Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = 2 và un=2un+1−1,∀n∈N* , có tính chất:

Câu hỏi:

Cho dãy số (u_n) xác định bởi u₁ = 2 và $u_n=2u_{n+1}-\mathrm{1,}\forall n\in N*$ , có tính chất:

A. là dãy số tăng và bị chặn.

B. là dãy số giảm và bị chặn.

Đáp án chính xác

C. là dãy số giảm và không bị chặn

D. là dãy số tăng và không bị chặn.

Trả lời:

Trả lời:
$u_n=2u_{n+1}-1\Rightarrow u_{n+1}=\frac{u_n+1}{2}$
Ta có:
$u_n=\frac{u_{n-1}+1}{2}$
$\Rightarrow u_{n+1}-u_n=\frac{u_n+1}{2}-u_n$
$=\frac{u_n+1}{2}-\frac{u_{n-1}+1}{2}$
$=\frac{1}{2}\left(u_n-u_{n-1}\right)$
Tương tự ta có: $\Rightarrow u_n-u_{n-1}=\frac{1}{2}\left(u_{n-1}-u_{n-2}\right)$
Tiếp tục như vậy ta được:
$u_{n+1}-u_n=\frac{1}{2}\left(u_n-u_{n-1}\right)$
$u_n-u_{n-1}=\frac{1}{2}\left(u_{n-1}-u_{n-2}\right)$
$u_{n-1}-u_{n-2}=\frac{1}{2}\left(u_{n-2}-u_{n-3}\right)$
….
$u_4-u_3=\frac{1}{2}\left(u_3-u_2\right)$
$u_3-u_2=\frac{1}{2}\left(u_2-u_1\right)$
$\Rightarrow \left(u_{n+1}-u_n\right)\left(u_n-u_{n-1}\right)\left(u_{n-1}-u_{n-2}\right)\mathrm{\dots }\left(u_4-u_3\right)\left(u_3-u_2\right)$
$=\frac{1}{2}\left(u_n-u_{n-1}\right).\frac{1}{2}\left(u_{n-1}-u_{n-2}\right).\frac{1}{2}\left(u_{n-2}-u_{n-3}\right)\mathrm{\dots }\frac{1}{2}\left(u_3-u_2\right).\frac{1}{2}\left(u_2-u_1\right)$
$\Rightarrow \left(u_{n+1}-u_n\right)={\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}.\left(u_2-u_1\right)$
$\iff u_{n+1}-u_n=\frac{1}{2^{n-1}}.\left(u_2-u_1\right)$
Ta có:
$u_1=2u_2-1$
$\Rightarrow u_2=\frac{3}{2}$
$\Rightarrow u_{n+1}-u_n=\frac{1}{2^{n-1}}.\left(\frac{3}{2}-2\right)=-\frac{1}{2^n}<0$
$\Rightarrow \left(u_n\right)$là dãy số giảm
$u_{n+1}-u_n=-\frac{1}{2^n}$
$\iff u_{n+1}=u_n-\frac{1}{2^n}$
Mà $u_n=2u_{n+1}-1$
$\Rightarrow u_n=2\left(u_n-\frac{1}{2^n}\right)-1$
$\iff u_n=2u_n-\frac{1}{2^{n-1}}-1$
$\iff u_n=1+\frac{1}{2^{n-1}}<1+1=2$
$\Rightarrow 1<u_n<2$
Do đó (u_n) là dãy số bị chặn.
Đáp án cần chọn là: B

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Trong phương pháp quy nạp toán học, ở bước 2, nếu ta giả sử mệnh đề đúng với n = k + 1 thì ta cần chứng minh mệnh đề đúng với:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong phương pháp quy nạp toán học, ở bước 2, nếu ta giả sử mệnh đề đúng với n = k + 1 thì ta cần chứng minh mệnh đề đúng với:

   A. n = k

   B. n = k + 1   

   C. n = k + 2

   Đáp án chính xác

   D. n = k + 3

   Trả lời:

   Phương pháp quy nạo toán học:
   – Bước 1: Chứng minh P(n) đúng với n = 1.
   – Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý, giả sử P(n) đúng với n = k, chứng minh P(n) cũng đúng khi n = k + 1.
   Do đó ta thấy, ở bước 2, nếu ta giả sử mệnh đề đúng với n = k + 1 thì ta cần chứng minh mệnh đề đúng với 
   n = k + 2.
   Đáp án cần chọn là: C

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho dãy số (un), biết un=n+12n+1. Số 815 là số hạng thứ mấy của dãy số?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho dãy số (u_n), biết $u_n=\frac{n+1}{2n+1}$. Số $\frac{8}{15}$ là số hạng thứ mấy của dãy số?

   A. 8.

   B. 6.

   C. 5. 

   D. 7.

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   $u_n=\frac{n+1}{2n+1}=\frac{8}{15}\iff 15n + 15 = 16n + 8 \iff n = 7.$

   Đáp án cần chọn là: D

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Giả sử Q là tập con của tập hợp các số nguyên dương sao cho a) k ∈ Q b) n∈Q ⇒ n + 1∈ Q ∀n ≥ k.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Giả sử Q là tập con của tập hợp các số nguyên dương sao cho
   a) k ∈ Q
   b) n∈Q ⇒ n + 1∈ Q ∀n ≥ k.

   A. Mọi số nguyên dương đều thuộc Q.

   B. Mọi số nguyên dương lớn hơn hoặc bằng k đều thuộc Q

   Đáp án chính xác

   C. Mọi số nguyên bé hơn k đều thuộc Q

   D. Mọi số nguyên đều thuộc Q.

   Trả lời:

   Đáp án A: sai vì Q⊂N∗ chứ không phải N∗⊂Q, nên mọi số nguyên dương không thể thuộc Q hết được.
   Đáp án B: đúng vì theo lý thuyết của phương pháp quy nạp toán học.

   Đáp án C: sai vì theo giả thiết b) thì phải là số tự nhiên lớn hơn kk thuộc Q.
   Đáp án D: sai vì số nguyên âm không thuộc Q.
   Đáp án cần chọn là: B

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho dãy số (un), biết un=n+12n+1. Số 815 là số hạng thứ mấy của dãy số?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho dãy số (u_n), biết $u_n=\frac{n+1}{2n+1}$. Số $\frac{8}{15}$ là số hạng thứ mấy của dãy số?

   A. 8.

   B. 6.

   C. 5. 

   D. 7.

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Trả lời:
   $u_n=\frac{n+1}{2n+1}=\frac{8}{15}$
   ⇔ 15n + 15 = 16n + 8
   ⇔ n = 7.
   Đáp án cần chọn là: D

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho dãy số (un), biết un = (−1)n.2n. Mệnh đề nào sau đây sai?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho dãy số (u_n), biết u_n = (−1)ⁿ.2n. Mệnh đề nào sau đây sai?

   A. u₁ = −2.

   B. u₂ = 4.

   C. u₃ = −6.

   D. u₄ = −8.

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Trả lời:
   Ta có:
   u₁ = −2.1 = −2;
   u₂ = (−1)².2.2 = 4;
   u₃ = (−1)³2.3 = −6;
   u₄ = (−1)⁴2.4 = 8
   Đáp án cần chọn là: D

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====