Sách bài tập Toán 12 Bài 11 (Kết nối tri thức): Nguyên hàm

Giải SBT Toán 12 Bài 11: Nguyên hàm

Bài 4.1 trang 7 SBT Toán 12 Tập 2: Tìm hàm số y = f(x), biết f'(x) = $3\sqrt{\mathrm{x}}+\frac{2}{\sqrt[3]{\mathrm{x}}}$ (x > 0) và f(1) = 1

Lời giải:

Ta có: f(x) = $\int \mathrm{f}‘\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}$

                  = $\int \left(3\sqrt{\mathrm{x}}+\frac{2}{\sqrt[3]{\mathrm{x}}}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}$

                  = $\int 3\sqrt{\mathrm{x}}\mathrm{d}\mathrm{x}+\int \frac{2}{\sqrt[3]{\mathrm{x}}}\mathrm{d}\mathrm{x}$

                  = 2x$\sqrt{\mathrm{x}}$ + 3$\sqrt[3]{{\mathrm{x}}^2}$ + C.

Mà f(1) = 1 nên 2 + 3 + C = 1 hay C = −4.

Vậy f(x) = 2x$\sqrt{\mathrm{x}}$ + 3$\sqrt[3]{{\mathrm{x}}^2}$ − 4.

Bài 4.2 trang 7 SBT Toán 12 Tập 2: Tìm:

a) $\int \frac{{\left(\mathrm{x}+2\right)}^2}{{\mathrm{x}}^4}\mathrm{d}\mathrm{x}$;

b) $\int \sqrt{\mathrm{x}}\left(7{\mathrm{x}}^2+6\right)\mathrm{d}\mathrm{x}$.

Lời giải:

a) $\int \frac{{\left(\mathrm{x}+2\right)}^2}{{\mathrm{x}}^4}\mathrm{d}\mathrm{x}$ = $\int \frac{{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}+1}{{\mathrm{x}}^4}\mathrm{d}\mathrm{x}$

                         = $\int \left(\frac{1}{{\mathrm{x}}^2}+\frac{2}{{\mathrm{x}}^3}+\frac{1}{{\mathrm{x}}^4}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}$

                         = $\int \frac{1}{{\mathrm{x}}^2}\mathrm{d}\mathrm{x}+\int \frac{2}{{\mathrm{x}}^3}\mathrm{d}\mathrm{x}+\int \frac{1}{{\mathrm{x}}^4}\mathrm{d}\mathrm{x}$

                         = $-\frac{1}{\mathrm{x}}+4.\frac{{\mathrm{x}}^{-2}}{-2}+4.\frac{{\mathrm{x}}^{-3}}{-3}+\mathrm{C}$

                         = $-\frac{1}{\mathrm{x}}–\frac{2}{{\mathrm{x}}^2}–\frac{4}{3{\mathrm{x}}^3}+\mathrm{C}$

b) $\int \sqrt{\mathrm{x}}\left(7{\mathrm{x}}^2+6\right)\mathrm{d}\mathrm{x}$ = $\int \left(7{\mathrm{x}}^2\sqrt{\mathrm{x}}+6\sqrt{\mathrm{x}}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}$

                                  = $\int 7{\mathrm{x}}^2\sqrt{\mathrm{x}}\mathrm{d}\mathrm{x}+\int 6\sqrt{\mathrm{x}}\mathrm{d}\mathrm{x}$

                                  = $7\int {\mathrm{x}}^{\frac{5}{2}}\mathrm{d}\mathrm{x}+6\int {\mathrm{x}}^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}\mathrm{x}$

                                  = $2{\mathrm{x}}^{\frac{7}{2}}+4{\mathrm{x}}^{\frac{3}{2}}+\mathrm{C}$ 

                                  = $2{\mathrm{x}}^3\sqrt{\mathrm{x}}+4\mathrm{x}\sqrt{\mathrm{x}}+\mathrm{C}$

Bài 4.3 trang 7 SBT Toán 12 Tập 2: Tìm:

a) $\int \left(3\mathrm{x}+4\right)\sqrt[3]{\mathrm{x}}\mathrm{d}\mathrm{x}$;

b) $\int \frac{{\left(2\mathrm{x}+3\right)}^2}{\sqrt{\mathrm{x}}}\mathrm{d}\mathrm{x}$.

