Giải SGK Toán 12 (Chân trời sáng tạo): Bài tập cuối chương 3

Giải bài tập Toán 12 Bài tập cuối chương III

Câu hỏi trắc nghiệm

Bài 1 trang 84 Toán 12 Tập 1: Mỗi ngày bác Hương đều đi bộ để rèn luyện sức khỏe. Quãng đường đi bộ mỗi ngày (đơn vị: km) của bác Hương trong 20 ngày được thống kê lại ở bảng sau:

Quãng đường (km)	[2,7; 3,0)	[3,0; 3,3)	[3,3; 3,6)	[3,6; 3,9)	[3,9; 4,2)
Số ngày	3	6	5	4	2

a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là

A. 1,5.

B. 0,9.

C. 0,6.

D. 0,3.

b) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là

A. 0,9.

B. 0,975.

C. 0,5.

D. 0,575.

c) Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là

A. 3,39.

B. 11,62.

C. 0,1314.

D. 0,36.

d) Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm có giá trị gần nhất với giá trị nào dưới đây?

A. 3,41.

B. 11,62.

C. 0,017.

D. 0,36.

Lời giải:

a) Đáp án đúng là: A

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là R = 4,2 – 2,7 = 1,5 (km).

b) Đáp án đúng là: D

Cỡ mẫu n = 20.

Gọi x₁; x₂; …; x₂₀ là mẫu số liệu gốc về quãng đường đi bộ mỗi ngày của bác Hương trong 20 ngày được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có x₁; x₂; x₃ ∈ [2,7; 3,0), x₄; …; x₉ ∈ [3,0; 3,3), x₁₀; …; x₁₄ ∈ [3,3; 3,6),

   x₁₅; …; x₁₈ ∈ [3,6; 3,9), x₁₉; x₂₀ ∈ [3,9; 4,2).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}\left(x_5+x_6\right)$ ∈ [3,0; 3,3).

Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Q₁ = 3,0 + $\frac{\frac{20}{4}-3}{6}$.(3,3-3,0) = 3,1.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}\left(x_{15}+x_{16}\right)$ ∈ [3,6; 3,9).

Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Q₃ = 3,6 + $\frac{\frac{3\cdot 20}{4}-\left(3+6+5\right)}{4}$.(3,9-3,6) = 3,675.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:

∆_Q = Q₃ – Q₁ = 3,675 – 3,1 = 0,575.

c) Đáp án đúng là: C

Ta có bảng sau:

Quãng đường (km)	[2,7; 3,0)	[3,0; 3,3)	[3,3; 3,6)	[3,6; 3,9)	[3,9; 4,2)
Giá trị đại diện	2,85	3,15	3,45	3,75	4,05
Số ngày	3	6	5	4	2

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$\overline{x}=\frac{3\cdot 2,85+6\cdot 3,15+5\cdot 3,45+4\cdot 3,75+2\cdot 4,05}{20}=3,39$.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

S² = $\frac{1}{20}$ [3 ∙ (2,85)² + 6 ∙ (3,15)² + 5 ∙ (3,45)² + 4 ∙ (3,75)² + 2 ∙ (4,05)²] – (3,39)²

= 0,1314.

d) Đáp án đúng là: D

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$S=\sqrt{S^2}=\sqrt{0,1314}\approx 0,36$.

Bài 2 trang 84 Toán 12 Tập 1: Bạn Chi rất thích nhảy hiện đại. Thời gian tập nhảy mỗi ngày trong thời gian gần đây của bạn Chi được thống kê lại ở bảng sau:

Thời gian (phút)	[20; 25)	[25; 30)	[30; 35)	[35; 40)	[40; 45)
Số ngày	6	6	4	1	1

a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là

A. 25.

B. 20.

C. 15.

D. 30.

b) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là

A. 23,75.

B. 27,5.

C. 31,88.

D. 8,125.

c) Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm có giá trị gần nhất với giá trị nào dưới đây?

A. 31,77.

B. 32.

C. 31.

D. 31,44.

Lời giải:

a) Đáp án đúng là: A

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là:

R = 45 – 20 = 25 (phút).

b) Đáp án đúng là: D

Cỡ mẫu n = 6 + 6 + 4 + 1 + 1 = 18.

