Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên bằng a2. Xét điểm M thay đổi trên mặt phẳng SCD sao cho tổng Q=MA2+MB2+MC2+MD2+MS2  nhỏ nhất. Gọi V1 là thể tích của khối chóp S.ABCD và V2 là thể tích của khối chóp M.ACD. Tỉ số V2V1 bằng

Câu hỏi:

Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên bằng $a\sqrt{2}$. Xét điểm M thay đổi trên mặt phẳng SCD sao cho tổng $Q=M{A}^2+M{B}^2+M{C}^2+M{D}^2+M{S}^2$ nhỏ nhất. Gọi V1 là thể tích của khối chóp S.ABCD và $V_2$ là thể tích của khối chóp M.ACD. Tỉ số $\frac{V_2}{V_1}$ bằng

A. $\frac{11}{140}$

B. $\frac{22}{35}$

C. $\frac{11}{70}$

Đáp án chính xác

D. $\frac{11}{35}$

Trả lời:

Gọi I là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID}+\overrightarrow{IS}=\overrightarrow{0}$
Ta có:
$Q=M{A}^2+M{B}^2+M{C}^2+M{D}^2+M{S}^2$
$Q={\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\right)}^2+{\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\right)}^2+{\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC}\right)}^2+{\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{ID}\right)}^2+{\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IS}\right)}^2$
$Q=5M{I}^2+2\overrightarrow{MI}\left(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID}+\overrightarrow{IS}\right)+I{A}^2+I{B}^2+I{C}^2+I{D}^2+I{S}^2$
$Q=5M{I}^2+I{A}^2+I{B}^2+I{C}^2+I{D}^2+I{S}^2$
Do các điểm I,A,B,C,D,S cố định nên $I{A}^2+I{B}^2+I{C}^2+I{D}^2+I{S}^2$ không đổi, do đó $Q_{\min }\iff M{I}_{\min }$
Khi đó M là hình chiếu của I lên (SCD) hay $MI\perp \left(SCD\right)$
Gọi $O=AC\cap BD$ ta có $SO\perp \left(ABCD\right)$ và:
$\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID}+\overrightarrow{IS}=\overrightarrow{0}$
$\iff \left(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IC}\right)+\left(\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{ID}\right)+\overrightarrow{IS}=\overrightarrow{0}$
$\iff 2\overrightarrow{IO}+2\overrightarrow{IO}+\overrightarrow{IS}=0\iff 4\overrightarrow{IO}=\overrightarrow{IS}$
Gọi E là trung điểm của CD. Ta có:
$\left\{\begin{array}{c}CD\perp OE\\ CD\perp SO\end{array}\right.\Rightarrow CD\perp \left(SOE\right)\Rightarrow \left(SOE\right)\perp \left(SCD\right)\Rightarrow IM\subset \left(SOE\right)$
Trong (SOE) kẻ $OH\parallel IM\Rightarrow OH\perp SE$
Ta có:
$\begin{array}{l}SE=\sqrt{S{C}^2-C{E}^2}=\sqrt{2a^2-\frac{a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{7}}{2}\\ SO=\sqrt{S{E}^2-O{E}^2}=\sqrt{\frac{7a^2}{4}-\frac{a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{6}}{2}\\ \frac{SM}{SH}=\frac{SI}{SO}=\frac{4}{5}\\ \frac{SH}{SE}=\frac{S{O}^2}{S{E}^2}=\frac{6a^2}{4}:\frac{7a^2}{4}=\frac{6}{7}\\ \Rightarrow \frac{SM}{SE}=\frac{SM}{SH}.\frac{SH}{SE}=\frac{4}{5}.\frac{6}{7}=\frac{24}{35}\Rightarrow \frac{ME}{SE}=\frac{11}{35}\end{array}$
Ta có: $SM\cap \left(ABCD\right)=E\Rightarrow \frac{d\left(M;\left(ABCD\right)\right)}{d\left(S;\left(ABCD\right)\right)}=\frac{ME}{SE}=\frac{11}{35}$
Vậy $\frac{V_2}{V_1}=\frac{V_{M.ACD}}{V_{S.ABCD}}=\frac{\frac{1}{3}.d\left(M;\left(ABCD\right)\right).S_{ACD}}{\frac{1}{3}.d\left(S;\left(ABCD\right)\right).S_{ABCD}}=\frac{11}{35}.\frac{1}{2}=\frac{11}{70}$
Đáp án cần chọn là: C

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho khối chóp có thể tích V, diện tích đáy là S và chiều cao h. Chọn công thức đúng:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho khối chóp có thể tích V, diện tích đáy là S và chiều cao h. Chọn công thức đúng:

   A. $V=Sh$

   B. $V=\frac{1}{2}Sh$

   C. $V=\frac{1}{3}Sh$

   Đáp án chính xác

   D. $V=\frac{1}{6}Sh$

   Trả lời:

