Câu hỏi:
Cho hàm số \(y = {x^4} – 3{x^2} + m\) có đồ thị là (Cm) (m là tham số thực). Giả sử (Cm) cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt. Gọi \({S_1},{S_2}\;\) là diện tích của hai hình phẳng nằm dưới trục Ox và S3 là diện tích của hình phẳng nằm trên trục Ox được tạo bởi (Cm) với trục Ox. Biết rằng tồn tại duy nhất giá trị \(m = \frac{a}{b}\) (với \(a,b \in {\mathbb{N}^*}\;\) và tối giản) để \({S_1} + {S_2} = {S_3}\). Giá trị của 2a−b bằng:
A.3
B.−4
C.6
Đáp án chính xác
D.−2
Trả lời:
Xét phương trình hoành độ giao điểm:\({x^4} – 3{x^2} + m = 0\,\,\,\left( 1 \right)\)
Đặt\(t = {x^2}\,\,\left( {t \ge 0} \right)\) khi đó phương trình (1) trở thành\({t^2} – 3t + m = 0\,\,\,\left( 2 \right)\)
Vì đồ thị hàm số\(y = {x^4} – 3{x^2} + m\) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt nên phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt, do đó phương trình (2) phải có 2 nghiệm dương phân biệt.
\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\Delta > 0}\\{S > 0}\\{P > 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{9 – 4m > 0}\\{3 > 0(luon\,dung)}\\{m > 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow 0 < m < \frac{9}{4}\left( * \right)\)
Giả sử phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt\(0 < {t_1} < {t_2}\) áp dụng định lí Vi-ét ta có\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t_1} + {t_2} = 3}\\{{t_1}{t_2} = m}\end{array}} \right.\) Khi đó phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt
\( – \sqrt {{t_2}} < – \sqrt {{t_1}} < \sqrt {{t_1}} < \sqrt {{t_2}} \)
Do tính đối xứng qua trục tung của hàm đa thức bậc bốn trùng phương nên\({S_1} = {S_2}\) do đó theo bài ra ta có \({S_1} + {S_2} = {S_3} \Leftrightarrow 2{S_1} = {S_3}\)
Ta có:
\({S_2} = \mathop \smallint \limits_{\sqrt {{t_1}} }^{\sqrt {{t_2}} } \left| {f\left( x \right)} \right|dx = – \mathop \smallint \limits_{\sqrt {{t_1}} }^{\sqrt {{t_2}} } f\left( x \right)dx\)
\({S_3} = \mathop \smallint \limits_{ – \sqrt {{t_1}} }^{\sqrt {{t_1}} } \left| {f\left( x \right)} \right|dx = \mathop \smallint \limits_{ – \sqrt {{t_1}} }^{\sqrt {{t_1}} } f\left( x \right)dx = 2\mathop \smallint \limits_0^{\sqrt {{t_1}} } f\left( x \right)dx\) (do f(x) là hàm chẵn).