Gọi x₁; x₂; …; x₁₈ là mẫu số liệu gốc về thời gian tập nhảy mỗi ngày của bạn Chi được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có x₁; …; x₆ ∈ [20; 25), x₇; …; x₁₂ ∈ [25; 30), x₁₃; …; x₁₆ ∈ [30; 35),

x₁₇ ∈ [35; 40), x₁₈ ∈ [40; 45).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là x₅ ∈ [20; 25).

Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Q₁ = 20 + $\frac{\frac{18}{4}}{6}$.(25-20) = 23,75.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là x₁₄ ∈ [30; 35).

Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Q₃ = 30 + $\frac{\frac{3\cdot 18}{4}-\left(6+6\right)}{4}$.(35-30) = 31,875.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:

∆_Q = Q₃ – Q₁ = 31,875 – 23,75 = 8,125.

c) Đáp án đúng là: D

Ta có bảng sau:

Thời gian (phút)	[20; 25)	[25; 30)	[30; 35)	[35; 40)	[40; 45)
Giá trị đại diện	22,5	27,5	32,5	37,5	42,5
Số ngày	6	6	4	1	1

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$\overline{x}=\frac{6\cdot 22,5+6\cdot 27,5+4\cdot 32,5+1\cdot 37,5+1\cdot 42,5}{18}=\frac{85}{3}$.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

S² = $\frac{1}{18}$ [6 ∙ (22,5)² + 6 ∙ (27,5)² + 4 ∙ (32,5)² + 1 ∙ (37,5)² + 1 ∙ (42,5)²] – ${\left(\frac{85}{3}\right)}^2$

= 31,25.

Bài 3 trang 85 Toán 12 Tập 1: Dũng là học sinh rất giỏi chơi rubik, bạn có thể giải nhiều loại khối rubik khác nhau. Trong một lần tập luyện giải khối rubik 3 × 3, bạn Dũng đã tự thống kê lại thời gian giải rubik trong 25 lần giải liên tiếp ở bảng sau:

Thời gian giải rubik (giây)	[8; 10)	[10; 12)	[12; 14)	[14; 16)	[16; 18)
Số lần	4	6	8	4	3

a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm nhận giá trị nào trong các giá trị dưới đây?

A. 6.

B. 8.

C. 10.

D. 12.

b) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là

A. 10,75.

B. 1,75.

C. 3,63.

D. 14,38.

c) Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm có giá trị gần nhất với giá trị nào dưới đây?

A. 5,98.

B. 6.

C. 2,44.

D. 2,5.

Lời giải:

a) Đáp án đúng là: C

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là:

R = 18 – 8 = 10 (giây).

b) Đáp án đúng là: C

Cỡ mẫu n = 25.

Gọi x₁; x₂; …; x₂₅ là mẫu số liệu gốc về thời gian giải rubik trong 25 lần giải liên tiếp được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có x₁; …; x₄ ∈ [8; 10), x₅; …; x₁₀ ∈ [10; 12), x₁₁; …; x₁₈ ∈ [12; 14),

   x₁₉; …; x₂₂ ∈ [14; 16), x₂₃; …; x₂₅ ∈ [16; 18).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}$ (x₆ + x₇) ∈ [10; 12).

Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Q₁ = 10 + $\frac{\frac{25}{4}-4}{6}$.(12-10) = 10,75.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}$ (x₁₉ + x₂₀) ∈ [14; 16).

Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Q₃ = 14 + $\frac{\frac{3\cdot 25}{4}-\left(4+6+8\right)}{4}$.(16-14) = 14,375.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:

∆_Q = Q₃ – Q₁ = 14,375 – 10,75 = 3,625 ≈ 3,63.

c) Đáp án đúng là: C

Ta có bảng sau:

Thời gian giải rubik (giây)	[8; 10)	[10; 12)	[12; 14)	[14; 16)	[16; 18)
Giá trị đại điện	9	11	13	15	17
Số lần	4	6	8	4	3

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$\overline{x}=\frac{4\cdot 9+6\cdot 11+8\cdot 13+4\cdot 15+3\cdot 17}{25}=12,68$.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

S² = $\frac{1}{25}$ (4 ∙ 9² + 6 ∙ 11² + 8 ∙ 13² + 4 ∙ 15² + 3 ∙ 17²) – (12,68)² = 5,9776.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$S=\sqrt{S^2}=\sqrt{5,9776}\approx 2,44$.

