1. Giải bài 2.15 trang 109 SBT Giải tích 12
Tính
\(a)\,\dfrac 1 2\log_7{36}-\log_7{14}-3\log_7{\sqrt[3]{21}}\)
\(b)\,\dfrac{\log_2{24}-\dfrac 1 2 \log_272}{\log_318-\dfrac1 3\log _372}\)
\(c)\,\dfrac{\log_24+\log_2\sqrt{10}}{\log_2{20}+3\log_22}\)
Phương pháp giải
Sử dụng các tính chất của logarit.
Hướng dẫn giải
a)
\(\,\,\,\,\,\dfrac 1 2\log_7{36}-\log_7{14}-3\log_7{\sqrt[3]{21}}\\ =\log_7\sqrt{36}-\log_714-3.\dfrac 1 3 \log_721\\ =\log_76-\log_714-\log_721\\ =\log_7{\dfrac{6}{14.21}}=\log_7{\dfrac 1 {49}}=-2\)
b)
\(\begin{align} & \dfrac{{{\log }_{2}}24-{{\log }_{2}}\sqrt{72}}{{{\log }_{3}}18-{{\log }_{3}}\sqrt[3]{72}} \\ & =\dfrac{{{\log }_{2}}\dfrac{24}{\sqrt{72}}}{{{\log }_{3}}\dfrac{18}{\sqrt[3]{72}}} \\ & =\dfrac{{{\log }_{2}}\dfrac{24}{3\sqrt{8}}}{{{\log }_{3}}\dfrac{18}{2\sqrt[3]{9}}} \\ & =\dfrac{{{\log }_{2}}\dfrac{8}{\sqrt{8}}}{{{\log }_{3}}\dfrac{9}{\sqrt[3]{9}}} \\ & =\dfrac{{{\log }_{2}}{{2}^{3-\frac{3}{2}}}}{{{\log }_{3}}{{3}^{2-\frac{2}{3}}}}=\dfrac{\dfrac{3}{2}}{\dfrac{4}{3}}=\dfrac{9}{8} \\ \end{align}\)
c)
\(\dfrac{\log_24+\log_2\sqrt{10}}{\log_2{20}+3\log_22}\\ \begin{align} & =\frac{{{\log }_{2}}\left( 4.\sqrt{10} \right)}{{{\log }_{2}}\left( {{20.2}^{3}} \right)} \\ & =\frac{{{\log }_{2}}\left( {{2}^{2}}{{.2}^{\frac{1}{2}}}{{.5}^{\frac{1}{2}}} \right)}{{{\log }_{2}}\left( {{2}^{2}}{{.5.2}^{3}} \right)} \\ & =\frac{{{\log }_{2}}{{2}^{\frac{5}{2}}}+{{\log }_{2}}{{5}^{\frac{1}{2}}}}{{{\log }_{2}}{{2}^{5}}+{{\log }_{2}}5} \\ & =\frac{\dfrac{1}{2}\left( {{\log }_{2}}{{2}^{5}}+{{\log }_{2}}5 \right)}{{{\log }_{2}}{{2}^{5}}+{{\log }_{2}}5}=\frac{1}{2} \\ \end{align} \)
2. Giải bài 2.16 trang 109 SBT Giải tích 12
Tìm x, biết:
\(a)\,\log_5x=2\log_5a-3\log_5b\)
\(b)\,\log_{\frac 1 2}x=\dfrac 2 3\log_{\frac 1 2 }a-\dfrac 1 5 \log_{\frac 1 2}b\)
Phương pháp giải
Biến đổi phương trình đã cho về cùng cơ số và sử dụng lý thuyết \(\displaystyle{\log _a}m = {\log _a}n \Leftrightarrow m = n\)
Hướng dẫn giải
a)
\(\begin{align} & {{\log }_{5}}x=2{{\log }_{5}}a-3{{\log }_{5}}b \\ & \Leftrightarrow {{\log }_{5}}x={{\log }_{5}}{{a}^{2}}-{{\log }_{5}}{{b}^{3}} \\ & \Leftrightarrow {{\log }_{5}}x={{\log }_{5}}\dfrac{{{a}^{2}}}{{{b}^{3}}} \\ & \Leftrightarrow x=\dfrac{{{a}^{2}}}{{{b}^{3}}} \\ \end{align} \)
b)
