Cho hình chóp S.ABC, đáy là tam giác ABC có AB=BC5, AC=2BC2, hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm O của cạnh AC. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng 2. Mặt phẳng (SBC) hợp với mặt phẳng (ABC) một góc α thay đổi. Biết rằng giá trị nhỏ nhất của thể tích khối chóp S.ABC bằng ab, trong đó a,b∈ℕ∗, a  là số nguyên tố. Tổng a+b bằng:

Câu hỏi:

Cho hình chóp S.ABC, đáy là tam giác ABC có $AB=BC\sqrt{5}$, $AC=2BC\sqrt{2}$, hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm O của cạnh AC. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng 2. Mặt phẳng (SBC) hợp với mặt phẳng (ABC) một góc α thay đổi. Biết rằng giá trị nhỏ nhất của thể tích khối chóp S.ABC bằng $\frac{\sqrt{a}}{b}$, trong đó $a,b\in {\mathbb{N}}^{\ast }, a$ là số nguyên tố. Tổng a+b bằng:

A.6

B.5

Đáp án chính xác

C.7

D.4

Trả lời:

Gọi H là hình chiếu của O lên SB.

 
Ta có: $OB=\sqrt{\frac{2B{C}^2+2B{A}^2-A{C}^2}{4}}=BC,OC=\frac{1}{2}AC=BC\sqrt{2}$
Suy ra $OB\perp BC$
Dễ thấy $\angle SBO=\alpha$ và $OH=d\left(O;\left(SBC\right)\right)=\frac{1}{2}d\left(A;\left(SBC\right)\right)=1$
Suy ra $SO=\frac{OH}{\cos \alpha }=\frac{1}{\cos \alpha },OB=\frac{OH}{\sin \alpha }=\frac{1}{\sin \alpha }$
$\Rightarrow BC=OB=\frac{1}{\sin \alpha }$
Thể tích khối chóp S.ABC là: 
$\begin{array}{l}{V}_{S.ABC}=\frac{1}{3}SO.S_{ABC}=\frac{1}{3}SO.2S_{OBC}\\ =\frac{1}{3}.\frac{1}{\cos \alpha }.{\left(\frac{1}{\sin \alpha }\right)}^2=\frac{1}{3\cos \alpha .{\sin }^2\alpha }\end{array}$
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
$\begin{array}{l}1=\frac{1}{2}{\sin }^2\alpha +\frac{1}{2}{\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha \ge 3.\sqrt[3]{\frac{1}{4}{\sin }^4\alpha .{\cos }^2\alpha }\\ \iff \frac{1}{27}\ge \frac{1}{4}.si{n}^4\alpha .co{s}^2\alpha \Rightarrow \frac{1}{{\sin }^2\alpha {\cos }^2\alpha }\ge \frac{3\sqrt{3}}{2}\\ \Rightarrow V_{S.ABC}\ge \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}$
Vậy $\min V_{S.ABC}=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Dấu “=” xảy ra $\iff {\cos }^2\alpha =\frac{1}{2}{\sin }^2\alpha =\frac{1}{3}\iff \cos \alpha =\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\Rightarrow a=3,b=2$
Vậy $a+b=3+2=5$
Đáp án cần chọn là: B

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho khối chóp có thể tích V, diện tích đáy là S và chiều cao h. Chọn công thức đúng:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho khối chóp có thể tích V, diện tích đáy là S và chiều cao h. Chọn công thức đúng:

   A. $V=Sh$

   B. $V=\frac{1}{2}Sh$

   C. $V=\frac{1}{3}Sh$

   Đáp án chính xác

   D. $V=\frac{1}{6}Sh$

   Trả lời:

   Công thức tính thể tích khối chóp $V=\frac{1}{3}Sh$

   Đáp án cần chọn là: C

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Phép vị tự tỉ số k > 0 biến khối chóp có thể tích V thành khối chóp có thể tích V′. Khi đó:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Phép vị tự tỉ số k > 0 biến khối chóp có thể tích V thành khối chóp có thể tích V′. Khi đó:

   A. $\frac{V}{V^{‘}}=k$

   B. $\frac{V^{‘}}{V}=k^2$

   C. $\frac{V}{V^{‘}}=k^3$

   D. $\frac{V^{‘}}{V}=k^3$

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Phép vị tự tỉ số k > 0 biến khối chóp có thể tích V thành khối chóp có thể tích V′. Khi đó $\frac{V^{‘}}{V}=k^3$
   Đáp án cần chọn là: D

