Câu hỏi:
Đề thi THPT QG – 2021 – mã 101
Cho hàm số \(f(x) = {x^3} + a{x^2} + bx + c\;\) với a,b,c là các số thực. Biết hàm số \(g(x) = f(x) + f\prime (x) + f\prime \prime (x)\;\) có hai giá trị cực trị là −3 và 6. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \frac{{f(x)}}{{g(x) + 6}}\;v\`a \;y = 1\) bằng
A.2ln3.
B.ln3.
C.ln18.
D.2ln2.
Đáp án chính xác
Trả lời:
* Xét phương trình hoành độ giao điểm:
\(\frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right) + 6}} = 1 \Leftrightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right) + 6 \Leftrightarrow f\left( x \right) – g\left( x \right) – 6 = 0\)
(Chúng ta không cần lo điều kiện\(g\left( x \right) + 6 \ne 0\) bởi lẽ đồ thị hàm số \(y = \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right) + 6}}\) khi tương giao với đường thẳng\(y = 1\) phải tạo nên một miền kín, và khi số nghiệm của phương trình\(f\left( x \right) = g\left( x \right) + 6\) nhiều hơn 2 thì ta mới phải chú ý xem xét lấy cận từ đâu đến đâu, và liệu rằng có phải từ\({x_{\min }} \to {x_{\max }}\) chẳng may đồ thị tương giao bị gián đoạn trên đoạn\(\left[ {{x_{\min }};{x_{\max }}} \right]\) mà vẫn tạo miền kín. Trên thực tế, bài toán này phương trình\(f\left( x \right) = g\left( x \right) + 6\) chỉ có 2 nghiệm (vì là phương trình bậc hai), nên người giải toán không cần quan tâm đến việc gián đoạn hay không, vì việc tồn tại nghiệm hình và hàm số là thuộc phạm trù người ra đề).
Mà\(g\left( x \right) = f\left( x \right) + f’\left( x \right) + f”\left( x \right) \Rightarrow f\left( x \right) – g\left( x \right) = – f’\left( x \right) – f”\left( x \right)\)
⇒⇒ Phương trình hoành độ giao điểm trở thành:
\( – f’\left( x \right) – f”\left( x \right) – 6 = 0 \Leftrightarrow f’\left( x \right) + f”\left( x \right) + 6 = 0\)(1)
Mặt khác:\(g’\left( x \right) = f’\left( x \right) + f”\left( x \right) + f”’\left( x \right)\) và\(f”’\left( x \right) = 6\)
\( \Rightarrow g’\left( x \right) = f’\left( x \right) + f”\left( x \right) + 6\)
Từ phương trình (1)\( \Leftrightarrow g’\left( x \right) = 0\)
Theo giả thiết g(x) có 2 điểm cực trị\({x_1},\,\,{x_2}\) sao cho\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{g({x_1}) = – 3}\\{g({x_2}) = 6}\end{array}} \right. \Rightarrow g’\left( x \right) = 0\) có 2 nghiệm\({x_1},\,\,{x_2}\)
Vậy phương trình hoành độ giao điểm có 2 nghiệm\({x_1},\,\,{x_2}\)
\( \Rightarrow {S_{\left( H \right)}} = \left| {\int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\left( {\frac{{f(x)}}{{g(x) + 6}} – 1} \right)dx} } \right|\)
\(\begin{array}{l} = \left| {\int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\frac{{f(x) – g(x) – 6}}{{g(x) + 6}}dx} } \right|\\ = \left| {\int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\frac{{ – f\prime (x) – f\prime \prime (x) – 6}}{{g(x) + 6}}dx} } \right|\\ = \left| {\int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\frac{{ – g\prime (x)}}{{g(x) + 6}}dx} } \right|\end{array}\)
\( = \left| {\int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\frac{{g\prime (x)}}{{g(x) + 6}}dx} } \right|\)
\( = \left| {\int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\frac{{d(g(x) + 6)}}{{g(x) + 6}}dx} } \right|\)
\(\begin{array}{l} = \mid ln|g(x) + 6||_{{x_1}}^{{x_2}}\mid \\ = |ln|g({x_2}) + 6| – ln|g({x_1}) + 6||\\ = |ln|6 + 6| – ln| – 3 + 6|| = ln12 – ln3 = 2ln2\end{array}\)
Đáp án cần chọn là: D
====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), đường thẳng y=0 và hai đường thẳng \(x = a,x = b(a < b)\) là: – ĐGNL-HN
Câu hỏi:
Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), đường thẳng y=0 và hai đường thẳng \(x = a,x = b(a < b)\) là:
A. \(S = \mathop \smallint \limits_a^b f\left( x \right)dx\)
B. \(S = \mathop \smallint \limits_0^b f\left( x \right)dx\)
C. \(S = \mathop \smallint \limits_b^a \left| {f\left( x \right)} \right|dx\)
D. \(S = \mathop \smallint \limits_a^b \left| {f\left( x \right)} \right|dx\)
Đáp án chính xác
Trả lời:
Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số\(y = f\left( x \right)\) đường thẳng y=0 và hai đường thẳng\(x = a,x = b\) là\(S = \mathop \smallint \limits_a^b \left| {f\left( x \right)} \right|dx\)
Đáp án cần chọn là: D====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^2} – 1\), trục hoành và hai đường thẳng x=−1;x=−3 là: – ĐGNL-HN