\(\begin{align} & {{\log }_{\frac{1}{2}}}x=\dfrac{2}{3}{{\log }_{\frac{1}{2}}}a-\dfrac{1}{5}{{\log }_{\frac{1}{2}}}b \\ & \Leftrightarrow {{\log }_{\frac{1}{2}}}x={{\log }_{\frac{1}{2}}}{{a}^{\frac{2}{3}}}-{{\log }_{\frac{1}{2}}}{{b}^{\frac{1}{5}}} \\ & \Leftrightarrow {{\log }_{\frac{1}{2}}}x={{\log }_{\frac{1}{2}}}\dfrac{{{a}^{\frac{2}{3}}}}{{{b}^{\frac{1}{5}}}} \\ & \Leftrightarrow x=\dfrac{{{a}^{\frac{2}{3}}}}{{{b}^{\frac{1}{5}}}}=\dfrac{\sqrt[3]{{{a}^{2}}}}{\sqrt[5]{b}} \\ \end{align} \)
3. Giải bài 2.17 trang 109 SBT Giải tích 12
a) Cho \( a = \log_315, b=\log_310\). Hãy tính \(\log_{\sqrt 3}50\), theo a và b
b) Cho \(a =\log_2 3, b=\log_3 5, c=\log_7 2\). Hãy tính \(\log_{140}63\) theo \(a, b, c.\)
Phương pháp giải
Thu gọn các số \(\displaystyle a,b\), từ đó biến đổi biểu thức cần tính giá trị về làm xuất hiện (a,b).
Hướng dẫn giải
a)
\(\begin{align} & {{\log }_{\sqrt{3}}}50=2.{{\log }_{3}}50=2.\left( {{\log }_{3}}5+{{\log }_{3}}10 \right) \\ & =2.\left( {{\log }_{3}}\dfrac{15}{3}+{{\log }_{3}}10 \right) \\ & =2.\left( {{\log }_{3}}15+{{\log }_{3}}10-{{\log }_{3}}3 \right) \\ & =2\left( a+b-1 \right) \\ \end{align}\)
b)
\(\begin{align} & {{\log }_{140}}63=\dfrac{{{\log }_{2}}63}{{{\log }_{2}}140} \\ & =\dfrac{{{\log }_{2}}\left( 9.7 \right)}{{{\log }_{2}}\left( {{2}^{2}}.5.7 \right)}=\dfrac{2{{\log }_{2}}3+{{\log }_{2}}7}{{{\log }_{2}}{{2}^{2}}+{{\log }_{2}}5+{{\log }_{2}}7} \\ & =\dfrac{2{{\log }_{2}}3+\dfrac{1}{{{\log }_{7}}2}}{2+\dfrac{{{\log }_{3}}5}{{{\log }_{3}}2}+\dfrac{1}{{{\log }_{7}}2}} \\ & =\dfrac{2a+\dfrac{1}{c}}{2+ab+\dfrac{1}{c}}=\dfrac{\dfrac{2ac+1}{c}}{\dfrac{2c+abc+1}{c}}=\dfrac{2{{a}}c+1}{abc+2c+1} \\ \end{align}\)
4. Giải bài 2.18 trang 109 SBT Giải tích 12
Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau :
A. \( \log_3\dfrac 6 5 < \log_3\dfrac 5 6\)
B. \( \log_{\frac 1 3}17 > \log_{\frac 1 3}9\)
C. \(\log_{\frac 1 2}e<\log_{\frac 1 2}\pi\)
D. \(\log_2\dfrac{\sqrt 5} 2 > \log_2\dfrac{\sqrt 3} 2\)
Phương pháp giải
Với \(a > 1\)
\(b>c\Rightarrow \log_ab>\log_ac\\ b< c\Rightarrow \log_ab<\log_ac\)
Với \(0< a<1\)
\(b>c\Rightarrow \log_ab<\log_ac\\ b< c\Rightarrow \log_ab>\log_ac\)
Hướng dẫn giải
Vì 3 > 1 và \(\dfrac 6 5 > \dfrac 5 6\) nên \( \log_3\dfrac 6 5 >\log_3\dfrac 5 6\)
A – sai
Vì \(0<\dfrac 1 3 <1\) nên \( \log_{\frac 1 3}17 < \log_{\frac 1 3}9\)
B – sai
Vì \(0<\dfrac 1 2 <1\) và \(e< \pi\) nên \(\log_{\frac 1 2}e>\log_{\frac 1 2}\pi\)
C – sai
Vì 2 > 1 và \(\dfrac{\sqrt 5} 2 > \dfrac{\sqrt 3} 2\) nên \(\log_2\dfrac{\sqrt 5} 2 > \log_2\dfrac{\sqrt 3} 2\)
D – đúng
Chọn D.
