Trong không gian với hệ tọa độ  Oxyz, cho mặt phẳng (P):2x−y−2z+1=0 và ba điểmA(1;−2;0), B(1;0;−1) và C(0;0;−2). Hỏi có tất cả bao nhiêu mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng (P) và tiếp xúc với ba đường thẳng AB,AC,BC?

Câu hỏi:

Trong không gian với hệ tọa độ  Oxyz, cho mặt phẳng (P):2x−y−2z+1=0 và ba điểmA(1;−2;0), B(1;0;−1) và C(0;0;−2). Hỏi có tất cả bao nhiêu mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng (P) và tiếp xúc với ba đường thẳng AB,AC,BC?

A.4 mặt cầu

Đáp án chính xác

B.2 mặt cầu.

C.1 mặt cầu.

D.Vô số mặt cầu

Trả lời:

Ta có:
 $\begin{array}{l}\overrightarrow{AB}=\left(0;2;-1\right)\\ \overrightarrow{AC}=\left(-1;2;-2\right)\\ \left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]=\left(-2;1;2\right)\end{array}$

Mặt phẳng (ABC) có vecto pháp tuyến là $\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]=\left(-2;1;2\right)$
Suy ra $\left(P\right)//\left(ABC\right)$
Trên mặt phẳng (ABC) có 4 điểm M,N,P,Q cách đều AB,BC,AC là tâm đường tròn nội tiếp, 3 tâm đường tròn bàng tiếp các góc A,B,C do đó có 4 điểm M′,N′,P′,Q′  trên mặt phẳng (P) là hình chiếu vuông góc của M,N,P,Q trên (P) thỏa mãn tính chất cách đều AB,BC,AC.
Tương ứng có 4 mặt cầu tâm M′,N′,P′,Q′ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án cần chọn là: A

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):x2+(y+1)2+z2=R2. Điều kiện của bán kính R để trục Ox tiếp xúc với (S) là: 
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $\left(S\right):x^2+{(y+1)}^2+z^2=R^2$. Điều kiện của bán kính R để trục Ox tiếp xúc với (S) là: 

   A.R=4

   B.R=2

   C. $R=\pm 1$

   D.R=1

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Tọa độ giao điểm của (S) và Ox là nghiệm của hệ $\left\{\begin{array}{c}{x}^2+{(y+1)}^2+z^2=R^2\\ x=t\\ y=0\\ z=0\end{array}\right.$
   (S) tiếp xúc với Ox khi và chỉ khi  (*) có nghiệm kép $\iff t^2+1=R^2$ có nghiệm kép $\iff R^2-1=0\iff R=1$
   Đáp án cần chọn là: D

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình  mặt cầu (S) có tâm I(2;0;1)  và tiếp xúc với đường thẳng d:x−11=y2=z−21 là:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình  mặt cầu (S) có tâm I(2;0;1)  và tiếp xúc với đường thẳng $d:\frac{x-1}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z-2}{1}$ là:

   A. ${(x-2)}^2+y^2+{(z-1)}^2=2$

   Đáp án chính xác

   B. ${(x-2)}^2+y^2+{(z-1)}^2=9$

   C. ${(x-2)}^2+y^2+{(z-1)}^2=4$

   D. ${(x-1)}^2+{(y-2)}^2+{(z-1)}^2=24$

   Trả lời:

   Phương trình mặt cầu (S) có dạng ${(x-2)}^2+y^2+{(z-1)}^2=R^2$
   Phương trình tham số của d là: $d:\left\{\begin{array}{c}x=1+t\\ y=2t\\ z=2+t\end{array}\right.$
   Tọa độ giao điểm của (S) và d là nghiệm của hệ
   $\left\{\begin{array}{c}{(x-2)}^2+y^2+{(z-1)}^2=R^2\\ x=1+t\\ y=2t\\ z=2+t\end{array}\right.\left(*\right)$
   (S) tiếp xúc với d khi và chỉ khi  (∗) có nghiệm kép
   $\iff {(t-1)}^2+{\left(2t\right)}^2+{(1+t)}^2=R^2$ có nghiệm kép
   $\iff 6t^2+2=R^2$ có nghiệm kép $\iff R^2=2$
   Đáp án cần chọn là: A

