Cho tổng Sn=11.2+12.3+13.4+…+1nn+1. Mệnh đề nào đúng?

Câu hỏi:

Cho tổng $S_n=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+\mathrm{\dots }+\frac{1}{n\left(n+1\right)}$. Mệnh đề nào đúng?

A. $S_n=\frac{1}{n+1}$

B. $S_n=\frac{n}{n+1}$

Đáp án chính xác

C. $S_n=\frac{n}{n+2}$

D. $S_n=\frac{n+1}{n+2}$

Trả lời:

Trả lời:
Cách 1:
Bằng phương pháp quy nạp toán học, ta sẽ chứng minh được:
$S_n=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+\mathrm{\dots }+\frac{1}{n\left(n+1\right)}=\frac{n}{n+1}\left(*\right)$
 
Thật vậy, với n = 1 ta có $S_1=\frac{1}{1.2}=\frac{1}{2}=\frac{1}{1+1}$
Giả sử (*) đúng đến n = k(k ≥ 1), khi đó ta có:
$S_k=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\mathrm{\dots }+\frac{1}{k\left(k+1\right)}=\frac{k}{k+1}$
 
 ta chứng minh (*) đúng đến n = k + 1, tức là cần chứng minh
$S_{k+1}=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\mathrm{\dots }+\frac{1}{k\left(k+1\right)\left(k+2\right)}=\frac{k+1}{k+2}$
 
Ta có:
$S_{k+1}=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\mathrm{\dots }+\frac{1}{k\left(k+1\right)}+\frac{1}{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}=\frac{k+1}{k+2}$
$=\frac{k}{k+1}+\frac{1}{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}$
$=\frac{k\left(k+2\right)+1}{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}$
$=\frac{k^2+2k+1}{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}$
$=\frac{{\left(k+1\right)}^2}{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}$
$=\frac{\left(k+1\right)}{\left(k+2\right)}$
 
Vậy (*) đúng với mọi số nguyên dương n.
Đáp án cần chọn là: B

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Trong phương pháp quy nạp toán học, ở bước 2, nếu ta giả sử mệnh đề đúng với n = k + 1 thì ta cần chứng minh mệnh đề đúng với:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong phương pháp quy nạp toán học, ở bước 2, nếu ta giả sử mệnh đề đúng với n = k + 1 thì ta cần chứng minh mệnh đề đúng với:

   A. n = k

   B. n = k + 1   

   C. n = k + 2

   Đáp án chính xác

   D. n = k + 3

   Trả lời:

   Phương pháp quy nạo toán học:
   – Bước 1: Chứng minh P(n) đúng với n = 1.
   – Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý, giả sử P(n) đúng với n = k, chứng minh P(n) cũng đúng khi n = k + 1.
   Do đó ta thấy, ở bước 2, nếu ta giả sử mệnh đề đúng với n = k + 1 thì ta cần chứng minh mệnh đề đúng với 
   n = k + 2.
   Đáp án cần chọn là: C

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho dãy số (un), biết un=n+12n+1. Số 815 là số hạng thứ mấy của dãy số?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho dãy số (u_n), biết $u_n=\frac{n+1}{2n+1}$. Số $\frac{8}{15}$ là số hạng thứ mấy của dãy số?

   A. 8.

   B. 6.

   C. 5. 

   D. 7.

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   $u_n=\frac{n+1}{2n+1}=\frac{8}{15}\iff 15n + 15 = 16n + 8 \iff n = 7.$

   Đáp án cần chọn là: D

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Giả sử Q là tập con của tập hợp các số nguyên dương sao cho a) k ∈ Q b) n∈Q ⇒ n + 1∈ Q ∀n ≥ k.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Giả sử Q là tập con của tập hợp các số nguyên dương sao cho
   a) k ∈ Q
   b) n∈Q ⇒ n + 1∈ Q ∀n ≥ k.

   A. Mọi số nguyên dương đều thuộc Q.

   B. Mọi số nguyên dương lớn hơn hoặc bằng k đều thuộc Q

   Đáp án chính xác

   C. Mọi số nguyên bé hơn k đều thuộc Q

   D. Mọi số nguyên đều thuộc Q.

   Trả lời:

   Đáp án A: sai vì Q⊂N∗ chứ không phải N∗⊂Q, nên mọi số nguyên dương không thể thuộc Q hết được.
   Đáp án B: đúng vì theo lý thuyết của phương pháp quy nạp toán học.

   Đáp án C: sai vì theo giả thiết b) thì phải là số tự nhiên lớn hơn kk thuộc Q.
   Đáp án D: sai vì số nguyên âm không thuộc Q.
   Đáp án cần chọn là: B

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho dãy số (un), biết un=n+12n+1. Số 815 là số hạng thứ mấy của dãy số?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho dãy số (u_n), biết $u_n=\frac{n+1}{2n+1}$. Số $\frac{8}{15}$ là số hạng thứ mấy của dãy số?

   A. 8.

   B. 6.

   C. 5. 

   D. 7.

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Trả lời:
   $u_n=\frac{n+1}{2n+1}=\frac{8}{15}$
   ⇔ 15n + 15 = 16n + 8
   ⇔ n = 7.
   Đáp án cần chọn là: D

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho dãy số (un), biết un = (−1)n.2n. Mệnh đề nào sau đây sai?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho dãy số (u_n), biết u_n = (−1)ⁿ.2n. Mệnh đề nào sau đây sai?

   A. u₁ = −2.

   B. u₂ = 4.

   C. u₃ = −6.

   D. u₄ = −8.

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Trả lời:
   Ta có:
   u₁ = −2.1 = −2;
   u₂ = (−1)².2.2 = 4;
   u₃ = (−1)³2.3 = −6;
   u₄ = (−1)⁴2.4 = 8
   Đáp án cần chọn là: D

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====