5. Giải bài 2.19 trang 109 SBT Giải tích 12
Tính giá trị bằng số của biểu thức \(\log_{a^2}a\,\,\,(a>0, a\ne 1)\)
A. 2
B. -2
C. \(\dfrac 1 2\)
D. \(-\dfrac 1 2\)
Phương pháp giải
Với \(a > 1\)
\(b>c\Rightarrow \log_ab>\log_ac\\ b< c\Rightarrow \log_ab<\log_ac\)
Với \(0< a<1\)
\(b>c\Rightarrow \log_ab<\log_ac\\ b< c\Rightarrow \log_ab>\log_ac\)
Hướng dẫn giải
\(\log_{a^2}a=\dfrac 1 2 \log_aa=\dfrac 1 2\)
Chọn C.
6. Giải bài 2.20 trang 109 SBT Giải tích 12
Tính giá trị bằng số của biểu thức \(\ln\dfrac 1 e\)
A. 1
B. -1
C. \(\dfrac 1 e\)
D. \(-\dfrac 1 e\)
Phương pháp giải
Áp dụng
\(\ln e=1\\ a^{\log_ab}=b\)
Hướng dẫn giải
\(\ln\dfrac 1 e =\ln {e^{-1}}=-1\ln e=-1\)
Chọn B
7. Giải bài 2.21 trang 109 SBT Giải tích 12
Tính giá trị bằng số của biểu thức \(9^{\log_32}\)
A. 2
B. 4
C. \(\dfrac 1 3\)
D. \( \dfrac 1 2\)
Phương pháp giải
Áp dụng
\(\ln e=1\\ a^{\log_ab}=b\)
Hướng dẫn giải
\(9^{\log_32}=(3^2)^{\log_32}=(3^{\log_32})^2=2^2=4\)
Chọn B
8. Giải bài 2.22 trang 110 SBT Giải tích 12
Tính giá trị bằng số của biểu thức \(4^{\log_{\sqrt 2}3}\)
A. 81
B. 9
C. \(\dfrac 1 3\)
D. \(\dfrac 1 {27}\)
Phương pháp giải
Sử dụng công thức \(\displaystyle {a^{{{\log }_a}b}} = b\) và \(\displaystyle {\log _{{a^n}}}b = \frac{1}{n}{\log _a}b\) với \(\displaystyle 0 < a \ne 1,b > 0\)
Hướng dẫn giải
\({{4}^{{{\log }_{\sqrt{2}}}3}}={{\left( {{2}^{2}} \right)}^{2{{\log }_{2}}3}}={{2}^{4{{\log }_{2}}3}}={{\left( {{2}^{{{\log }_{2}}3}} \right)}^{4}}={{3}^{4}}=81\)
Chọn A.
9. Giải bài 2.23 trang 110 SBT Giải tích 12
Tìm số dương trong các số sau đây.