Bài tập tự luận

Bài 4 trang 85 Toán 12 Tập 1: Một bác tài xế thống kê lại độ dài quãng đường (đơn vị: km) bác đã lái xe mỗi ngày trong một tháng ở bảng sau:

Độ dài quãng đường (km)	[50; 100)	[100; 150)	[150; 200)	[200; 250)	[250; 300)
Số ngày	5	10	9	4	2

Hãy xác định khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên.

Lời giải:

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là:

R = 300 – 50 = 250 (km).

Cỡ mẫu n = 5 + 10 + 9 + 4 + 2 = 30.

Gọi x₁; x₂; …; x₃₀ là mẫu số liệu gốc về độ dài quãng đường bác tài xế đã lái xe mỗi ngày trong một tháng được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có x₁; …; x₅ ∈ [50; 100), x₆; …; x₁₅ ∈ [100; 150), x₁₆; …; x₂₄ ∈ [150; 200),

   x₂₅; …; x₂₈ ∈ [200; 250), x₂₉; x₃₀ ∈ [250; 300).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là x₈ ∈ [100; 150).

Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Q₁ = 100 + $\frac{\frac{30}{4}-5}{10}$.(150-100) = 112,5.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là x₂₃ ∈ [150; 200).

Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Q₃ = 150 +$\frac{\frac{3\cdot 30}{4}-\left(5+10\right)}{9}$.(200-150) = $\frac{575}{3}$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:

∆_Q = Q₃ – Q₁ = $\frac{575}{3}$ – 112,5 = ≈ 79,17.

Ta có bảng sau:

Độ dài quãng đường (km)	[50; 100)	[100; 150)	[150; 200)	[200; 250)	[250; 300)
Giá trị đại diện	75	125	175	225	275
Số ngày	5	10	9	4	2

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$\overline{x}=\frac{5\cdot 75+10\cdot 125+9\cdot 175+4\cdot 225+2\cdot 275}{30}=155$.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

S² = $\frac{1}{30}$ (5 ∙ 75² + 10 ∙ 125² + 9 ∙ 175² + 4 ∙ 225² + 2 ∙ 275²) – 155² = 3 100.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$S=\sqrt{S^2}=\sqrt{3100}=10\sqrt{31}\approx 55,68$.

Bài 5 trang 85 Toán 12 Tập 1: Kết quả khảo sát năng suất (đơn vị: tấn/ha) của một số thửa ruộng được minh họa ở biểu đồ sau:

a) Có bao nhiêu thửa ruộng đã được khảo sát?

b) Lập bảng tần số ghép nhóm và tần số tương đối ghép nhóm tương ứng của mẫu số liệu trên.

c) Hãy xác định khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên.

Lời giải:

a) Số thửa ruộng được khảo sát là: n = 3 + 4 + 6 + 5 + 5 + 2 = 25.

b) Từ biểu đồ, ta có bảng tần số ghép nhóm của mẫu số liệu như sau:

Năng suất (tấn/ha)	[5,5; 5,7)	[5,7; 5,9)	[5,9; 6,1)	[6,1; 6,3)	[6,3; 6,5)	[6,5; 6,7)
Số thửa ruộng	3	4	6	5	5	2

Bảng tần số tương đối ghép nhóm của mẫu số liệu:

Giá trị đại diện (tấn/ha)	5,6	5,8	6,0	6,2	6,4	6,6
Tần số tương đối	3	4	6	5	5	2

c) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu đã cho là:

R = 6,7 – 5,5 = 1,2 (tấn/ha).

Cỡ mẫu n = 25.

Gọi x₁; x₂; …; x₂₅ là mẫu số liệu gốc về năng suất của một số thửa ruộng được khảo sát được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có x₁; x₂; x₃ ∈ [5,5; 5,7), x₄; …; x₇ ∈ [5,7; 5,9), x₈; …; x₁₃ ∈ [5,9; 6,1),

   x₁₃; …; x₁₈ ∈ [6,1; 6,3), x₁₉; …; x₂₃ ∈ [6,3; 6,5), x₂₄; x₂₅ ∈ [6,5; 6,7).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}$ (x₆ + x₇) ∈ [5,7; 5,9).

Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Q₁ = 5,7 + $\frac{\frac{25}{4}-3}{4}$.(5,9-5,7) = 5,8625.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}$ (x₁₉ + x₂₀) ∈ [6,3; 6,5).

Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Q₃ = 6,3 + $\frac{\frac{3\cdot 25}{4}-\left(3+4+6+5\right)}{5}$.(6,5-6,3) = 6,33.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:

∆_Q = Q₃ – Q₁ = 6,33 – 5,8625 = 0,4675.

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$\overline{x}=\frac{3\cdot 5,6+4\cdot 5,8+6\cdot 6,0+5\cdot 6,2+5\cdot 6,4+2\cdot 6,6}{25}=6,088$.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

S² = $\frac{1}{25}$ [3 ∙ (5,6)² + 4 ∙ (5,8)² + 6 ∙ (6,0)² + 5 ∙ (6,2)² + 5 ∙ (6,4)² + 2 ∙ (6,6)²] – (6,088)²

= 0,086656.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$S=\sqrt{S^2}=\sqrt{0,086656}\approx 0,29$.

Bài 6 trang 86 Toán 12 Tập 1: Thời gian hoàn thành một bài viết chính tả của một số học sinh lớp 4 hai trường X và Y được ghi lại ở bảng sau:

Thời gian (phút)	[6; 7)	[7; 8)	[8; 9)	[9; 10)	[10; 11)
Số học sinh trường X	8	10	13	10	9
Số học sinh trường Y	4	12	17	14	3

a) Nếu so sánh theo số trung bình thì học sinh trường nào viết nhanh hơn?

b) Nếu so sánh theo khoảng tứ phân vị thì học sinh trường nào có tốc độ viết đồng đều hơn?

c) Nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì học sinh trường nào có tốc độ viết đồng đều hơn?

Lời giải:

a) Ta có bảng sau:

Thời gian (phút)	[6; 7)	[7; 8)	[8; 9)	[9; 10)	[10; 11)
Giá trị đại diện	6,5	7,5	8,5	9,5	10,5
Số học sinh trường X	8	10	13	10	9
Số học sinh trường Y	4	12	17	14	3

Cỡ mẫu n_X = 8 + 10 + 13 + 10 + 9 = 50, n_Y = 4 + 12 + 17 + 14 + 3 = 50.

Thời gian trung bình hoàn thành một bài viết chính tả của học sinh trường X là:

${\overline{x}}_X=\frac{8\cdot 6,5+10\cdot 7,5+13\cdot 8,5+10\cdot 9,5+9\cdot 10,5}{50}=8,54$.

Thời gian trung bình hoàn thành một bài viết chính tả của học sinh trường Y là:

${\overline{x}}_Y=\frac{4\cdot 6,5+12\cdot 7,5+17\cdot 8,5+14\cdot 9,5+3\cdot 10,5}{50}=8,5$.

Vì ${\overline{x}}_X=8,54>{\overline{x}}_Y=8,5$ nên nếu so sánh theo số trung bình thì học sinh trường Y viết nhanh hơn.

b)

Xét mẫu số liệu của học sinh trường X:

Gọi x₁; x₂; …; x₅₀ là mẫu số liệu gốc về thời gian hoàn thành một bài viết chính tả của một số học sinh lớp 4 trường X được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có x₁; …; x₈ ∈ [6; 7), x₉; …; x₁₈ ∈ [7; 8), x₁₉; …; x₃₁ ∈ [8; 9),

   x₃₂; …; x₄₁ ∈ [9; 10), x₄₂; …; x₅₀ ∈ [10; 11).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là x₁₃ ∈ [7; 8).

Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm của trường X là:

Q₁ = 7 + $\frac{\frac{50}{4}-8}{10}$.(8-7) = 7,45.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là x₃₈ ∈ [9; 10).

Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm của trường X là:

Q₃ = 9 + $\frac{\frac{3\cdot 50}{4}-\left(8+10+13\right)}{10}$.(10-9) = 9,65.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm của trường X là:

∆_Q = Q₃ – Q₁ = 9,65 – 7,45 = 2,2.

