Cho tứ diện ABCD có AB=a6, tam giác ACD đều, hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (BCD) trùng với trực tâm H của tam giác BCD, mặt phẳng (ADH) tạo với mặt phẳng (ACD) một góc 450. Tính thể tích khối tứ diện ABCD.

Câu hỏi:

Cho tứ diện ABCD có $AB=a\sqrt{6}$, tam giác ACD đều, hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (BCD) trùng với trực tâm H của tam giác BCD, mặt phẳng (ADH) tạo với mặt phẳng (ACD) một góc 45⁰. Tính thể tích khối tứ diện ABCD.

A. $\frac{3a^3}{2}$

B. $\frac{27a^3}{4}$

C. $\frac{9a^3}{4}$

Đáp án chính xác

D. $\frac{3a^3}{4}$

Trả lời:

Gọi BM,DN lần lượt là các đường cao của tam giác $BCD\Rightarrow BM\cap DN=\left\{H\right\}$
Ta có: $\left\{\begin{array}{c}CD\perp BM\\ CD\perp AH\end{array}\right.\Rightarrow CD\perp \left(ABM\right)\Rightarrow CD\perp AM$
⇒AM là đường cao của tam giác đều ACD, do đó M là trung điểm của CD.
Gọi P là trung điểm của AD, do $\text{Δ}ACD$ đều nên $CP\perp AD$
Ta có:
$\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{c}BC\perp AH\\ BC\perp DN\end{array}\right.\Rightarrow BC\perp \left(ADN\right)\Rightarrow BC\perp AD\\ \left\{\begin{array}{c}AD\perp B\\ AD\perp CP\end{array}\right.\Rightarrow AD\perp \left(BCP\right)\Rightarrow AD\perp NP\end{array}$

Ta có: $\left\{\begin{array}{c}\left(ADN\right)\cap \left(ACD\right)=AD\\ NP\subset \left(ADN\right),NP\perp AD\left(cmt\right)\\ CP\subset \left(ACD\right),CP\perp AD\left(cmt\right)\end{array}\right.$
$\Rightarrow \angle \left(\left(ADN\right);\left(ACD\right)\right)=\angle \left(NP;CP\right)=\angle NPC={45}^0$
Ta có: $BC\perp \left(ADN\right)\left(cmt\right)\Rightarrow CN\perp NP\Rightarrow NCP$ vuông tại N, lại có
$\angle NPC={45}^0\left(cmt\right)\Rightarrow \angle NCP={45}^0$ hay $\angle BCP={45}^0\left(1\right)$
Gọi $G=AM\cap CP\Rightarrow G$ là trọng tâm tam giác đều ACD.
Ta có:
$\left\{\begin{array}{c}AD\perp \left(BCP\right)\left(cmt\right)\Rightarrow AD\perp BG\\ CD\perp \left(ABM\right)\left(cmt\right)\Rightarrow CD\perp BG\end{array}\Rightarrow BG\perp \left(ACD\right)\right.$ mà G là trọng tâm tam giác đều 
$ACD\Rightarrow BA=BC=BD=a\sqrt{6}$
Ta có $BG\perp \left(ACD\right)\Rightarrow BG\perp CG\Rightarrow \text{Δ}BCG$  vuông tại G  (2).
Từ (1) và (2) suy ra tam giác BCG vuông cân tại $G\Rightarrow BG=CG=\frac{BC}{\sqrt{2}}=a\sqrt{3}$
Ta có: $CP=\frac{3}{2}CG=\frac{3a\sqrt{3}}{2}=AC\frac{\sqrt{3}}{2}$ đều cạnh 3a3a nên
$S_{\text{Δ}ACD}=\frac{{\left(3a\right)}^2\sqrt{3}}{4}=\frac{9a^2\sqrt{3}}{4}$
Vậy $V_{ABCD}=\frac{1}{3}BG.S_{\text{Δ}ACD}=\frac{1}{3}.a\sqrt{3}.\frac{9a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{9a^3}{4}$
Đáp án cần chọn là: C

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho khối chóp có thể tích V, diện tích đáy là S và chiều cao h. Chọn công thức đúng:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho khối chóp có thể tích V, diện tích đáy là S và chiều cao h. Chọn công thức đúng:

   A. $V=Sh$

   B. $V=\frac{1}{2}Sh$

   C. $V=\frac{1}{3}Sh$

   Đáp án chính xác

   D. $V=\frac{1}{6}Sh$

   Trả lời:

   Công thức tính thể tích khối chóp $V=\frac{1}{3}Sh$

   Đáp án cần chọn là: C

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Phép vị tự tỉ số k > 0 biến khối chóp có thể tích V thành khối chóp có thể tích V′. Khi đó:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Phép vị tự tỉ số k > 0 biến khối chóp có thể tích V thành khối chóp có thể tích V′. Khi đó:

   A. $\frac{V}{V^{‘}}=k$

   B. $\frac{V^{‘}}{V}=k^2$

   C. $\frac{V}{V^{‘}}=k^3$

   D. $\frac{V^{‘}}{V}=k^3$

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Phép vị tự tỉ số k > 0 biến khối chóp có thể tích V thành khối chóp có thể tích V′. Khi đó $\frac{V^{‘}}{V}=k^3$
   Đáp án cần chọn là: D

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho khối chóp tam giác S.ABC, trên các cạnh SA,SB,SC lần lượt lấy các điểm A′,B′,C′. Khi đó:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho khối chóp tam giác S.ABC, trên các cạnh SA,SB,SC lần lượt lấy các điểm A′,B′,C′. Khi đó:

   A. $\frac{V_{S.A^{‘}{B}^{‘}{C}^{‘}}}{V_{S.ABC}}=\frac{S{A}^{‘}}{SA}+\frac{S{B}^{‘}}{SB}+\frac{S{C}^{‘}}{SC}$

   B. $\frac{V_{S.ABC}}{V_{S.A^{‘}{B}^{‘}{C}^{‘}}}=\frac{S{A}^{‘}}{SA}.\frac{S{B}^{‘}}{SB}.\frac{S{C}^{‘}}{SC}$

   C. $\frac{V_{S.A^{‘}{B}^{‘}{C}^{‘}}}{V_{S.ABC}}=\frac{S{A}^{‘}}{SA}=\frac{S{B}^{‘}}{SB}=\frac{S{C}^{‘}}{SC}$

   D. $\frac{V_{S.A^{‘}{B}^{‘}{C}^{‘}}}{V_{S.ABC}}=\frac{S{A}^{‘}}{SA}.\frac{S{B}^{‘}}{SB}.\frac{S{C}^{‘}}{SC}$

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Nếu $A^{‘},B^{‘},C^{‘}$ là ba điểm lần lượt nằm trên các cạnh $SA,SB,SC$ của hình chóp tam giác S.ABC. Khi đó:
   $\frac{V_{S.A^{‘}{B}^{‘}{C}^{‘}}}{V_{S.ABC}}=\frac{S{A}^{‘}}{SA}.\frac{S{B}^{‘}}{SB}.\frac{S{C}^{‘}}{SC}$
   Đáp án cần chọn là: D

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Đáy của hình chóp S.ABCD là một hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và có độ dài là a. Thể tích khối tứ diện S.BCD bằng:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Đáy của hình chóp S.ABCD là một hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và có độ dài là a. Thể tích khối tứ diện S.BCD bằng:

   A. $\frac{a^3}{6}$

   Đáp án chính xác

   B. $\frac{a^3}{3}$

   B. $\frac{a^3}{4}$

   C. $\frac{a^3}{8}$

   Trả lời:

   Ta có: $S_{\text{Δ}BCD}=\frac{1}{2}{S}_{ABCD}=\frac{1}{2}{a}^2$m ;
   $V_{S.BCD}=\frac{1}{3}SA.S_{BCD}=\frac{1}{3}a.\frac{1}{2}{a}^2=\frac{a^3}{6}$
   

   Đáp án cần chọn là: A

    

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vuông tại A và D thỏa mãn SA⊥ABCD  và AB=2AD=2CD=2a=2SA. Thể tích khối chóp S.BCD là:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vuông tại A và D thỏa mãn $SA\perp \left(ABCD\right)$ và $AB=2AD=2CD=2a=\sqrt{2}SA$. Thể tích khối chóp S.BCD là:

   A. $\frac{2a^3\sqrt{2}}{3}$

   B. $\frac{a^3\sqrt{2}}{6}$

   Đáp án chính xác

   C. $\frac{2a^3}{3}$

   D. $\frac{a^3\sqrt{2}}{12}$

   Trả lời:

   

   Ta có: $S_{ABCD}=\frac{1}{2}\left(AB+CD\right).AD=\frac{1}{2}\left(2a+a\right)a=\frac{3a^2}{2}$
   $S_{\text{Δ}ABD}=\frac{1}{2}AD.AB=\frac{1}{2}a.2a=a^2$
   $\Rightarrow S_{BCD}=S_{ABCD}-S_{ABD}=\frac{3a^2}{2}-a^2=\frac{a^2}{2}SA=\frac{2a}{\sqrt{2}}=a\sqrt{2}$
   $\Rightarrow V_{S.BCD}=\frac{1}{3}SA.S_{BCD}=\frac{1}{3}a\sqrt{2}.\frac{a^2}{2}=\frac{a^3\sqrt{2}}{6}$
   Đáp án cần chọn là: B

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====