Lời giải:

a) $\int \left(3\mathrm{x}+4\right)\sqrt[3]{\mathrm{x}}\mathrm{d}\mathrm{x}$ = $\int \left(3\mathrm{x}\sqrt[3]{\mathrm{x}}+4\sqrt[3]{\mathrm{x}}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}$

                                  = $\int 3\mathrm{x}\sqrt[3]{\mathrm{x}}\mathrm{d}\mathrm{x}+\int 4\sqrt[3]{\mathrm{x}}\mathrm{d}\mathrm{x}$

                                  = $\int 3{\mathrm{x}}^{\frac{4}{3}}\mathrm{d}\mathrm{x}+\int 4{\mathrm{x}}^{\frac{1}{3}}\mathrm{d}\mathrm{x}$

                                  = $\frac{9}{7}{\mathrm{x}}^2\sqrt[3]{\mathrm{x}}+3\mathrm{x}\sqrt[3]{\mathrm{x}}+\mathrm{C}$

                                  = $\left(\frac{9}{7}{\mathrm{x}}^2+3\mathrm{x}\right)\sqrt[3]{\mathrm{x}}+\mathrm{C}$

b) $\int \frac{{\left(2\mathrm{x}+3\right)}^2}{\sqrt{\mathrm{x}}}\mathrm{d}\mathrm{x}$ = $\int \frac{4{\mathrm{x}}^2+12\mathrm{x}+9}{\sqrt{\mathrm{x}}}\mathrm{d}\mathrm{x}$

                            = $\int \left(4\mathrm{x}\sqrt{\mathrm{x}}+12\sqrt{\mathrm{x}}+\frac{9}{\sqrt{\mathrm{x}}}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}$

                            = $\int 4\mathrm{x}\sqrt{\mathrm{x}}\mathrm{d}\mathrm{x}+\int 12\sqrt{\mathrm{x}}\mathrm{d}\mathrm{x}+\int \frac{9}{\sqrt{\mathrm{x}}}\mathrm{d}\mathrm{x}$

                            = $4\int {\mathrm{x}}^{\frac{3}{2}}\mathrm{d}\mathrm{x}+12\int {\mathrm{x}}^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}\mathrm{x}+9\int {\mathrm{x}}^{\frac{-1}{2}}\mathrm{d}\mathrm{x}$

                            = $\frac{8}{5}{\mathrm{x}}^2\sqrt{\mathrm{x}}+8\mathrm{x}\sqrt{\mathrm{x}}+18\sqrt{\mathrm{x}}+\mathrm{C}$

                            = $\left(\frac{8}{5}{\mathrm{x}}^2+8\mathrm{x}+18\right)\sqrt{\mathrm{x}}+\mathrm{C}$

Bài 4.4 trang 7 SBT Toán 12 Tập 2: Tìm:

a) $\int \left(2{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}+\frac{1}{3^{\mathrm{x}}}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}$;

b) $\int \left({\mathrm{x}}^2+2^{\mathrm{x}}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}$.

Lời giải:

a) $\int \left(2{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}+\frac{1}{3^{\mathrm{x}}}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}$ = $\int 2{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\mathrm{d}\mathrm{x}+\int \frac{1}{3^{\mathrm{x}}}\mathrm{d}\mathrm{x}$

                                  = $\int 2{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\mathrm{d}\mathrm{x}+\int 3^{-\mathrm{x}}\mathrm{d}\mathrm{x}$

                                  = 2e^x − $\frac{1}{3^{\mathrm{x}}.\ln 3}$ + C.

b) $\int \left({\mathrm{x}}^2+2^{\mathrm{x}}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}$ = $\int {\mathrm{x}}^2\mathrm{d}\mathrm{x}+\int 2^{\mathrm{x}}\mathrm{d}\mathrm{x}$

                               = $\frac{{\mathrm{x}}^3}{3}+\frac{2^{\mathrm{x}}}{\ln 2}+\mathrm{C}$.