Ta có:
\(\begin{array}{l}2{S_2} = {S_3}\\ \Leftrightarrow – 2\int\limits_{\sqrt {{t_1}} }^{\sqrt {{t_2}} } {f(x)dx = 2\int\limits_0^{\sqrt {{t_1}} } {f(x)dx} } \\ \Leftrightarrow 2\left( {\int\limits_0^{\sqrt {{t_1}} } {f(x)dx} + \int\limits_{\sqrt {{t_1}} }^{\sqrt {{t_2}} } {f(x)dx} } \right) = 0\\ \Leftrightarrow 2\int\limits_0^{\sqrt {{t_2}} } {f(x)dx} = 0 \Leftrightarrow \int\limits_0^{\sqrt {{t_2}} } {f(x)dx = 0} \\ \Leftrightarrow \int\limits_0^{\sqrt {{t_2}} } {({x^4} – 3{x^2} + m)dx = 0} \\ \Leftrightarrow \left( {\frac{{{x^5}}}{5} – {x^3} + mx} \right)\left| {_0^{\sqrt {{t_2}} }} \right. = 0\\ \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {\sqrt {{t_2}} } \right)}^5}}}{5} – {\left( {\sqrt {{t_2}} } \right)^3} + m\sqrt {{t_2}} = 0\\ \Leftrightarrow \sqrt {{t_2}} \left( {\frac{{{t^2}}}{5} – t + m} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \frac{{{t_2}^2}}{5} – {t_2} + m = 0\,\,(Do\,\,{t_2} > 0)\,\\ \Leftrightarrow t_2^2 – 5{t_2} + 5m = 0( * )\end{array}\)
Mà \({t_2}\) là nghiệm của phương trình\({t^2} – 3t + m = 0\) nên\(t_2^2 – 3{t_2} + m = 0\) và\({t_2} = \frac{{3 + \sqrt {9 – 4m} }}{2}\)
Do đó
\(\begin{array}{*{20}{l}}{\left( * \right) \Leftrightarrow t_2^2 – 3{t_2} + m – 2{t_2} + 4m = 0}\\{ \Leftrightarrow – 2{t_2} + 4m = 0 \Leftrightarrow {t_2} = 2m}\end{array}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{3 + \sqrt {9 – 4m} }}{2} = 2m\\ \Leftrightarrow 3 + \sqrt {9 – 4m} = 4m\\ \Leftrightarrow \sqrt {9 – 4m} = 4m – 3\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4m – 3 > 0}\\{9 – 4m = 16{m^2} – 24m + 9}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m > \frac{3}{4}}\\{16{m^2} – 20m = 0}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m > \frac{3}{4}}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 0}\\{m = \frac{5}{4}}\end{array}} \right.}\end{array}} \right. \Leftrightarrow m = \frac{5}{4}\left( {tm*} \right)\end{array}\)
Vậy \(a = 5,\,\,b = 4 \Rightarrow 2a – b = 10 – 4 = 6.\)
Đáp án cần chọn là: C
====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), đường thẳng y=0 và hai đường thẳng \(x = a,x = b(a < b)\) là: – ĐGNL-HN
Câu hỏi:
Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), đường thẳng y=0 và hai đường thẳng \(x = a,x = b(a < b)\) là:
A. \(S = \mathop \smallint \limits_a^b f\left( x \right)dx\)
B. \(S = \mathop \smallint \limits_0^b f\left( x \right)dx\)
C. \(S = \mathop \smallint \limits_b^a \left| {f\left( x \right)} \right|dx\)
D. \(S = \mathop \smallint \limits_a^b \left| {f\left( x \right)} \right|dx\)
Đáp án chính xác
Trả lời:
Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số\(y = f\left( x \right)\) đường thẳng y=0 và hai đường thẳng\(x = a,x = b\) là\(S = \mathop \smallint \limits_a^b \left| {f\left( x \right)} \right|dx\)
Đáp án cần chọn là: D====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^2} – 1\), trục hoành và hai đường thẳng x=−1;x=−3 là: – ĐGNL-HN
Câu hỏi:
Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^2} – 1\), trục hoành và hai đường thẳng x=−1;x=−3 là:
A.\(S = \mathop \smallint \limits_{ – 3}^{ – 1} \left| {{x^2} – 1} \right|dx\)
Đáp án chính xác
B. \(S = \mathop \smallint \limits_{ – 1}^{ – 3} \left| {{x^2} – 1} \right|dx\)
C. \(S = \mathop \smallint \limits_{ – 3}^0 \left| {{x^2} – 1} \right|dx\)
D. \(S = \mathop \smallint \limits_{ – 3}^{ – 1} \left( {1 – {x^2}} \right)dx\)
Trả lời:
Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số\(y = f\left( x \right) = {x^2} – 1\) trục hoành và hai đường thẳng \(x = – 1;x = – 3\) là:\(S = \mathop \smallint \limits_{ – 3}^{ – 1} \left| {{x^2} – 1} \right|dx\)