   Công thức tính thể tích khối chóp $V=\frac{1}{3}Sh$

   Đáp án cần chọn là: C

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Phép vị tự tỉ số k > 0 biến khối chóp có thể tích V thành khối chóp có thể tích V′. Khi đó:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Phép vị tự tỉ số k > 0 biến khối chóp có thể tích V thành khối chóp có thể tích V′. Khi đó:

   A. $\frac{V}{V^{‘}}=k$

   B. $\frac{V^{‘}}{V}=k^2$

   C. $\frac{V}{V^{‘}}=k^3$

   D. $\frac{V^{‘}}{V}=k^3$

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Phép vị tự tỉ số k > 0 biến khối chóp có thể tích V thành khối chóp có thể tích V′. Khi đó $\frac{V^{‘}}{V}=k^3$
   Đáp án cần chọn là: D

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho khối chóp tam giác S.ABC, trên các cạnh SA,SB,SC lần lượt lấy các điểm A′,B′,C′. Khi đó:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho khối chóp tam giác S.ABC, trên các cạnh SA,SB,SC lần lượt lấy các điểm A′,B′,C′. Khi đó:

   A. $\frac{V_{S.A^{‘}{B}^{‘}{C}^{‘}}}{V_{S.ABC}}=\frac{S{A}^{‘}}{SA}+\frac{S{B}^{‘}}{SB}+\frac{S{C}^{‘}}{SC}$

   B. $\frac{V_{S.ABC}}{V_{S.A^{‘}{B}^{‘}{C}^{‘}}}=\frac{S{A}^{‘}}{SA}.\frac{S{B}^{‘}}{SB}.\frac{S{C}^{‘}}{SC}$

   C. $\frac{V_{S.A^{‘}{B}^{‘}{C}^{‘}}}{V_{S.ABC}}=\frac{S{A}^{‘}}{SA}=\frac{S{B}^{‘}}{SB}=\frac{S{C}^{‘}}{SC}$

   D. $\frac{V_{S.A^{‘}{B}^{‘}{C}^{‘}}}{V_{S.ABC}}=\frac{S{A}^{‘}}{SA}.\frac{S{B}^{‘}}{SB}.\frac{S{C}^{‘}}{SC}$

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Nếu $A^{‘},B^{‘},C^{‘}$ là ba điểm lần lượt nằm trên các cạnh $SA,SB,SC$ của hình chóp tam giác S.ABC. Khi đó:
   $\frac{V_{S.A^{‘}{B}^{‘}{C}^{‘}}}{V_{S.ABC}}=\frac{S{A}^{‘}}{SA}.\frac{S{B}^{‘}}{SB}.\frac{S{C}^{‘}}{SC}$
   Đáp án cần chọn là: D

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Đáy của hình chóp S.ABCD là một hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và có độ dài là a. Thể tích khối tứ diện S.BCD bằng:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Đáy của hình chóp S.ABCD là một hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và có độ dài là a. Thể tích khối tứ diện S.BCD bằng:

   A. $\frac{a^3}{6}$

   Đáp án chính xác

   B. $\frac{a^3}{3}$

   B. $\frac{a^3}{4}$

   C. $\frac{a^3}{8}$

   Trả lời:

   Ta có: $S_{\text{Δ}BCD}=\frac{1}{2}{S}_{ABCD}=\frac{1}{2}{a}^2$m ;
   $V_{S.BCD}=\frac{1}{3}SA.S_{BCD}=\frac{1}{3}a.\frac{1}{2}{a}^2=\frac{a^3}{6}$
   

   Đáp án cần chọn là: A

    

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vuông tại A và D thỏa mãn SA⊥ABCD  và AB=2AD=2CD=2a=2SA. Thể tích khối chóp S.BCD là:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vuông tại A và D thỏa mãn $SA\perp \left(ABCD\right)$ và $AB=2AD=2CD=2a=\sqrt{2}SA$. Thể tích khối chóp S.BCD là:

   A. $\frac{2a^3\sqrt{2}}{3}$

   B. $\frac{a^3\sqrt{2}}{6}$

   Đáp án chính xác

   C. $\frac{2a^3}{3}$

   D. $\frac{a^3\sqrt{2}}{12}$

   Trả lời:

   

   Ta có: $S_{ABCD}=\frac{1}{2}\left(AB+CD\right).AD=\frac{1}{2}\left(2a+a\right)a=\frac{3a^2}{2}$
   $S_{\text{Δ}ABD}=\frac{1}{2}AD.AB=\frac{1}{2}a.2a=a^2$
   $\Rightarrow S_{BCD}=S_{ABCD}-S_{ABD}=\frac{3a^2}{2}-a^2=\frac{a^2}{2}SA=\frac{2a}{\sqrt{2}}=a\sqrt{2}$
   $\Rightarrow V_{S.BCD}=\frac{1}{3}SA.S_{BCD}=\frac{1}{3}a\sqrt{2}.\frac{a^2}{2}=\frac{a^3\sqrt{2}}{6}$
   Đáp án cần chọn là: B

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====