Bài 4.5 trang 8 SBT Toán 12 Tập 2: Tìm:

a) $\int {\left(2^{\mathrm{x}}+3^{\mathrm{x}}\right)}^2\mathrm{d}\mathrm{x}$;

b) $\int {\left({\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}\right)}^2\mathrm{d}\mathrm{x}$.

Lời giải:

a) $\int {\left(2^{\mathrm{x}}+3^{\mathrm{x}}\right)}^2\mathrm{d}\mathrm{x}$ = $\int \left(2^{2\mathrm{x}}+{2.6}^{\mathrm{x}}+3^{2\mathrm{x}}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}$

                              = $\int \left(4^{\mathrm{x}}+{2.6}^{\mathrm{x}}+9^{\mathrm{x}}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}$

                              = $\int 4^{\mathrm{x}}\mathrm{d}\mathrm{x}+\int {2.6}^{\mathrm{x}}\mathrm{d}\mathrm{x}+\int 9^{\mathrm{x}}\mathrm{d}\mathrm{x}$

                              = $\frac{4^{\mathrm{x}}}{\ln 4}+\frac{{2.6}^{\mathrm{x}}}{\ln 6}+\frac{9^{\mathrm{x}}}{\ln 9} + \mathrm{C}$

b) $\int {\left({\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}\right)}^2\mathrm{d}\mathrm{x}$ = $\int \left({\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}-2{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}.{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}+{\mathrm{e}}^{-2\mathrm{x}}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}$

                                = $\int {\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}\mathrm{d}\mathrm{x}+\int {\mathrm{e}}^{-2\mathrm{x}}\mathrm{d}\mathrm{x}-\int 2\mathrm{d}\mathrm{x}$

                                = $\frac{{\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}}{2}-\frac{{\mathrm{e}}^{-2\mathrm{x}}}{2}-2\mathrm{x}+\mathrm{C}$

Bài 4.6 trang 8 SBT Toán 12 Tập 2: Tìm:

a) $\int \left(2\cos x+\frac{3}{\sqrt{x}}\right)dx$;

b) $\int \left(3\sqrt{x}-4\sin x\right)dx$.

Lời giải:

a) $\int \left(2\cos x+\frac{3}{\sqrt{x}}\right)dx$ = $\int 2\cos xdx+\int \frac{3}{\sqrt{x}}dx$

                                          = 2sinx + 6$\sqrt{x}$ + C.

b) $\int \left(3\sqrt{x}-4\sin x\right)dx$ = $\int 3\sqrt{x}dx-\int 4\sin xdx$

                                          = $2x\sqrt{x}+4\cos x+C.$

Bài 4.7 trang 8 SBT Toán 12 Tập 2: Tìm:

a)$\int \left(\mathrm{x}+{\sin }^2\frac{\mathrm{x}}{2}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}$

b) $\int {\left(2\tan \mathrm{x}+\cot \mathrm{x}\right)}^2\mathrm{d}\mathrm{x}$

Lời giải:

a) $\int \left(\mathrm{x}+{\sin }^2\frac{\mathrm{x}}{2}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}$ = $\int \mathrm{x}\mathrm{d}\mathrm{x}+\int {\sin }^2\frac{\mathrm{x}}{2}\mathrm{d}\mathrm{x}$

                                 = $\int \mathrm{x}\mathrm{d}\mathrm{x}+\int \frac{1-\cos \mathrm{x}}{2}\mathrm{d}\mathrm{x}$