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho khối chóp tam giác S.ABC, trên các cạnh SA,SB,SC lần lượt lấy các điểm A′,B′,C′. Khi đó:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho khối chóp tam giác S.ABC, trên các cạnh SA,SB,SC lần lượt lấy các điểm A′,B′,C′. Khi đó:

   A. $\frac{V_{S.A^{‘}{B}^{‘}{C}^{‘}}}{V_{S.ABC}}=\frac{S{A}^{‘}}{SA}+\frac{S{B}^{‘}}{SB}+\frac{S{C}^{‘}}{SC}$

   B. $\frac{V_{S.ABC}}{V_{S.A^{‘}{B}^{‘}{C}^{‘}}}=\frac{S{A}^{‘}}{SA}.\frac{S{B}^{‘}}{SB}.\frac{S{C}^{‘}}{SC}$

   C. $\frac{V_{S.A^{‘}{B}^{‘}{C}^{‘}}}{V_{S.ABC}}=\frac{S{A}^{‘}}{SA}=\frac{S{B}^{‘}}{SB}=\frac{S{C}^{‘}}{SC}$

   D. $\frac{V_{S.A^{‘}{B}^{‘}{C}^{‘}}}{V_{S.ABC}}=\frac{S{A}^{‘}}{SA}.\frac{S{B}^{‘}}{SB}.\frac{S{C}^{‘}}{SC}$

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Nếu $A^{‘},B^{‘},C^{‘}$ là ba điểm lần lượt nằm trên các cạnh $SA,SB,SC$ của hình chóp tam giác S.ABC. Khi đó:
   $\frac{V_{S.A^{‘}{B}^{‘}{C}^{‘}}}{V_{S.ABC}}=\frac{S{A}^{‘}}{SA}.\frac{S{B}^{‘}}{SB}.\frac{S{C}^{‘}}{SC}$
   Đáp án cần chọn là: D

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Đáy của hình chóp S.ABCD là một hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và có độ dài là a. Thể tích khối tứ diện S.BCD bằng:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Đáy của hình chóp S.ABCD là một hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và có độ dài là a. Thể tích khối tứ diện S.BCD bằng:

   A. $\frac{a^3}{6}$

   Đáp án chính xác

   B. $\frac{a^3}{3}$

   B. $\frac{a^3}{4}$

   C. $\frac{a^3}{8}$

   Trả lời:

   Ta có: $S_{\text{Δ}BCD}=\frac{1}{2}{S}_{ABCD}=\frac{1}{2}{a}^2$m ;
   $V_{S.BCD}=\frac{1}{3}SA.S_{BCD}=\frac{1}{3}a.\frac{1}{2}{a}^2=\frac{a^3}{6}$
   

   Đáp án cần chọn là: A

    

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vuông tại A và D thỏa mãn SA⊥ABCD  và AB=2AD=2CD=2a=2SA. Thể tích khối chóp S.BCD là:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vuông tại A và D thỏa mãn $SA\perp \left(ABCD\right)$ và $AB=2AD=2CD=2a=\sqrt{2}SA$. Thể tích khối chóp S.BCD là:

   A. $\frac{2a^3\sqrt{2}}{3}$

   B. $\frac{a^3\sqrt{2}}{6}$

   Đáp án chính xác

   C. $\frac{2a^3}{3}$

   D. $\frac{a^3\sqrt{2}}{12}$

   Trả lời:

   

   Ta có: $S_{ABCD}=\frac{1}{2}\left(AB+CD\right).AD=\frac{1}{2}\left(2a+a\right)a=\frac{3a^2}{2}$
   $S_{\text{Δ}ABD}=\frac{1}{2}AD.AB=\frac{1}{2}a.2a=a^2$
   $\Rightarrow S_{BCD}=S_{ABCD}-S_{ABD}=\frac{3a^2}{2}-a^2=\frac{a^2}{2}SA=\frac{2a}{\sqrt{2}}=a\sqrt{2}$
   $\Rightarrow V_{S.BCD}=\frac{1}{3}SA.S_{BCD}=\frac{1}{3}a\sqrt{2}.\frac{a^2}{2}=\frac{a^3\sqrt{2}}{6}$
   Đáp án cần chọn là: B

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====