• Xét mẫu số liệu của học sinh trường Y:

Gọi y₁; y₂; …; y₅₀ là mẫu số liệu gốc về thời gian hoàn thành một bài viết chính tả của một số học sinh lớp 4 trường Y được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có y₁; …; y₄ ∈ [6; 7), y₅; …; y₁₆ ∈ [7; 8), y₁₇; …; y₃₃ ∈ [8; 9),

   y₃₄; …; y₄₇ ∈ [9; 10), y₄₈; y₄₉; y₅₀ ∈ [10; 11).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là y₁₃ ∈ [7; 8).

Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm của trường Y là:

${Q^{‘}}_1=7+\frac{\frac{50}{4}-4}{12}\cdot \left(8-7\right)=\frac{185}{24}$.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là y₃₈ ∈ [9; 10).

Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm của trường Y là:

${Q^{‘}}_3=9+\frac{\frac{3\cdot 50}{4}-\left(4+12+17\right)}{14}\cdot \left(10-9\right)=\frac{261}{28}$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm của trường Y là:

∆’_Q = Q’₃ – Q’₁ = $\frac{261}{28}-\frac{185}{24}=\frac{271}{168}\approx 1,61$ .

Vì ∆_Q = 2,2 > ∆’_Q ≈ 1,61 nên nếu so sánh theo khoảng tứ phân vị thì học sinh trường Y có tốc độ viết đồng đều hơn.

c)

• Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm của trường X là:

$S_X^2=\frac{1}{50}$[8 ∙ (6,5)² + 10 ∙ (7,5)² + 13 ∙ (8,5)² + 10 ∙ (9,5)² + 9 ∙ (10,5)²] – (8,54)²

= 1,7584.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm của trường X là:

$S_X=\sqrt{S_X^2}=\sqrt{1,7584}\approx 1,33$.

• Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm của trường Y là:

$S_Y^2=\frac{1}{50}$[4 ∙ (6,5)² + 12 ∙ (7,5)² + 17 ∙ (8,5)² + 14 ∙ (9,5)² + 3 ∙ (10,5)²] – (8,5)²

= 1,08.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm của trường Y là:

$S_Y=\sqrt{S_Y^2}=\sqrt{1,08}\approx 1,04$.

Vì S_X ≈ 1,33 > S_Y ≈ 1,04 nên nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì học sinh trường Y có tốc độ viết đồng đều hơn.

Bài 7 trang 86 Toán 12 Tập 1: Bảng sau thống kê lại tổng số giờ nắng trong tháng 6 của các năm từ 2002 đến 2021 tại hai trạm quan trắc đặt ở Nha Trang và Quy Nhơn.

(Nguồn: Tổng cục Thống kê)

a) Nếu so sánh theo khoảng tứ phân vị thì số giờ nắng trong tháng 6 của địa phương nào đồng đều hơn?

b) Nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì số giờ nắng trong tháng 6 của địa phương nào đồng đều hơn?

Lời giải:

a) Cỡ mẫu n = 20.

• Xét mẫu số liệu của trạm quan trắc ở Nha Trang:

Gọi x₁; x₂; …; x₂₀ là mẫu số liệu gốc về tổng số giờ nắng trong tháng 6 của các năm 2022 đến 2021 tại trạm quan trắc đặt ở Nha Trang được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có x₁ ∈ [130; 160), x₂ ∈ [160; 190), x₃ ∈ [190; 220),

   x₄; …; x₁₁ ∈ [220; 250), x₁₂; …; x₁₈ ∈ [250; 280), x₁₉; x₂₀ ∈ [280; 310).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}$ (x₅ + x₆) ∈ [220; 250).

Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Q₁ = 220 + $\frac{\frac{20}{4}-\left(1+1+1\right)}{8}$.(250-220) = 227,5.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}$ (x₁₅ + x₁₆) ∈ [250; 280).

Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Q₃ = 250 + $\frac{\frac{3\cdot 20}{4}-\left(1+1+1+8\right)}{7}$.(280-250) = $\frac{1870}{7}$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:

∆_Q = Q₃ – Q₁ = $\frac{1870}{7}$ – 227,5 ≈ 39,64.