                                 = $\int \mathrm{x}\mathrm{d}\mathrm{x}+\int \frac{1}{2}\mathrm{d}\mathrm{x}-\int \frac{\cos \mathrm{x}}{2}\mathrm{d}\mathrm{x}$

                                 = $\frac{1}{2}{\mathrm{x}}^2+\frac{1}{2}\mathrm{x}-\frac{1}{2}\sin \mathrm{x}+\mathrm{C}$.

b) $\int {\left(2\tan \mathrm{x}+\cot \mathrm{x}\right)}^2\mathrm{d}\mathrm{x}$ = $\int \left(4{\tan }^2\mathrm{x}+4\tan \mathrm{x}\cot \mathrm{x}+{\cot }^2\mathrm{x}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}$

                                       = $\int \left(\frac{4}{{\cos }^2\mathrm{x}}-4+4+\frac{1}{{\sin }^2\mathrm{x}}-1\right)\mathrm{d}\mathrm{x}$

                                       = $\int \frac{4}{{\cos }^2\mathrm{x}\mathrm{d}\mathrm{x}}+\int \frac{1}{{\sin }^2\mathrm{x}}\mathrm{d}\mathrm{x}-\int 1\mathrm{d}\mathrm{x}$

                                       = 4tanx – cotx – x + C.

Bài 4.8 trang 8 SBT Toán 12 Tập 2: Một viên đạn được bắn thẳng đứng lên trên từ mặt đất với vận tốc tại thời điểm t (t = 0 là thời điểm viên đạn được bắn lên) cho bởi v(t) = 150 – 9,8t (m/s). Tìm độ cao của viên đạn (tính từ mặt đất):

a) Sau t = 3 giây;

b) Khi nó đạt độ cao lớn nhất (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất của mét).

Lời giải:

Độ cao h(t) của viên đạn tại điểm t là:

h(t) = $\int \left(150-9,8\mathrm{t}\right)\mathrm{d}\mathrm{t}$ = 150t – 9,8$\frac{{\mathrm{t}}^2}{2}$ + C = 150t – 4,9t² + C.

Thay t = 0 ta được h(0) = C = 0.

Vậy h(t) = 150t – 4,9t² (m).

a) Sau t = 3 giây, độ cao của viên đạn là:

h = h(3) = 150.3 – 4,9.3² = 405,9 (m).

b) Ta có: h(t) = 150t – 4,9t² (m).

               h'(t) = v(t) = 150 – 9,8t

               h'(t) = 0 ⇔ t = $\frac{150}{9,8}$.

Ta có bảng xét dấu như sau:

Khi đó, viên đạn đạt độ cao lớn nhất tại thời điểm t_max = $\frac{150}{9,8}$.

Như vậy h_max = 150t_max – 4,9${\mathrm{t}}_{\max }^2$≈ 1148,0 (m).

Bài 4.9 trang 8 SBT Toán 12 Tập 2: Cho F(u) là một nguyên hàm của hàm số f(u) trên khoảng K và u(x), x ∈ J, là hàm số có đạo hàm liên tục, u(x) ∈ K với mọi x ∈ J. Tìm $\int \mathrm{f}\left(\mathrm{u}\left(\mathrm{x}\right)\right).{\mathrm{u}}^{‘}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}$.

Áp dụng: Tìm $\int {\left(2\mathrm{x}+1\right)}^5\mathrm{d}\mathrm{x}$ và $\int \frac{1}{\sqrt{2\mathrm{x}+1}}\mathrm{d}\mathrm{x}$.

Lời giải:

Ta có: F'(u) = f(u), với mọi u ∈ K.

${\left[\mathrm{F}\left(\mathrm{u}\left(\mathrm{x}\right)\right)\right]}^{‘}$ = ${\mathrm{F}}^{‘}\left(\mathrm{u}\left(\mathrm{x}\right)\right)$.u'(x) = $\mathrm{f}\left(\mathrm{u}\left(\mathrm{x}\right)\right).{\mathrm{u}}^{‘}\left(\mathrm{x}\right)$, với mọi x ∈ J.

