Cho tứ diện ABCD có G là điểm thỏa mãn GA→+GB→+GC→+GD→=0→. Mặt phẳng thay đổi chứa BG và cắt AC,AD lần lượt tại M và N. Giá trị nhỏ nhất của tỉ số VABMNVABCD là

Câu hỏi:

Cho tứ diện ABCD có G là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0}$. Mặt phẳng thay đổi chứa BG và cắt AC,AD lần lượt tại M và N. Giá trị nhỏ nhất của tỉ số $\frac{V_{ABMN}}{V_{ABCD}}$ là

A. $\frac{3}{8}$

B. $\frac{4}{9}$

Đáp án chính xác

C. $\frac{1}{2}$

D. $\frac{5}{9}$

Trả lời:

Gọi O là trọng tâm tam giác BCD
$\Rightarrow \overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=3\overrightarrow{GO}$
$\Rightarrow \overrightarrow{GA}+3\overrightarrow{GO}=\overrightarrow{0}$
$\Rightarrow \overrightarrow{GA}=-3\overrightarrow{GO}$
$\Rightarrow \frac{AG}{AO}=\frac{3}{4}$

Trong (ABE) gọi $F=BG\cap AE\left(F\in AE\right)$
Lấy $M\in AC$ trong (ACD) gọi $N=MF\cap AD\left(N\in AD\right)$ khi đó ta có mặt phẳng chứa BG cắt AC,AD lần lượt tại M,N chính là (BMN).
Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác AOE, cát tuyến BGF:
$\frac{GA}{GO}.\frac{BO}{BE}.\frac{FE}{FA}=1\Rightarrow 3.\frac{2}{3}.\frac{FE}{FA}=1\Rightarrow \frac{FE}{FA}=\frac{1}{2}\Rightarrow \frac{AF}{AE}=\frac{2}{3}\Rightarrow F$ là trọng tâm tam giác ACD.
Trong (ACD) kéo dài MN cắt CD tại H. Đặt $\frac{AM}{AC}=x(0<x<1)$
 Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác ACE, cát tuyến MHF:
$\frac{MA}{MC}.\frac{HC}{HE}.\frac{FE}{FA}=1\Rightarrow \frac{x}{1-x}.\frac{HC}{HE}.\frac{1}{2}=1\Rightarrow \frac{HC}{HE}=\frac{2\left(1-x\right)}{x}$
$\Rightarrow HE=\frac{x}{2\left(1-x\right)}HC$
$\Rightarrow HC+CE=\frac{x}{2\left(1-x\right)}HC$
$\Rightarrow CE=\frac{3x-2}{2\left(1-x\right)}HC$
Ta có:
$\begin{array}{l}HD=HC+2CE\\ =HC+\frac{3x-2}{1-x}HC=\frac{2x-1}{1-x}HC\\ \Rightarrow \frac{HE}{HD}=\frac{x}{2\left(1-x\right)}:\frac{2x-1}{1-x}=\frac{x}{2\left(2x-1\right)}\end{array}$
Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác AED, cát tuyến MFN:
$\begin{array}{l}\frac{FA}{FE}.\frac{HE}{HD}.\frac{ND}{NA}=1\Rightarrow 2.\frac{x}{2\left(2x-1\right)}.\frac{ND}{NA}=1\\ \Rightarrow \frac{ND}{NA}=\frac{2x-1}{x}\Rightarrow \frac{NA}{ND}=\frac{x}{2x-1}\\ \Rightarrow \frac{NA}{NA+ND}=\frac{x}{x+2x-1}=\frac{x}{3x-1}\\ \Rightarrow \frac{AN}{AD}=\frac{x}{3x-1}\end{array}$
Khi đó ta có $\frac{V_{ABMN}}{V_{ABCD}}=\frac{AM}{AC}.\frac{AN}{AD}=x.\frac{x}{3x-1}=\frac{x^2}{3x-1}\left(x>\frac{1}{3}\right)$
Xét hàm số $f\left(x\right)=\frac{x^2}{3x-1}\left(x>\frac{1}{3}\right)$ ta có
$f^{‘}\left(x\right)=\frac{2x\left(3x-1\right)-3x^2}{{\left(3x-1\right)}^2}=\frac{3x^2-2x}{{\left(3x-1\right)}^2};f‘\left(x\right)=0\iff \left[\begin{array}{c}x=0\left(ktm\right)\\ x=\frac{2}{3}\end{array}\right.$
BBT:

Dựa vào BBT ta thấy $\underset{\left(\frac{1}{3};+\infty \right)}{\min }f\left(x\right)=f\left(\frac{2}{3}\right)=\frac{4}{9}$
Vậy giá trị nhỏ nhất của tỉ số $\frac{V_{ABMN}}{V_{ABCD}}=\frac{4}{9}$
Đáp án cần chọn là: B

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho khối chóp có thể tích V, diện tích đáy là S và chiều cao h. Chọn công thức đúng:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho khối chóp có thể tích V, diện tích đáy là S và chiều cao h. Chọn công thức đúng:

   A. $V=Sh$

   B. $V=\frac{1}{2}Sh$

   C. $V=\frac{1}{3}Sh$

   Đáp án chính xác

   D. $V=\frac{1}{6}Sh$

   Trả lời:

   Công thức tính thể tích khối chóp $V=\frac{1}{3}Sh$

   Đáp án cần chọn là: C

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Phép vị tự tỉ số k &gt; 0 biến khối chóp có thể tích V thành khối chóp có thể tích V′. Khi đó:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Phép vị tự tỉ số k > 0 biến khối chóp có thể tích V thành khối chóp có thể tích V′. Khi đó:

   A. $\frac{V}{V^{‘}}=k$

   B. $\frac{V^{‘}}{V}=k^2$

   C. $\frac{V}{V^{‘}}=k^3$

   D. $\frac{V^{‘}}{V}=k^3$

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Phép vị tự tỉ số k > 0 biến khối chóp có thể tích V thành khối chóp có thể tích V′. Khi đó $\frac{V^{‘}}{V}=k^3$
   Đáp án cần chọn là: D

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho khối chóp tam giác S.ABC, trên các cạnh SA,SB,SC lần lượt lấy các điểm A′,B′,C′. Khi đó:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho khối chóp tam giác S.ABC, trên các cạnh SA,SB,SC lần lượt lấy các điểm A′,B′,C′. Khi đó:

   A. $\frac{V_{S.A^{‘}{B}^{‘}{C}^{‘}}}{V_{S.ABC}}=\frac{S{A}^{‘}}{SA}+\frac{S{B}^{‘}}{SB}+\frac{S{C}^{‘}}{SC}$

   B. $\frac{V_{S.ABC}}{V_{S.A^{‘}{B}^{‘}{C}^{‘}}}=\frac{S{A}^{‘}}{SA}.\frac{S{B}^{‘}}{SB}.\frac{S{C}^{‘}}{SC}$

   C. $\frac{V_{S.A^{‘}{B}^{‘}{C}^{‘}}}{V_{S.ABC}}=\frac{S{A}^{‘}}{SA}=\frac{S{B}^{‘}}{SB}=\frac{S{C}^{‘}}{SC}$

   D. $\frac{V_{S.A^{‘}{B}^{‘}{C}^{‘}}}{V_{S.ABC}}=\frac{S{A}^{‘}}{SA}.\frac{S{B}^{‘}}{SB}.\frac{S{C}^{‘}}{SC}$

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Nếu $A^{‘},B^{‘},C^{‘}$ là ba điểm lần lượt nằm trên các cạnh $SA,SB,SC$ của hình chóp tam giác S.ABC. Khi đó:
   $\frac{V_{S.A^{‘}{B}^{‘}{C}^{‘}}}{V_{S.ABC}}=\frac{S{A}^{‘}}{SA}.\frac{S{B}^{‘}}{SB}.\frac{S{C}^{‘}}{SC}$
   Đáp án cần chọn là: D

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Đáy của hình chóp S.ABCD là một hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và có độ dài là a. Thể tích khối tứ diện S.BCD bằng:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Đáy của hình chóp S.ABCD là một hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và có độ dài là a. Thể tích khối tứ diện S.BCD bằng:

   A. $\frac{a^3}{6}$

   Đáp án chính xác

   B. $\frac{a^3}{3}$

   B. $\frac{a^3}{4}$

   C. $\frac{a^3}{8}$

   Trả lời:

   Ta có: $S_{\text{Δ}BCD}=\frac{1}{2}{S}_{ABCD}=\frac{1}{2}{a}^2$m ;
   $V_{S.BCD}=\frac{1}{3}SA.S_{BCD}=\frac{1}{3}a.\frac{1}{2}{a}^2=\frac{a^3}{6}$
   

   Đáp án cần chọn là: A

    

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vuông tại A và D thỏa mãn SA⊥ABCD  và AB=2AD=2CD=2a=2SA. Thể tích khối chóp S.BCD là:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vuông tại A và D thỏa mãn $SA\perp \left(ABCD\right)$ và $AB=2AD=2CD=2a=\sqrt{2}SA$. Thể tích khối chóp S.BCD là:

   A. $\frac{2a^3\sqrt{2}}{3}$

   B. $\frac{a^3\sqrt{2}}{6}$

   Đáp án chính xác

   C. $\frac{2a^3}{3}$

   D. $\frac{a^3\sqrt{2}}{12}$

   Trả lời:

   

   Ta có: $S_{ABCD}=\frac{1}{2}\left(AB+CD\right).AD=\frac{1}{2}\left(2a+a\right)a=\frac{3a^2}{2}$
   $S_{\text{Δ}ABD}=\frac{1}{2}AD.AB=\frac{1}{2}a.2a=a^2$
   $\Rightarrow S_{BCD}=S_{ABCD}-S_{ABD}=\frac{3a^2}{2}-a^2=\frac{a^2}{2}SA=\frac{2a}{\sqrt{2}}=a\sqrt{2}$
   $\Rightarrow V_{S.BCD}=\frac{1}{3}SA.S_{BCD}=\frac{1}{3}a\sqrt{2}.\frac{a^2}{2}=\frac{a^3\sqrt{2}}{6}$
   Đáp án cần chọn là: B

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====