Đáp án cần chọn là: A====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right),y = g\left( x \right)\) và hai đường thẳng \(x = a,x = b(a < b)\;\) là: – ĐGNL-HN
Câu hỏi:
Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right),y = g\left( x \right)\) và hai đường thẳng \(x = a,x = b(a < b)\;\) là:
A.\(S = \mathop \smallint \limits_a^b \left( {f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right)dx\)
B. \(S = \mathop \smallint \limits_a^b \left( {g\left( x \right) – f\left( x \right)} \right)dx\)
C. \(S = \mathop \smallint \limits_a^b \left| {f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right|dx\)
Đáp án chính xác
D. \(S = \mathop \smallint \limits_a^b \left| {f\left( x \right)} \right|dx – \mathop \smallint \limits_a^b \left| {g\left( x \right)} \right|dx\)
Trả lời:
Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số\(y = f\left( x \right),y = g\left( x \right)\) và hai đường thẳng\(x = a,x = b(a < b)\) là:\(S = \mathop \smallint \limits_a^b \left| {f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right|dx\)
Đáp án cần chọn là: C====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Cho hai hàm số \(f(x) = – x\;\) và \(g(x) = {e^x}\). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số \(y = f(x),y = g(x)\;\) và hai đường thẳng x=0,x=e là: – ĐGNL-HN
Câu hỏi:
Cho hai hàm số \(f(x) = – x\;\) và \(g(x) = {e^x}\). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số \(y = f(x),y = g(x)\;\) và hai đường thẳng x=0,x=e là:
A.\(S = \mathop \smallint \limits_0^e \left| {{e^x} + x} \right|dx\)
Đáp án chính xác
B. \(S = \mathop \smallint \limits_0^e \left| {{e^x} – x} \right|dx\)
C. \(S = \mathop \smallint \limits_e^0 \left| {{e^x} – x} \right|dx\)
D. \(S = \mathop \smallint \limits_e^0 \left| {{e^x} + x} \right|dx\)
Trả lời:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số\(y = f\left( x \right),y = g\left( x \right)\) và hai đường thẳng \(x = 0,x = e\) là:
\(S = \mathop \smallint \limits_0^e \left| {{e^x} – \left( { – x} \right)} \right|dx = \mathop \smallint \limits_0^e \left| {{e^x} + x} \right|dx\)Đáp án cần chọn là: A
====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số \(y = {x^3} – x;y = 2x\) và các đường thẳng \(x = – 1;x = 1\;\) được xác định bởi công thức: – ĐGNL-HN
Câu hỏi:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số \(y = {x^3} – x;y = 2x\) và các đường thẳng \(x = – 1;x = 1\;\) được xác định bởi công thức:
A.\(S = \left| {\mathop \smallint \nolimits_{ – 1}^1 \left( {3x – {x^3}} \right)dx} \right|\)
B. \(S = \mathop \smallint \nolimits_{ – 1}^0 \left( {3x – {x^3}} \right)dx + \mathop \smallint \nolimits_0^1 \left( {{x^3} – 3x} \right)dx\)
C. \(S = \mathop \smallint \nolimits_{ – 1}^1 \left( {3x – {x^3}} \right)dx\)
D. \(S = \mathop \smallint \nolimits_{ – 1}^0 \left( {{x^3} – 3x} \right)dx + \mathop \smallint \nolimits_0^1 \left( {3x – {x^3}} \right)dx\)
Đáp án chính xác
Trả lời:
Xét phương trình hoành độ giao điểm của 2 đồ thị:
\({x^3} – x = 2x \Leftrightarrow {x^3} – 3x = 0 \Leftrightarrow x = 0\) (chỉ xét trên\(\left( { – 1;1} \right)\)
Với\(x \in \left( { – 1;0} \right)\) thì\({x^3} – 3x > 0\) với \(x \in \left( {0;1} \right)\) thì \({x^3} – 3x < 0\)
Diện tích cần tìm là \(S = \mathop \smallint \limits_{ – 1}^1 \left| {{x^3} – 3x} \right|dx = \mathop \smallint \limits_{ – 1}^0 \left( {{x^3} – 3x} \right)dx + \mathop \smallint \limits_0^1 \left( {3x – {x^3}} \right)dx\)Đáp án cần chọn là: D
====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
Trả lời