Do đó, $\int \mathrm{f}\left(\mathrm{u}\left(\mathrm{x}\right)\right).{\mathrm{u}}^{‘}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}$ = $\mathrm{F}\left(\mathrm{u}\left(\mathrm{x}\right)\right)$ + C.

Áp dụng:

$\int {\left(2\mathrm{x}+1\right)}^5\mathrm{d}\mathrm{x}$ = $\int {\left(2\mathrm{x}+1\right)}^5\frac{{\left(2\mathrm{x}+1\right)}^{‘}}{2}\mathrm{d}\mathrm{x}$

                      = $\frac{1}{2}\int {\left(2\mathrm{x}+1\right)}^5{\left(2\mathrm{x}+1\right)}^{‘}\mathrm{d}\mathrm{x}$

                      = $\frac{1}{2}.\frac{{\left(2\mathrm{x}+1\right)}^6}{6}+\mathrm{C}$

                      = $\frac{{\left(2\mathrm{x}+1\right)}^6}{12}+\mathrm{C}$.

$\int \frac{1}{\sqrt{2\mathrm{x}+1}}\mathrm{d}\mathrm{x}$ = $\int \frac{1}{\sqrt{2\mathrm{x}+1}}.\frac{{\left(2\mathrm{x}+1\right)}^{‘}}{2}\mathrm{d}\mathrm{x}$

                       = $\int \frac{1}{2\sqrt{2\mathrm{x}+1}}.{\left(2\mathrm{x}+1\right)}^{‘}\mathrm{d}\mathrm{x}$

                       = $\sqrt{2\mathrm{x}+1}+\mathrm{C}.$

Bài 4.10 trang 8 SBT Toán 12 Tập 2: Tìm:

a) $\int \frac{2\mathrm{x}-1}{\mathrm{x}+1}\mathrm{d}\mathrm{x}$;

b) $\int \left(3+2{\sin }^2\mathrm{x}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}$.

Lời giải:

a) $\int \frac{2\mathrm{x}-1}{\mathrm{x}+1}\mathrm{d}\mathrm{x}$ = $\int \left[\frac{2\left(\mathrm{x}+1\right)-3}{\mathrm{x}+1}\right]\mathrm{d}\mathrm{x}$

                      = $\int 2\mathrm{d}\mathrm{x}-\int \frac{3}{\mathrm{x}+1}\mathrm{d}\mathrm{x}$

                      = 2x – 3ln$\left|\mathrm{x}+1\right|$ + C.

b) $\int \left(3+2{\sin }^2\mathrm{x}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}$ = $\int \left(3+2.\frac{1-\cos 2\mathrm{x}}{2}\mathrm{d}\mathrm{x}\right)$

                                 = $\int \left(3+1-\cos 2\mathrm{x}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}$

                                 = $\int \left(4-\cos 2\mathrm{x}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}$

                                 = 4x − $\int \cos 2\mathrm{x}.\frac{{\left(2\mathrm{x}\right)}^{‘}}{2}\mathrm{d}\mathrm{x}$

                                 = 4x −$\frac{\sin 2\mathrm{x}}{2}$ + C.

Lý thuyết Nguyên hàm

1. Nguyên hàm của một hàm số

• Khái niệm nguyên hàm

Cho hàm số f(x) xác định trên một khoảng K (hoặc một đoạn, hoặc một nửa khoảng). Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F'(x) = f(x) với mọi x thuộc K.

Chú ý. Trường hợp K = [a; b] thì các đẳng thức F'(a) = f(a) và F'(b) = f(b) được hiểu là đạo hàm bên phải tại điểm x = a và đạo hàm bên trái tại điểm x = b của hàm số F(x), tức là $\underset{x\to a^{+}}{\lim }\frac{F\left(x\right)-F\left(a\right)}{x-a}=f\left(a\right)$ và $\underset{x\to b^{-}}{\lim }\frac{F\left(x\right)-F\left(b\right)}{x-b}=f\left(b\right)$.

