Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn −1;4sao cho f−1=2, f4=7. Có thể nói gì về số nghiệm của phương trình f(x)=5  trên đoạn −1;4:

Câu hỏi:

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn $\left[-1;4\right]$sao cho $f\left(-1\right)=2, f\left(4\right)=7$. Có thể nói gì về số nghiệm của phương trình $f\left(x\right)=5$ trên đoạn $\left[-1;4\right]:$

A.Vô nghiệm.
 

B.Có ít nhất một nghiệm.
 

Đáp án chính xác

C.Có đúng một nghiệm.
 

D.Có đúng hai nghiệm.

Trả lời:

Ta có $f\left(x\right)=5\iff f\left(x\right)-5=0$.  Đặt $g\left(x\right)=f\left(x\right)-5.$ Khi đó
$\left\{\begin{array}{c}g(-1)=f(-1)-5=2-5=-3\\ g\left(4\right)=f\left(4\right)-5=7-5=2\end{array}\Rightarrow g(-1)g\left(4\right)<0\right.$
 
Vậy phương trình $g\left(x\right)=0$ có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (1;4) hay phương trình $f\left(x\right)=5$ có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (1;4).
Đáp án cần chọn là: B

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Hàm số y=fx có đồ thị dưới đây gián đoạn tại điểm có hoành độ bằng bao nhiêu?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Hàm số $y=f\left(x\right)$ có đồ thị dưới đây gián đoạn tại điểm có hoành độ bằng bao nhiêu?
   

   A.0

   B.1

   Đáp án chính xác

   C.2

   D.3

   Trả lời:

   Quan sát đồ thị ta thấy $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=3;\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=0\Rightarrow \underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)\ne \underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)$nên không tồn tại $\underset{x\to 1^{}}{\lim }f\left(x\right)$. Do đó hàm số gián đoạn tại điểm x = 1.
   Đáp án cần chọn là: B

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Hàm số fx=x4+xx2+x  khi  x≠0,x≠−13  khi  x=−1 1  khi  x=0  
   
   

   Câu hỏi:
   

   Hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{c}\frac{x^4+x}{x^2+x}khix\ne 0,x\ne -1\\ 3khix=-1\\ 1khix=0\end{array}\right.$

   A.Liên tục tại mọi điểm trừ điểm thuộc đoạn (−1;0)    
    

   B.Liên tục tại mọi điểm trừ x = 0.
    

   C.Liên tục tại mọi điểm $x\in R$
    

   Đáp án chính xác

   D.Liên tục tại mọi điểm trừ x = −1 

   Trả lời:

   Hàm phân thức$y=\frac{x^4+x}{x^2+x}$ có txđ $D=R\setminus \left\{0;-1\right\}$ và liên tục trên các khoảng $\left(-\infty ;-1\right),\left(0;+\infty \right)$
   Ta chỉ cần xét tính liên tục của $y=f\left(x\right)$ tại các điểm $x=0;x=-1$
   Ta có:
   $\underset{x\to -1}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -1}{\lim }\frac{x^4+x}{x^2+x}=\underset{x\to -1}{\lim }\frac{x^3+1}{x+1}=\underset{x\to -1}{\lim }\left(x^2-x+1\right)=3=f\left(-1\right)\Rightarrow$
   Hàm số liên tục tại $x=-1$
   $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^4+x}{x^2+x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^3+1}{x+1}=1=f\left(0\right)\Rightarrow$ Hàm số liên tục tại $x=0.$
   Vậy hàm số liên tục tại mọi điểm $x\in R$
   Đáp án cần chọn là: C

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho hàm số f(x)=x−8x−23  khi x&gt;8x+4  khi  x≤8 . Để hàm số liên tục tại x = 8, giá trị của a là:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{c}\frac{x-8}{\sqrt[3]{x-2}}khix>8\\ x+4khix\le 8\end{array}\right.$. Để hàm số liên tục tại x = 8, giá trị của a là:

   A.1

   Đáp án chính xác

   B.2

   C.4

   D.3

   Trả lời:

   $\begin{array}{l}\underset{x\to 8^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 8^{+}}{\lim }\frac{x-8}{\sqrt[3]{x}-2}=\underset{x\to 8^{+}}{\lim }\left({\sqrt[3]{x}}^2+2\sqrt[3]{x}+4\right)\\ =2^2+2.2+4=12\\ \underset{x\to 8^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 8^{-}}{\lim }\left(ax+4\right)=8a+4\\ f\left(8\right)=8a+4\end{array}$

   Hàm số liên tục tại $x=8\iff 12=8a+4\iff a=1$
   Đáp án cần chọn là: A

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Hàm số nào sau đây liên tục trên ℝ?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Hàm số nào sau đây liên tục trên $ℝ$?

   A.$f\left(x\right)=\frac{x^4-4x^2}{x+1}$

   B.$f\left(x\right)=tanx$

   C.$f\left(x\right)=x^4-4x^2$

   Đáp án chính xác

   D.$f\left(x\right)=\sqrt{x}$

   Trả lời:

   $f\left(x\right)=x^4-4x$ luôn liên tục trên $ℝ$
   Đáp án cần chọn là: C

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Hàm số f(x)=−xcosx  khi  x&lt;0x21+x  khi  0≤x&lt;1×3  khi  x≥1
   
   

   Câu hỏi:
   

   Hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{c}-xcosxkhix<0\\ \frac{x^2}{1+x}khi0\le x<1\\ x^{3}khix\ge 1\end{array}\right.$

   A.Liên tục tại mọi điểm trừ điểm x = 0.
    

   B.Liên tục tại mọi điểm trừ x = 1.
    

   Đáp án chính xác

   C.Liên tục tại mọi điểm trừ hai điểm x = 0 và x = 1..
    

   D.Liên tục tại mọi điểm $x\in R$.

   Trả lời:

   Hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên các khoảng $\left(-\infty ;0\right),\left(0;1\right),\left(1;+\infty \right)$ nên ta chỉ xét tính liên tục của $y=f\left(x\right)$ tại các điểm $x=0,x=1$
   $\left.\begin{array}{c}\underset{x\to 0^{+}}{\underbrace{lim}}f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{+}}{\underbrace{lim}}\frac{x^2}{1+x}=0\\ \underset{x\to 0^{-}}{\underbrace{lim}}f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{-}}{\underbrace{lim}}(-xcosx)=0\\ f\left(0\right)=\frac{0}{1+0}=0\end{array}\right\}\Rightarrow \underset{x\to 0^{+}}{\underbrace{lim}}f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{-}}{\underbrace{lim}}f\left(x\right)=f\left(0\right)$

   ⇒ hàm số liên tục tại $x=0.$
   $\left.\begin{array}{c}\underset{x\to 1^{+}}{\underbrace{lim}}f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{\underbrace{lim}}{x}^3=1\\ \underset{x\to 1^{-}}{\underbrace{lim}}f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\underbrace{lim}}\frac{x^2}{1+x}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}\end{array}\right\}\Rightarrow \underset{x\to 1^{+}}{\underbrace{lim}}f\left(x\right)\ne \underset{x\to 1^{-}}{\underbrace{lim}}f\left(x\right)$

   Không tồn tại $\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)$ ⇒ hàm số không liên tục tại x = 1.
   Vậy hàm số liên tục tại mọi điểm trừ x = 1.
   Đáp án cần chọn là: B

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====