Câu hỏi:
Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^2} – 1\), trục hoành và hai đường thẳng x=−1;x=−3 là:
A.\(S = \mathop \smallint \limits_{ – 3}^{ – 1} \left| {{x^2} – 1} \right|dx\)
Đáp án chính xác
B. \(S = \mathop \smallint \limits_{ – 1}^{ – 3} \left| {{x^2} – 1} \right|dx\)
C. \(S = \mathop \smallint \limits_{ – 3}^0 \left| {{x^2} – 1} \right|dx\)
D. \(S = \mathop \smallint \limits_{ – 3}^{ – 1} \left( {1 – {x^2}} \right)dx\)
Trả lời:
Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số\(y = f\left( x \right) = {x^2} – 1\) trục hoành và hai đường thẳng \(x = – 1;x = – 3\) là:\(S = \mathop \smallint \limits_{ – 3}^{ – 1} \left| {{x^2} – 1} \right|dx\)
Đáp án cần chọn là: A====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right),y = g\left( x \right)\) và hai đường thẳng \(x = a,x = b(a < b)\;\) là: – ĐGNL-HN
Câu hỏi:
Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right),y = g\left( x \right)\) và hai đường thẳng \(x = a,x = b(a < b)\;\) là:
A.\(S = \mathop \smallint \limits_a^b \left( {f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right)dx\)
B. \(S = \mathop \smallint \limits_a^b \left( {g\left( x \right) – f\left( x \right)} \right)dx\)
C. \(S = \mathop \smallint \limits_a^b \left| {f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right|dx\)
Đáp án chính xác
D. \(S = \mathop \smallint \limits_a^b \left| {f\left( x \right)} \right|dx – \mathop \smallint \limits_a^b \left| {g\left( x \right)} \right|dx\)
Trả lời:
Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số\(y = f\left( x \right),y = g\left( x \right)\) và hai đường thẳng\(x = a,x = b(a < b)\) là:\(S = \mathop \smallint \limits_a^b \left| {f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right|dx\)
Đáp án cần chọn là: C====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Cho hai hàm số \(f(x) = – x\;\) và \(g(x) = {e^x}\). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số \(y = f(x),y = g(x)\;\) và hai đường thẳng x=0,x=e là: – ĐGNL-HN
Câu hỏi:
Cho hai hàm số \(f(x) = – x\;\) và \(g(x) = {e^x}\). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số \(y = f(x),y = g(x)\;\) và hai đường thẳng x=0,x=e là:
A.\(S = \mathop \smallint \limits_0^e \left| {{e^x} + x} \right|dx\)
Đáp án chính xác
B. \(S = \mathop \smallint \limits_0^e \left| {{e^x} – x} \right|dx\)
C. \(S = \mathop \smallint \limits_e^0 \left| {{e^x} – x} \right|dx\)
D. \(S = \mathop \smallint \limits_e^0 \left| {{e^x} + x} \right|dx\)
Trả lời:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số\(y = f\left( x \right),y = g\left( x \right)\) và hai đường thẳng \(x = 0,x = e\) là:
\(S = \mathop \smallint \limits_0^e \left| {{e^x} – \left( { – x} \right)} \right|dx = \mathop \smallint \limits_0^e \left| {{e^x} + x} \right|dx\)Đáp án cần chọn là: A
====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số \(y = {x^3} – x;y = 2x\) và các đường thẳng \(x = – 1;x = 1\;\) được xác định bởi công thức: – ĐGNL-HN
Câu hỏi:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số \(y = {x^3} – x;y = 2x\) và các đường thẳng \(x = – 1;x = 1\;\) được xác định bởi công thức:
A.\(S = \left| {\mathop \smallint \nolimits_{ – 1}^1 \left( {3x – {x^3}} \right)dx} \right|\)
B. \(S = \mathop \smallint \nolimits_{ – 1}^0 \left( {3x – {x^3}} \right)dx + \mathop \smallint \nolimits_0^1 \left( {{x^3} – 3x} \right)dx\)
C. \(S = \mathop \smallint \nolimits_{ – 1}^1 \left( {3x – {x^3}} \right)dx\)
D. \(S = \mathop \smallint \nolimits_{ – 1}^0 \left( {{x^3} – 3x} \right)dx + \mathop \smallint \nolimits_0^1 \left( {3x – {x^3}} \right)dx\)
Đáp án chính xác
Trả lời:
Xét phương trình hoành độ giao điểm của 2 đồ thị:
\({x^3} – x = 2x \Leftrightarrow {x^3} – 3x = 0 \Leftrightarrow x = 0\) (chỉ xét trên\(\left( { – 1;1} \right)\)
Với\(x \in \left( { – 1;0} \right)\) thì\({x^3} – 3x > 0\) với \(x \in \left( {0;1} \right)\) thì \({x^3} – 3x < 0\)
Diện tích cần tìm là \(S = \mathop \smallint \limits_{ – 1}^1 \left| {{x^3} – 3x} \right|dx = \mathop \smallint \limits_{ – 1}^0 \left( {{x^3} – 3x} \right)dx + \mathop \smallint \limits_0^1 \left( {3x – {x^3}} \right)dx\)Đáp án cần chọn là: D
====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
Trả lời