{z}\) làm nghiệm là
\((x – z)(x – \overline{z})= 0\) hay \(x^2 -(z + \overline{z})x + z \overline{z}= 0\).
Nếu \(z = a + bi\) thì \(z + \overline{z}= 2a\), \(z\overline{z} = a^2 +b^2\)
Vậy một phương trình bậc hai cần tìm là \({x^2}-2ax + {a^2} + {b^2} = 0\)
Trả lời