Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào là dãy số tăng?

Câu hỏi:

Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào là dãy số tăng?

A. Dãy (a_n), với $a_n={\left(-1\right)}^{n+1}.\sin \frac{\pi }{n},\forall n\in N*$

B. Dãy (b_n), với $b_n={\left(-1\right)}^{2n}.\left(5^n+1\right),\forall n\in N*$

Đáp án chính xác

C. Dãy (c_n), với $c_n=\frac{1}{n+\sqrt{n+1}},\forall n\in N*$

D. Dãy (d_n), với $d_n=\frac{n}{n^2+1},\forall n\in N*$

Trả lời:

Trả lời:
Ta thấy dãy số (a_n) dãy đan dấu nên không tăng cũng không giảm.
Với dãy (b_n), ta có:
$b_n=5^n+\mathrm{1,}\forall n\in N*,do{\left(-1\right)}^{2n}=1$
 
Vì $b_{n+1}=5^{n+1}+1={5.5}^n+1>b_n\Rightarrow \left(b_n\right)$ là dãy số tăng.
Với dãy số (c_n) ta có:
$c_{n+1}=\frac{1}{n+1+\sqrt{n+2}}<\frac{1}{n+\sqrt{n+2}}=c_n$
 
$\Rightarrow \left(c_n\right)$là dãy số giảm.
Với dãy số (d_n) ta có:\
$d_{n+1}=\frac{n+1}{{\left(n+1\right)}^2+1}=\frac{n+1}{n^2-2n+2}$
Xét hiệu:
$d_{n+1}-d_n=\frac{n+1}{n^2+2n+2}-\frac{n}{n^2+1}$
$d_{n+1}-d_n=\frac{n^3+n^2+n+1-n^3-2n^2-2n}{\left(n^2+2n+2\right)\left(n^2+1\right)}$
$d_{n+1}-d_n=\frac{-n^2-n+1}{\left(n^2+2n+2\right)\left(n^2+1\right)}<\mathrm{0,}\forall n\in N*$
 
Vậy (d_n) là dãy giảm.
Đáp án cần chọn là: B

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Trong phương pháp quy nạp toán học, ở bước 2, nếu ta giả sử mệnh đề đúng với n = k + 1 thì ta cần chứng minh mệnh đề đúng với:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong phương pháp quy nạp toán học, ở bước 2, nếu ta giả sử mệnh đề đúng với n = k + 1 thì ta cần chứng minh mệnh đề đúng với:

   A. n = k

   B. n = k + 1   

   C. n = k + 2

   Đáp án chính xác

   D. n = k + 3

   Trả lời:

   Phương pháp quy nạo toán học:
   – Bước 1: Chứng minh P(n) đúng với n = 1.
   – Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý, giả sử P(n) đúng với n = k, chứng minh P(n) cũng đúng khi n = k + 1.
   Do đó ta thấy, ở bước 2, nếu ta giả sử mệnh đề đúng với n = k + 1 thì ta cần chứng minh mệnh đề đúng với 
   n = k + 2.
   Đáp án cần chọn là: C

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho dãy số (un), biết un=n+12n+1. Số 815 là số hạng thứ mấy của dãy số?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho dãy số (u_n), biết $u_n=\frac{n+1}{2n+1}$. Số $\frac{8}{15}$ là số hạng thứ mấy của dãy số?

   A. 8.

   B. 6.

   C. 5. 

   D. 7.

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   $u_n=\frac{n+1}{2n+1}=\frac{8}{15}\iff 15n + 15 = 16n + 8 \iff n = 7.$

   Đáp án cần chọn là: D

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Giả sử Q là tập con của tập hợp các số nguyên dương sao cho a) k ∈ Q b) n∈Q ⇒ n + 1∈ Q ∀n ≥ k.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Giả sử Q là tập con của tập hợp các số nguyên dương sao cho
   a) k ∈ Q
   b) n∈Q ⇒ n + 1∈ Q ∀n ≥ k.

   A. Mọi số nguyên dương đều thuộc Q.

   B. Mọi số nguyên dương lớn hơn hoặc bằng k đều thuộc Q

   Đáp án chính xác

   C. Mọi số nguyên bé hơn k đều thuộc Q

   D. Mọi số nguyên đều thuộc Q.

   Trả lời:

   Đáp án A: sai vì Q⊂N∗ chứ không phải N∗⊂Q, nên mọi số nguyên dương không thể thuộc Q hết được.
   Đáp án B: đúng vì theo lý thuyết của phương pháp quy nạp toán học.

   Đáp án C: sai vì theo giả thiết b) thì phải là số tự nhiên lớn hơn kk thuộc Q.
   Đáp án D: sai vì số nguyên âm không thuộc Q.
   Đáp án cần chọn là: B

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho dãy số (un), biết un=n+12n+1. Số 815 là số hạng thứ mấy của dãy số?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho dãy số (u_n), biết $u_n=\frac{n+1}{2n+1}$. Số $\frac{8}{15}$ là số hạng thứ mấy của dãy số?

   A. 8.

   B. 6.

   C. 5. 

   D. 7.

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Trả lời:
   $u_n=\frac{n+1}{2n+1}=\frac{8}{15}$
   ⇔ 15n + 15 = 16n + 8
   ⇔ n = 7.
   Đáp án cần chọn là: D

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho dãy số (un), biết un = (−1)n.2n. Mệnh đề nào sau đây sai?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho dãy số (u_n), biết u_n = (−1)ⁿ.2n. Mệnh đề nào sau đây sai?

   A. u₁ = −2.

   B. u₂ = 4.

   C. u₃ = −6.

   D. u₄ = −8.

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Trả lời:
   Ta có:
   u₁ = −2.1 = −2;
   u₂ = (−1)².2.2 = 4;
   u₃ = (−1)³2.3 = −6;
   u₄ = (−1)⁴2.4 = 8
   Đáp án cần chọn là: D

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====