Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (α):x−my+z+6m+3=0 và (β):mx+y−mz+3m−8=0 ; hai mặt phẳng này cắt nhau theo giao tuyến là đường thẳng Δ. Gọi Δ'  là hình chiếu của Δ lên mặt phẳng Oxy. Biết rằng khi mm thay đổi thì đường thẳng Δ'  luôn tiếp xúc với một mặt cầu cố định có tâm I(a;b;c) thuộc mặt phẳng Oxy. Tính giá trị biểu thức P=10a2−b2+3c2.

Câu hỏi:

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng $\left(\alpha \right):x-my+z+6m+3=0$ và $\left(\beta \right):mx+y-mz+3m-8=0$ ; hai mặt phẳng này cắt nhau theo giao tuyến là đường thẳng $\Delta$. Gọi $\Delta ‘$ là hình chiếu của $\Delta$ lên mặt phẳng Oxy. Biết rằng khi mm thay đổi thì đường thẳng $\Delta ‘$ luôn tiếp xúc với một mặt cầu cố định có tâm I(a;b;c) thuộc mặt phẳng Oxy. Tính giá trị biểu thức $P=10a^2-b^2+3c^2$.

A. $P=56$

B. $P=9$

C. $P=41$

Đáp án chính xác

D. $P=73$

Trả lời:

Bước 1: Biểu diễn M và vectơ chỉ phương của $\text{Δ}$  theo m.
Mặt phẳng $\left(\alpha \right):x-my+z+6m-3z=0$ có một vectơ pháp tuyến là 
 $\overrightarrow{n_1}=(1;-m;1)$ và mặt phẳng $\left(\beta \right):mx+y-mz+3m-8=\left(\alpha \right)\cap \left(\beta \right)$
$\overrightarrow{n_1}=(1;-m;1)$ và mặt phẳng $\left(\beta \right):mx+y-mz$ có một vectơ pháp tuyến là
$\overrightarrow{n_2}=(m;1;-m).$ Ta có $M\left(-3m+\frac{4}{m}-3;0;-3m-\frac{4}{m}\right)\in \text{Δ}=\left(\alpha \right)\cap \left(\beta \right)$
Do đó $\text{Δ}$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left[\overrightarrow{n_1};\overrightarrow{n_2}\right]=\left(m^2-1;2m;m^2+1\right)$
Bước 2: Gọi (P) là mặt phẳng chứa đường thẳng $\text{Δ}$ và vuông góc với mặt phẳng (Oxy). Tìm c.
Gọi (P) là mặt phẳng chứa đường thẳng $\text{Δ}$ và vuông góc với mặt phẳng (Oxy). Khi đó (P) có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=[\overrightarrow{u};\overrightarrow{k}]=\left(2m;1-m^2;0\right)$
Phương trình mặt phẳng (P) là $2mx+\left(1-m^2\right)y+6m^2+6m-8=0$
Vì $I(a;b;c)\in \left(Oxy\right)$ nên I(a;b;0).
Bước 3: Theo giả thiết ta suy ra (P) là tiếp diện của mặt cầu $\left(S\right)\Rightarrow d(I;(P\left)\right)=R$
Tìm a và b
Theo giả thiết ta suy ra (P) là tiếp diện của mặt cầu $\left(S\right)\Rightarrow d(I;(P\left)\right)=R$
$\iff \frac{\left|2ma+\left(1-m^2\right)b+6m^2+6m-8\right|}{\sqrt{4m^2+{\left(1-m^2\right)}^2}}=R>0$
$\iff \frac{\left|2m(a+3)+(6-b)m^2+b-8\right|}{m^2+1}=R>0$
$\iff \left[\begin{array}{c}2m(a+3)+(6-b)m^2+b-8=R(m^2+1)\\ 2m(a+3)+(6-b)m^2+b-8=-R(m^2+1)\end{array}\right.$
$\iff \left[\begin{array}{c}\left\{\begin{array}{c}2(a+3)=0\\ 6-b=R\\ b-8=R\\ R>0\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{c}2(a+3)=0\\ 6-b=-R\\ b-8=-R\\ R>0\end{array}\right.\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{c}\left\{\begin{array}{c}a=-3=0\\ 6-b=b-8\\ -R=6-b<0\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{c}a=-3\\ 6-b=b-8\\ R=6-b>0\end{array}\right.\end{array}\right.$
$\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}a=-3\\ b=7\end{array}\right.$

Vậy I(−3;7;0), do đó $P=10a^2-b^2+3c^2=41$
Chọn đáp án C

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):x2+(y+1)2+z2=R2. Điều kiện của bán kính R để trục Ox tiếp xúc với (S) là: 
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $\left(S\right):x^2+{(y+1)}^2+z^2=R^2$. Điều kiện của bán kính R để trục Ox tiếp xúc với (S) là: 

   A.R=4

   B.R=2

   C. $R=\pm 1$

   D.R=1

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Tọa độ giao điểm của (S) và Ox là nghiệm của hệ $\left\{\begin{array}{c}{x}^2+{(y+1)}^2+z^2=R^2\\ x=t\\ y=0\\ z=0\end{array}\right.$
   (S) tiếp xúc với Ox khi và chỉ khi  (*) có nghiệm kép $\iff t^2+1=R^2$ có nghiệm kép $\iff R^2-1=0\iff R=1$
   Đáp án cần chọn là: D

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình  mặt cầu (S) có tâm I(2;0;1)  và tiếp xúc với đường thẳng d:x−11=y2=z−21 là:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình  mặt cầu (S) có tâm I(2;0;1)  và tiếp xúc với đường thẳng $d:\frac{x-1}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z-2}{1}$ là:

   A. ${(x-2)}^2+y^2+{(z-1)}^2=2$

   Đáp án chính xác

   B. ${(x-2)}^2+y^2+{(z-1)}^2=9$

   C. ${(x-2)}^2+y^2+{(z-1)}^2=4$

   D. ${(x-1)}^2+{(y-2)}^2+{(z-1)}^2=24$

   Trả lời:

   Phương trình mặt cầu (S) có dạng ${(x-2)}^2+y^2+{(z-1)}^2=R^2$
   Phương trình tham số của d là: $d:\left\{\begin{array}{c}x=1+t\\ y=2t\\ z=2+t\end{array}\right.$
   Tọa độ giao điểm của (S) và d là nghiệm của hệ
   $\left\{\begin{array}{c}{(x-2)}^2+y^2+{(z-1)}^2=R^2\\ x=1+t\\ y=2t\\ z=2+t\end{array}\right.\left(*\right)$
   (S) tiếp xúc với d khi và chỉ khi  (∗) có nghiệm kép
   $\iff {(t-1)}^2+{\left(2t\right)}^2+{(1+t)}^2=R^2$ có nghiệm kép
   $\iff 6t^2+2=R^2$ có nghiệm kép $\iff R^2=2$
   Đáp án cần chọn là: A

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Trong không gian với hệ tọa độ  Oxyz, cho mặt cầu S:x−12+y+22+z−32=9 và đường thẳng d:x−1=y−22=z−43.  (d) cắt  (S) tại hai điểm phân biệt A và B. Khi đó AB bằng: 
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong không gian với hệ tọa độ  Oxyz, cho mặt cầu $\left(S\right):{\left(x-1\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2+{\left(z-3\right)}^2=9$và đường thẳng $d:x-1=\frac{y-2}{2}=\frac{z-4}{3}$.  (d) cắt  (S) tại hai điểm phân biệt A và B. Khi đó AB bằng: 

   A. $AB=\frac{\sqrt{126}}{7}$

   Đáp án chính xác

   b. $AB=\frac{\sqrt{123}}{7}$

   c. $AB=\sqrt{\frac{126}{7}}$

   d. $AB=\frac{\sqrt{129}}{7}$

   Trả lời:

   Tham số hóa phương trình đường thẳng d ta được:$d:\left\{\begin{array}{c}x=t+1\\ y=2+2t\\ z=4+3t\end{array}\right.$
   Giả sử A là giao điểm của (d) và (P).
   Vì  $A\in d:\left\{\begin{array}{c}x=t+1\\ y=2+2t\\ z=4+3t\end{array}\right.$ nên ta có: $A\left(t+1;2+2t;4+3t\right)$
   Mặt khác $A\in \left(S\right)$ nên ta có
   ${(t+1-1)}^2+{(2+2t+2)}^2+{(4+3t-3)}^2=9$
   $\iff t^2+{(4+2t)}^2+{(1+3t)}^2=9$
   $\iff 14t^2+22t+8=0$
   $\iff \left[\begin{array}{c}t=-1\\ t=-\frac{4}{7}\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{c}A(0;0;1)\\ B\left(\frac{3}{7};\frac{6}{7};\frac{16}{7}\right)\end{array}\right.\Rightarrow AB=\sqrt{{\left(\frac{3}{7}\right)}^2+{\left(\frac{6}{7}\right)}^2+{\left(\frac{16}{7}\right)}^2}=\frac{\sqrt{126}}{7}$
   Đáp án cần chọn là: A

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt cầu (S) có tâm I(3;−2;0)  và cắt trục Oy tại hai điểm A,B mà AB=8 là
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt cầu (S) có tâm I(3;−2;0)  và cắt trục Oy tại hai điểm A,B mà AB=8 là

   A. ${(x-3)}^2+{(y+2)}^2+z^2=9$

   B. ${(x+3)}^2+{(y-2)}^2+z^2=25$

   C. ${(x-3)}^2+{(y+2)}^2+z^2=64$

   D. ${(x-3)}^2+{(y+2)}^2+z^2=25$

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên $Oy\Rightarrow H(0;-2;0)$
   $\Rightarrow \overrightarrow{IH}=\left(-3;0;0\right)\Rightarrow IH=3$
   Mặt khác ta có: $AH=\frac{AB}{2}=4$
   Suy ra $R^2=A{H}^2+H{I}^2=4^2+3^2=25$
   (S) có tâm I(3;−2;0) và bán kính R với $R^2=25$
    Suy ra: $\left(S\right):{(x-3)}^2+{(y+2)}^2+z^2=25$
   Đáp án cần chọn là: D

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):x2+y2+z2−2x−4y+4z−16=0 và đường thẳng d:x−11=y+32=z2. Mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau chứa d và tiếp xúc với mặt cầu (S).
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $\left(S\right):x^2+y^2+z^2-2x-4y+4z-16=0$ và đường thẳng $d:\frac{x-1}{1}=\frac{y+3}{2}=\frac{z}{2}$. Mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau chứa d và tiếp xúc với mặt cầu (S).

   A. $\left(P\right):2x-2y+z-8=0$

   B. $\left(P\right):2x-2y+z-8=0$

   C. $\left(P\right):2x-11y+10z-35=0$

   Đáp án chính xác

   D. $\left(P\right):-2x+2y-z+11=0$

   Trả lời:

   Ta xét mặt cầu $\left(S\right):{(x-1)}^2+{(y-2)}^2+{(z+2)}^2=25$
   $\Rightarrow I(1;2;-2);R=5$
   Điểm A(1;−3;0) thuộc d nên $A\in \left(P\right)$ và $d(I;(P\left)\right)=5$ nên thử các đáp án ta thấy C đúng.
   Đáp án cần chọn là: C

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====