A. \( \log_{\frac 2 e}1,25\)
B. \(\log_{\frac 1 3}0,25\)
C. \( \ln \dfrac 1 {e^2}\)
D. \(\log_{\frac 1 e} 3\)
Phương pháp giải
Sử dụng tính chất so sánh logarit:
+ Nếu \(\displaystyle a > 1\) thì \(\displaystyle {\log _a}m < {\log _a}n \Leftrightarrow m < n\)
+ Nếu 0 < a < 1 thì \(\displaystyle {\log _a}m < {\log _a}n \Leftrightarrow m > n\)
Hướng dẫn giải
\(\dfrac 2 e < 1\Rightarrow \log_{\frac 2 e}1,25<\log_{\frac 2 e }1=0\)
\(\dfrac 1 3 < 1\Rightarrow {{\log }_{\frac{1}{3}}}0,25>{{\log }_{\frac{1}{3}}}1=0 \)
\(\ln \dfrac{1}{{{e}^{2}}}=\ln {{e}^{-2}}=-2 \)
\(\dfrac 1 e < 1\Rightarrow{{\log }_{\frac{1}{e}}}3<{{\log }_{\frac{1}{e}}}1=0 \)
Chọn B
10. Giải bài 2.24 trang 110 SBT Giải tích 12
Tìm số âm trong các số sau đây
A. \( \log_2 3\)
B. \(\ln\sqrt e\)
C. \( \lg 2,5\)
D. \( \log_30,3\)
Phương pháp giải
Sử dụng tính chất so sánh logarit:
+ Nếu \(\displaystyle a > 1\) thì \(\displaystyle {\log _a}m < {\log _a}n \Leftrightarrow m < n\)
+ Nếu 0 < a < 1 thì \(\displaystyle {\log _a}m < {\log _a}n \Leftrightarrow m > n\)
Hướng dẫn giải
\(\log_23>\log_21=0\\ \ln\sqrt e=\dfrac 1 2\\ \lg2,5>\lg1=0\\ \log_30,3=\log_3\dfrac 3 {10}=\log_33-\log_3{10}<0\)
Chọn D.
11. Giải bài 2.25 trang 110 SBT Giải tích 12
Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau:
A. \(\log_23> \log_3 2\)
B. \(\log_{\frac 1 2}4=\log_3\dfrac 1 9\)
C. \( \log_43<\log_34\)
D. \(\log_23<\log_34\)
Phương pháp giải
Với \(a > 1\)
\(b>c\Rightarrow \log_ab>\log_ac\\ b< c\Rightarrow \log_ab<\log_ac\)
Với \(0< a<1\)
\(b>c\Rightarrow \log_ab<\log_ac\\ b< c\Rightarrow \log_ab>\log_ac\)
Hướng dẫn giải
\(\begin{aligned} & \left\{ \begin{align} & {{\log }_{2}}3>{{\log }_{2}}2=1 \\ & {{\log }_{3}}2<{{\log }_{3}}3=1 \\ \end{align} \right.\Rightarrow {{\log }_{2}}3>{{\log }_{3}}2 \\ & \left\{ \begin{aligned} & {{\log }_{\frac{1}{2}}}4=-{{\log }_{2}}4=-2 \\ & {{\log }_{3}}\dfrac{1}{9}=-2 \\ \end{aligned} \right.\Rightarrow {{\log }_{\dfrac{1}{2}}}4={{\log }_{3}}\dfrac{1}{9} \\ & {{\log }_{4}}3<1<{{\log }_{3}}4 \\ \end{aligned} \)
Chọn D
12. Giải bài 2.26 trang 110 SBT Giải tích 12
Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau :
A. \(4^{\log_2 3}<4^{\log_32}\)
B. \(\log_24=\log_4 2\)
C. \(\log_3\dfrac 3 5>\log_3\dfrac 2 3\)
D. \(\log_{\frac 3 4} 5>\log_{\frac 3 4}6\)
Phương pháp giải
Với \(a > 1\)
\(b>c\Rightarrow \log_ab>\log_ac\\ b< c\Rightarrow \log_ab<\log_ac\)
Với \(0< a<1\)
\(b>c\Rightarrow \log_ab<\log_ac\\ b< c\Rightarrow \log_ab>\log_ac\)
Hướng dẫn giải
\(\begin{align} & {{\log }_{2}}3>{{\log }_{3}}2\Leftrightarrow {{4}^{{{\log }_{2}}3}}>{{4}^{{{\log }_{3}}2}} \\ & {{\log }_{2}}4=2>{{\log }_{4}}2=\frac{1}{2} \\ & \frac{3}{4}<1\Rightarrow {{\log }_{\frac{3}{4}}}5>{{\log }_{\frac{3}{4}}}6 \\ \end{align} \)
Chọn D