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Trong không gian với hệ tọa độ  Oxyz, cho mặt cầu S:x−12+y+22+z−32=9 và đường thẳng d:x−1=y−22=z−43.  (d) cắt  (S) tại hai điểm phân biệt A và B. Khi đó AB bằng: 
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong không gian với hệ tọa độ  Oxyz, cho mặt cầu $\left(S\right):{\left(x-1\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2+{\left(z-3\right)}^2=9$và đường thẳng $d:x-1=\frac{y-2}{2}=\frac{z-4}{3}$.  (d) cắt  (S) tại hai điểm phân biệt A và B. Khi đó AB bằng: 

   A. $AB=\frac{\sqrt{126}}{7}$

   Đáp án chính xác

   b. $AB=\frac{\sqrt{123}}{7}$

   c. $AB=\sqrt{\frac{126}{7}}$

   d. $AB=\frac{\sqrt{129}}{7}$

   Trả lời:

   Tham số hóa phương trình đường thẳng d ta được:$d:\left\{\begin{array}{c}x=t+1\\ y=2+2t\\ z=4+3t\end{array}\right.$
   Giả sử A là giao điểm của (d) và (P).
   Vì  $A\in d:\left\{\begin{array}{c}x=t+1\\ y=2+2t\\ z=4+3t\end{array}\right.$ nên ta có: $A\left(t+1;2+2t;4+3t\right)$
   Mặt khác $A\in \left(S\right)$ nên ta có
   ${(t+1-1)}^2+{(2+2t+2)}^2+{(4+3t-3)}^2=9$
   $\iff t^2+{(4+2t)}^2+{(1+3t)}^2=9$
   $\iff 14t^2+22t+8=0$
   $\iff \left[\begin{array}{c}t=-1\\ t=-\frac{4}{7}\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{c}A(0;0;1)\\ B\left(\frac{3}{7};\frac{6}{7};\frac{16}{7}\right)\end{array}\right.\Rightarrow AB=\sqrt{{\left(\frac{3}{7}\right)}^2+{\left(\frac{6}{7}\right)}^2+{\left(\frac{16}{7}\right)}^2}=\frac{\sqrt{126}}{7}$
   Đáp án cần chọn là: A

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt cầu (S) có tâm I(3;−2;0)  và cắt trục Oy tại hai điểm A,B mà AB=8 là
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt cầu (S) có tâm I(3;−2;0)  và cắt trục Oy tại hai điểm A,B mà AB=8 là

   A. ${(x-3)}^2+{(y+2)}^2+z^2=9$

   B. ${(x+3)}^2+{(y-2)}^2+z^2=25$

   C. ${(x-3)}^2+{(y+2)}^2+z^2=64$

   D. ${(x-3)}^2+{(y+2)}^2+z^2=25$

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên $Oy\Rightarrow H(0;-2;0)$
   $\Rightarrow \overrightarrow{IH}=\left(-3;0;0\right)\Rightarrow IH=3$
   Mặt khác ta có: $AH=\frac{AB}{2}=4$
   Suy ra $R^2=A{H}^2+H{I}^2=4^2+3^2=25$
   (S) có tâm I(3;−2;0) và bán kính R với $R^2=25$
    Suy ra: $\left(S\right):{(x-3)}^2+{(y+2)}^2+z^2=25$
   Đáp án cần chọn là: D

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):x2+y2+z2−2x−4y+4z−16=0 và đường thẳng d:x−11=y+32=z2. Mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau chứa d và tiếp xúc với mặt cầu (S).
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $\left(S\right):x^2+y^2+z^2-2x-4y+4z-16=0$ và đường thẳng $d:\frac{x-1}{1}=\frac{y+3}{2}=\frac{z}{2}$. Mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau chứa d và tiếp xúc với mặt cầu (S).

   A. $\left(P\right):2x-2y+z-8=0$

   B. $\left(P\right):2x-2y+z-8=0$

   C. $\left(P\right):2x-11y+10z-35=0$

   Đáp án chính xác

   D. $\left(P\right):-2x+2y-z+11=0$

   Trả lời:

   Ta xét mặt cầu $\left(S\right):{(x-1)}^2+{(y-2)}^2+{(z+2)}^2=25$
   $\Rightarrow I(1;2;-2);R=5$
   Điểm A(1;−3;0) thuộc d nên $A\in \left(P\right)$ và $d(I;(P\left)\right)=5$ nên thử các đáp án ta thấy C đúng.
   Đáp án cần chọn là: C

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====