Ví dụ 1. Cho hàm số f(x) = x³ – 3x². Trong các hàm số cho dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên ℝ?

$F\left(x\right)=\frac{x^4}{4}-x^3$; $G\left(x\right)=\frac{x^4}{4}+x^3$.

Hướng dẫn giải

Ta có: F'(x) = x³ – 3x², G'(x) = x³ + 3x².

Vì F'(x) = f(x) với mọi x $\in$ ℝ nên hàm số F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên ℝ.

Hàm số G(x) không là nguyên hàm của f(x) trên ℝ vì với x = 1, ta có G'(1) = 4 ≠ −2 = f(1).

• Họ nguyên hàm của một hàm số

Giả sử hàm số F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K. Khi đó:

a) Với mỗi hằng số C, hàm số F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K;

b) Nếu hàm số G(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì tồn tại một hằng số C sao cho G(x) = F(x) + C với mọi x $\in$ K.

Như vậy, nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C (C là hằng số). Ta gọi F(x) + C (C $\in$ ℝ) là họ các nguyên hàm của f(x) trên K, kí hiệu bởi $\int f\left(x\right)dx$.

Chú ý

a) Để tìm họ các nguyên hàm (gọi tắt là tìm nguyên hàm) của hàm số f(x) trên K, ta chỉ cần tìm một nguyên hàm F(x) của f(x) trên K và khi đó C là hằng số.

b) Người ta chứng minh được rằng, nếu hàm số f(x) liên tục trên khoảng K thì f(x) có nguyên hàm trên khoảng đó.

c) Biểu thức f(x)dx gọi là vi phân của nguyên hàm F(x), kí hiệu dF(x). Vậy dF(x) = F'(x)dx = f(x)dx.

d) Khi tìm nguyên hàm của một hàm số mà không chỉ rõ tập K, ta hiểu là tìm nguyên hàm của hàm số đó trên tập xác định của nó.

Ví dụ 2. Tìm một nguyên hàm của hàm số f(x) = 5x⁴ trên ℝ. Từ đó hãy tìm $\int 5x^{4}dx$ .

Hướng dẫn giải

Vì (x⁵)’ = 5x⁴ nên F(x) = x⁵ là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên ℝ.

Do đó $\int 5x^{4}dx=x^5+C$.

2. Tính chất cơ bản của nguyên hàm

• Nguyên hàm của tích một hàm số với một hằng số khác 0

$\int kf\left(x\right)dx=k\int f\left(x\right)dx\left(k\ne 0\right)$.

Ví dụ 3. Hãy tìm $\int \frac{1}{2}{x}^{3}dx$ .

Hướng dẫn giải

Ta có $\int \frac{1}{2}{x}^{3}dx=\frac{1}{2}\int x^{3}dx=\frac{1}{2}.\frac{x^4}{4}+C=\frac{x^4}{8}+C$ .

• Nguyên hàm của một tổng

$\int \left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]dx=\int f\left(x\right)dx+\int g\left(x\right)dx$.

$\int \left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]dx=\int f\left(x\right)dx-\int g\left(x\right)dx$.

Ví dụ 4. Hãy tìm:

a) $\int \left(x-x^2\right)dx$;                                   b) $\int \left(5x^4+3x^2\right)dx$ .

Hướng dẫn giải

a) $\int \left(x-x^2\right)dx$ $=\int xdx-\int x^{2}dx$ $=\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}+C$.

b) $\int \left(5x^4+3x^2\right)dx$$=5\int x^{4}dx+3\int x^{2}dx$$=5.\frac{x^5}{5}+3.\frac{x^3}{3}+C$$=x^5+x^3+C$ .

3. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

• Nguyên hàm của hàm số lũy thừa

+) Hàm số lũy thừa

Hàm số y = x^α, với α ∈ ℝ, được gọi là hàm số lũy thừa.

Tập xác định của hàm số lũy thừa y = x^α tùy thuộc vào giá trị của α. Cụ thể:

– Với α nguyên dương, tập xác định là ℝ.

– Với α nguyên âm hoặc bằng 0, tập xác định là ℝ\{0}.

– Với α không nguyên, tập xác định là (0; +∞).

+) Hàm số lũy thừa y = x^α (α $\in$ ℝ) có đạo hàm với mọi x > 0 và ${\left(x^{\alpha }\right)}^{‘}=\alpha x^{\alpha -1}$.

+) Nguyên hàm của hàm số lũy thừa

$\int x^{\alpha }dx=\frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}+C\left(\alpha \ne -1\right)$.

$\int \frac{1}{x}dx=\ln \left|x\right|+C$.

Ví dụ 5. Hãy tìm:

a) $\int \left(\sqrt{x}-x^2\right)dx$;                                b) $\int \left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}\right)dx$ .

Hướng dẫn giải

a) $\int \left(\sqrt{x}-x^2\right)dx$$=\int \sqrt{x}dx-\int x^{2}dx$$=\int x^{\frac{1}{2}}dx-\int x^{2}dx$

$=\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}-\frac{x^3}{3}+C$ .

b) $\int \left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}\right)dx$$=\int \frac{1}{x}dx-\int \frac{1}{x^2}dx$$=\int \frac{1}{x}dx-\int x^{-2}dx$

$=\ln \left|x\right|+\frac{1}{x}+C$.

• Nguyên hàm của hàm số lượng giác

$\int \cos xdx=\sin x+C$;

$\int \sin xdx=-\cos x+C$;

$\int \frac{1}{{\cos }^{2}x}dx=\tan x+C$;

$\int \frac{1}{{\sin }^{2}x}dx=-\cot x+C$.

Ví dụ 6. Hãy tìm:

a) $\int \left(2\cos x+\frac{1}{{\sin }^{2}x}\right)dx$;         

         

b) $\int \left(\sqrt{2}\sin x+\frac{2}{{\cos }^{2}x}\right)dx$ .

Hướng dẫn giải

a) $\int \left(2\cos x+\frac{1}{{\sin }^{2}x}\right)dx$$=\int 2\cos xdx+\int \frac{1}{{\sin }^{2}x}dx$

$=2\sin x-\cot x+C$.

b) $\int \left(\sqrt{2}\sin x+\frac{2}{{\cos }^{2}x}\right)dx$$=\sqrt{2}\int \sin xdx+2\int \frac{1}{{\cos }^{2}x}dx$

$=-\sqrt{2}\cos x+2\tan x+C$.

• Nguyên hàm của hàm số mũ

$\int e^{x}dx=e^x+C$.

$\int a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln a}+C\left(0<a\ne 1\right)$.

Ví dụ 7. Hãy tìm:

a) $\int \left(e^x-2^x\right)dx$;                                  b) $\int \left(x+\frac{1}{2^x}\right)dx$ .

Hướng dẫn giải

a) $\int \left(e^x-2^x\right)dx$$=\int e^{x}dx-\int 2^{x}dx$$=e^x-\frac{2^x}{\ln 2}+C$ .

b) $\int \left(x+\frac{1}{2^x}\right)dx$$=\int xdx+\int {\left(\frac{1}{2}\right)}^{x}dx$$=\frac{x^2}{2}+{\frac{\left(\frac{1}{2}\right)}{\ln \frac{1}{2}}}^x+C$

$=\frac{x^2}{2}-\frac{1}{2^x\ln 2}+C$ .

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 12 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài tập cuối chương 3

Bài 11: Nguyên hàm

Bài 12: Tích phân

Bài 13: Ứng dụng hình học của tích phân

Bài tập cuối chương 4

Bài 14: Phương trình mặt phẳng