Xét mẫu số liệu của trạm quan trắc ở Quy Nhơn:

Gọi y₁; y₂; …; y₂₀ là mẫu số liệu gốc về tổng số giờ nắng trong tháng 6 của các năm 2022 đến 2021 tại trạm quan trắc đặt ở Quy Nhơn được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có y₁ ∈ [160; 190), y₂; y₃ ∈ [190; 220), y₄; …; y₇ ∈ [220; 250),

   y₈; …; y₁₇ ∈ [250; 280), y₁₈; y₁₉; y₂₀ ∈ [280; 310).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}$ (y₅ + y₆) ∈ [220; 250).

Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${Q^{‘}}_1=220+\frac{\frac{20}{4}-\left(1+2\right)}{4}\cdot \left(250-220\right)=235$

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}$(y₁₅ + y₁₆) ∈ [250; 280).

Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${Q^{‘}}_3=250+\frac{\frac{3\cdot 20}{4}-\left(1+2+4\right)}{10}\cdot \left(280-250\right)=274$

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:

∆’_Q = Q’₃ – Q’₁ = 274 – 235 = 39.

Vì ∆_Q ≈ 39,64 > ∆’_Q = 39 nên nếu so sánh theo khoảng tứ phân vị thì số giờ nắng trong tháng 6 của Quy Nhơn đồng đều hơn.

b) Ta có bảng sau:

Số giờ nắng	[130; 160)	[160; 190)	[190; 220)	[220; 250)	[250; 280)	[280; 310)
Giá trị đại diện	145	175	205	235	265	295
Số năm ở Nha Trang	1	1	1	8	7	2
Số năm ở Quy Nhơn	0	1	2	4	10	3

• Xét mẫu số liệu của trạm quan trắc ở Nha Trang:

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${\overline{x}}_N=\frac{1\cdot 145+1\cdot 175+1\cdot 205+8\cdot 235+7\cdot 265+2\cdot 295}{20}=242,5$.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$S_N^2=\frac{1}{20}$(1 ∙ 145² + 1 ∙ 175² + 1 ∙ 205² + 8 ∙ 235² + 7 ∙ 265² + 2 ∙ 295²) – (242,5)²

= 1248,75.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$S_N=\sqrt{S_N^2}=\sqrt{1248,75}\approx 35,34$.

• Xét mẫu số liệu của trạm quan trắc ở Quy Nhơn:

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${\overline{x}}_Q=\frac{1\cdot 175+2\cdot 205+4\cdot 235+10\cdot 265+3\cdot 295}{20}=253$.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$S_Q^2=\frac{1}{20}$(1 ∙ 175² + 2 ∙ 205² + 4 ∙ 235² + 10 ∙ 265² + 3 ∙ 295²) – 253² = 936.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$S_Q=\sqrt{S_Q^2}=\sqrt{936}\approx 30,59$.

Vì S_N ≈ 35,54 > S_N ≈ 30,59 nên nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì số giờ nắng trong tháng 6 của Quy Nhơn đồng đều hơn.

Bài 8 trang 86 Toán 12 Tập 1: Biểu đồ sau mô tả kết quả điều tra về điểm trung bình năm học của học sinh hai trường A và B.

a) Hãy xác định giá trị đại điện cho mỗi nhóm và lập bảng tần số ghép nhóm cho mẫu số liệu trên.

b) Nếu so sánh theo khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm thì học sinh trường nào có điểm trung bình đồng đều hơn?

c) Nếu so sánh theo độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm thì học sinh trường nào có điểm trung bình đồng đều hơn?

Lời giải:

a) Giá trị đại diện của nhóm [5; 6) là 5,5.

Giá trị đại diện của nhóm [6; 7) là 6,5.

Giá trị đại diện của nhóm [7; 8) là 7,5.

Giá trị đại diện của nhóm [8; 9) là 8,5.

Giá trị đại diện của nhóm [9; 10) là 9,5.

Từ biểu đồ, ta có bảng tần số ghép nhóm sau:

Điểm trung bình	[5; 6)	[6; 7)	[7; 8)	[8; 9)	[9; 10)
Giá trị đại diện	5,5	6,5	7,5	8,5	9,5
Số học sinh trường A	4	5	3	4	2
Số học sinh trường B	2	5	4	3	1

b)

• Xét mẫu số liệu của trường A:

Cỡ mẫu n_A = 4 + 5 + 3 + 4 + 2 = 18.

