Một sợi dây kim loại dài a(cm) . Người ta cắt sợi dây đó thành hai đoạn, trong đó một đoạn có độ dài x(cm) được uốn thành đường tròn và đoạn còn lại được uốn thành hình vuông a>x>0. Tìm x để hình vuông và hình tròn tương ứng có tổng diện tích nhỏ nhất.

Câu hỏi:

Một sợi dây kim loại dài a(cm) . Người ta cắt sợi dây đó thành hai đoạn, trong đó một đoạn có độ dài x(cm) được uốn thành đường tròn và đoạn còn lại được uốn thành hình vuông $\left(a>x>0\right).$Tìm x để hình vuông và hình tròn tương ứng có tổng diện tích nhỏ nhất.

A. $x=\frac{a}{\pi +4}\left(\text{cm}\right)$

B. $x=\frac{2a}{\pi +4}\left(\text{cm}\right)$

C. $x=\frac{\pi a}{\pi +4}\left(\text{cm}\right)$

Đáp án chính xác

D. $x=\frac{4a}{\pi +4}\left(\text{cm}\right)$

Trả lời:

Do x là độ dài của đoạn dây cuộn thành hình tròn $\left(0<x<a\right).$Suy ra chiều dài đoạn còn lại là a − x.
Gọi r là bán kính của đường tròn. Chu vi đường tròn: $2\pi r=x\Rightarrow r=\frac{x}{2\pi }$
Do đó diện tích hình tròn là: $S_1=\pi .r^2=\frac{x^2}{4\pi }$
Chu vi hình vuông là $a-x\Rightarrow$Cạnh hình vuông là $\frac{a-x}{4}$Do đó diện tích hình vuông:
$S_2={\left(\frac{a-x}{4}\right)}^2$
Tổng diện tích hai hình:
$\begin{array}{l}S=\frac{x^2}{4\pi }+{\left(\frac{a-x}{4}\right)}^2\\ =\frac{4x^2+\pi {\left(a-x\right)}^2}{16\pi }\\ =\frac{\left(4+\pi \right).x^2-2a\pi x+\pi a^2}{16\pi }\end{array}$
Xét hàm số  $S\left(x\right)=\frac{\left(4+\pi \right).x^2-2a\pi x+\pi a^2}{16\pi }$ta có:
$S^{‘}\left(x\right)=\frac{2\left(4+\pi \right).x-2a\pi }{16\pi }=\frac{\left(4+\pi \right).x-a\pi }{8\pi }$
Cho $S^{‘}\left(x\right)=0\iff \left(4+\pi \right)x-a\pi =0\iff x=\frac{a\pi }{4+\pi }$Ta có BBT như sau :

Suy ra hàm S chỉ có một cực trị và là cực tiểu tại $x=\frac{a\pi }{4+\pi }$
Do đó S đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=\frac{a\pi }{4+\pi }$
Đáp án cần chọn là: C

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho biết GTLN của hàm số f(x) trên 1;3 là M = −2. Chọn khẳng định đúng:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho biết GTLN của hàm số f(x) trên $\left[1;3\right]$là M = −2. Chọn khẳng định đúng:

   A. $f\left(x\right)⩾-2,\forall x\in \left[1;3\right]$

   B. $f\left(1\right)=f\left(3\right)=-2$

   C. $f\left(x\right)<-2,\forall x\in \left[1;3\right]$

   D. $f\left(x\right)⩽-2,\forall x\in \left[1;3\right]$

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Nếu M = −2 là GTLN của hàm số y = f(x) trên $\left[1;3\right]$ thì $f\left(x\right)⩽-2,\forall x\in \left[1;3\right]$
   Đáp án cần chọn là: D

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho hàm số f(x) xác định trên 0;2 và có GTNN trên đoạn đó bằng 5. Chọn kết luận đúng:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số f(x) xác định trên $\left[0;2\right]$và có GTNN trên đoạn đó bằng 5. Chọn kết luận đúng:

   A. $f\left(0\right)<5$

   B. $f\left(2\right)⩾5$

   Đáp án chính xác

   C. $f\left(1\right)=5$

   D. $f\left(0\right)=5$

   Trả lời:

   GTNN của f(x) trên $\left[0;2\right]$bằng 5 nên $f\left(x\right)⩾5,\forall x\in \left[0;2\right]\Rightarrow f\left(2\right)⩾5$.
   Đáp án cần chọn là: B

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y=2x+cosx trên đoạn 0;1 là :
   
   

   Câu hỏi:
   

   Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=2x+\cos x$ trên đoạn $\left[0;1\right]$là :

   A.−1

   B.1

   Đáp án chính xác

   C.π

   D.0

   Trả lời:

   Ta có$y^{‘}=2-\sin x>0\text{}\forall x\in R\Rightarrow$Hàm số luôn đồng biến trên$\left[0;1\right]$
   $\Rightarrow \underset{\left[0;1\right]}{\min }y=y\left(0\right)=1$
   Đáp án cần chọn là: B

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y=sinx  trên đoạn [−π2;−π3] lần lượt là
   
   

   Câu hỏi:
   

   Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=sinx$ trên đoạn $[-\frac{\pi }{2};-\frac{\pi }{3}]$ lần lượt là

   A. $-\frac{1}{2};-\frac{\sqrt{3}}{2}$

   B. $-\frac{\sqrt{3}}{2};-1$

   Đáp án chính xác

   C. $-\frac{\sqrt{3}}{2};-2$

   D. $-\frac{\sqrt{2}}{2};-\frac{\sqrt{3}}{2}$

   Trả lời:

   Ta có $y^{‘}=\cos x\Rightarrow y^{‘}=0\iff \cos x=0\iff x=\frac{\pi }{2}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$
   Do$x\in \left[-\frac{\pi }{2};-\frac{\pi }{3}\right]$nên$k=-1$hay$x=-\frac{\pi }{2}$
   Suy ra
   $y(-\frac{\pi }{2})=-1;y(-\frac{\pi }{3})=-\frac{\sqrt{3}}{2}$
   $\left\{\begin{array}{c}\underset{\left[-\frac{\pi }{2};-\frac{\pi }{3}\right]}{\max }y=-\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \underset{\left[-\frac{\pi }{2};-\frac{\pi }{3}\right]}{\min }y=-1\end{array}\right.$
   Đáp án cần chọn là: B

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Gọi m là giá trị nhỏ nhất của hàm số y=x−1+4x−1 trên khoảng 1;+∞. Tìm m?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Gọi m là giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=x-1+\frac{4}{x-1}$ trên khoảng $\left(1;+\infty \right)$. Tìm m?

   A. $m=2$

   B. $m=5$

   C. $m=3$

   D. $m=4$

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   $x>1\iff x-1>0$
   $\Rightarrow y=x-1+\frac{4}{x-1}\ge 2\sqrt{\left(x-1\right).\frac{4}{x-1}}=2.2=4$
   Dấu bằng xảy ra $\iff x-1=\frac{4}{x-1}\iff {\left(x-1\right)}^2=4\iff x=3$
   Vậy GTNN của hàm số là m = 4 khi x = 3.
   Đáp án cần chọn là: D

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====