Gọi x₁; x₂; …; x₁₈ là mẫu số liệu gốc về điểm trung bình năm học của học sinh trường A được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có x₁; …; x₄ ∈ [5; 6), x₅; …; x₉ ∈ [6; 7), x₁₀; x₁₁; x₁₂ ∈ [7; 8),

   x₁₃; …; x₁₆ ∈ [8; 9), x₁₇; x₁₈ ∈ [9; 10).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là x₅ ∈ [6; 7).

Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Q₁ = 6 +$\frac{\frac{18}{4}-4}{5}$.(7-6) = 6,1.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là x₁₄ ∈ [8; 9).

Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Q₃ = 8 + $\frac{\frac{3\cdot 18}{4}-\left(4+5+3\right)}{4}$.(9-8) = 8,375.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:

∆_Q = Q₃ – Q₁ = 8,375 – 6,1 = 2,275.

• Xét mẫu số liệu của trường B:

Cỡ mẫu n_B = 2 + 5 + 4 + 3 + 1 = 15.

Gọi x₁; x₂; …; x₁₅ là mẫu số liệu gốc về điểm trung bình năm học của học sinh trường B được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có x₁; x₂ ∈ [5; 6), x₃; …; x₇ ∈ [6; 7), x₈; …; x₁₁ ∈ [7; 8),

   x₁₂; x₁₃; x₁₄ ∈ [8; 9), x₁₅ ∈ [9; 10).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là x₄ ∈ [6; 7).

Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${Q^{‘}}_1=6+\frac{\frac{15}{4}-2}{5}\cdot \left(7-6\right)=6,35$.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là x₁₂ ∈ [8; 9).

Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${Q^{‘}}_3=8+\frac{\frac{3\cdot 15}{4}-\left(2+5+4\right)}{3}\cdot \left(9-8\right)=\frac{97}{12}$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:

∆’_Q = Q’₃ – Q’₁ = $\frac{97}{12}$ – 6,35 = $\frac{26}{15}\approx$1,73 .

Vì ∆_Q = 2,275 > ∆’_Q ≈ 1,73 nên nếu so sánh theo khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm thì học sinh trường B có điểm trung bình đồng đều hơn.

c)

• Xét mẫu số liệu của trường A:

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${\overline{x}}_A=\frac{4\cdot 5,5+5\cdot 6,5+3\cdot 7,5+4\cdot 8,5+2\cdot 9,5}{18}=\frac{65}{9}$.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$S_A^2=\frac{1}{18}$[4 ∙ (5,5)² + 5 ∙ (6,5)² + 3 ∙ (7,5)² + 4 ∙ (8,5)² + 2 ∙ (9,5)²] – ${\left(\frac{65}{9}\right)}^2$

= $\frac{569}{324}$ .

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$S_A=\sqrt{S_A^2}=\sqrt{\frac{569}{324}}\approx 1,33$.

• Xét mẫu số liệu của trường B:

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${\overline{x}}_B=\frac{2\cdot 5,5+5\cdot 6,5+4\cdot 7,5+3\cdot 8,5+1\cdot 9,5}{15}=\frac{217}{30}$.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$S_B^2=\frac{1}{15}$[2 ∙ (5,5)² + 5 ∙ (6,5)² + 4 ∙ (7,5)² + 3 ∙ (8,5)² + 1 ∙ (9,5)²] – ${\left(\frac{217}{30}\right)}^2$

= $\frac{284}{225}$ .

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$S_B=\sqrt{S_B^2}=\sqrt{\frac{284}{225}}\approx 1,12$.

Vì S_A ≈ 1,33 > S_B ≈ 1,12 nên nếu so sánh theo độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm thì học sinh trường B có điểm trung bình đồng đều hơn.

Xem thêm các bài giải bài tập Toán lớp 12 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 2. Phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm

Bài tập cuối chương III

Bài 1. Vẽ đồ thị hàm số bằng phần mềm Geogebra

Bài 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng máy tính cầm tay

Bài 1. Nguyên hàm

Bài 2. Tích phân