Câu hỏi:
Cho các số thực x,y thay đổi thỏa mãn \({x^2} + 2{y^2} + 2xy = 1\) và hàm số \(f(t) = {t^4} – {t^2} + 2\). Gọi M,m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của \(Q = f\left( {\frac{{x + y + 1}}{{x + 2y – 2}}} \right)\) Tính M+m?
A.\(8\sqrt 3 – 2\)
B. \(\frac{{303}}{2}\)
C. \(\frac{{303}}{4}\)
Đáp án chính xác
D.\(4\sqrt 3 + 2\)
Trả lời:
Ta có: \({x^2} + 2{y^2} + 2xy = 1 \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} + {y^2} = 1\)
Đặt\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y = sin\alpha }\\{y = cos\alpha }\end{array}} \right.\) Ta có:\(Q = f\left( {\frac{{x + y + 1}}{{x + 2y – 2}}} \right) = f\left( {\frac{{\sin \alpha + 1}}{{\sin \alpha + {\rm{cos}}\,\alpha – 2}}} \right)\)
Đặt\(t = \frac{{\sin \alpha + 1}}{{\sin \alpha + {\rm{cos}}\,\alpha – 2}}\) Ta có:\(Q = f\left( {\frac{{\sin \alpha + 1}}{{\sin \alpha + {\rm{cos}}\,\alpha – 2}}} \right) = f\left( t \right)\)
\(\begin{array}{l}t = \frac{{\sin \alpha + 1}}{{\sin \alpha + {\rm{cos}}\,\alpha – 2}}\,\,\left( {\alpha \in \mathbb{R}} \right)\\ \Leftrightarrow t\sin \alpha + t{\rm{cos}}\,\alpha – 2t = \sin \alpha + 1 \Leftrightarrow \left( {t – 1} \right)\sin \alpha + t\,{\rm{cos}}\,\alpha = 2t + 1\end{array}\)(*)
Để phương trình (*) tồn tại nghiệm \(\alpha \) thì\({\left( {t – 1} \right)^2} + {t^2} \ge {\left( {2t + 1} \right)^2}\)
\( \Leftrightarrow {t^2} – 2t + 1 + {t^2} \ge 4{t^2} + 4t + 1 \Leftrightarrow 2{t^2} + 6t \le 0 \Leftrightarrow – 3 \le t \le 0\)
Xét\(Q = f\left( t \right) = {t^4} – {t^2} + 2\) trên đoạn\(\left[ { – 3;0} \right]\) có:
\(f\prime (t) = 4{t^3} – 2t,f\prime (t) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 0}\\{t = \pm \sqrt {\frac{1}{2}} }\end{array}} \right.\)
Hàm số \(f\left( t \right)\) liên tục trên\(\left[ { – 3;0} \right]\) có\(f\left( { – 3} \right) = 74,\,f\left( { – \sqrt {\frac{1}{2}} } \right) = \frac{7}{4},\,f\left( 0 \right) = 2\)
\( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ { – 3;0} \right]} f\left( t \right) = \frac{7}{4},\,\mathop {\max }\limits_{\left[ { – 3;0} \right]} f\left( t \right) = 74\)
⇒M + m\( = \frac{7}{4} + 74 = \frac{{303}}{4}\)
Đáp án cần chọn là: C
====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Cho biết GTLN của hàm số f(x) trên \(\left[ {1;3} \right]\;\)là M=−2. Chọn khẳng định đúng: – ĐGNL-HN
Câu hỏi:
Cho biết GTLN của hàm số f(x) trên \(\left[ {1;3} \right]\;\)là M=−2. Chọn khẳng định đúng:
A.
B. \(f\left( 1 \right) = f\left( 3 \right) = – 2\)
C. \(f\left( x \right) < – 2,\forall x \in \left[ {1;3} \right]\)
D.
Đáp án chính xác
Trả lời:
Nếu M=−2 là GTLN của hàm số y=f(x) trên \(\left[ {1;3} \right]\)thì
Đáp án cần chọn là: D====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Cho hàm số f(x) xác định trên \(\left[ {0;2} \right]\;\)và có GTNN trên đoạn đó bằng 5. Chọn kết luận đúng: – ĐGNL-HN
Câu hỏi:
Cho hàm số f(x) xác định trên \(\left[ {0;2} \right]\;\)và có GTNN trên đoạn đó bằng 5. Chọn kết luận đúng:
A.\(f\left( 0 \right) < 5\)
B.
Đáp án chính xác
C. \(f\left( 1 \right) = 5\)
D. \(f\left( 0 \right) = 5\)
Trả lời:
GTNN của f(x) trên \(\left[ {0;2} \right]\;\)bằng 5 nên .
Đáp án cần chọn là: B====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y=sinx trên đoạn \([ – \frac{\pi }{2}; – \frac{\pi }{3}]\) lần lượt là – ĐGNL-HN
Câu hỏi:
Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y=sinx trên đoạn \([ – \frac{\pi }{2}; – \frac{\pi }{3}]\) lần lượt là
A.\( – \frac{1}{2}; – \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
B. \( – \frac{{\sqrt 3 }}{2}; – 1\)
Đáp án chính xác
C. \( – \frac{{\sqrt 3 }}{2}; – 2\)
D. \( – \frac{{\sqrt 2 }}{2}; – \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
Trả lời:
Ta có\(y’ = \cos x \Rightarrow y’ = 0 \Leftrightarrow \cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Do\(x \in \left[ { – \frac{\pi }{2}; – \frac{\pi }{3}} \right]\)nên\(k = – 1\)hay\(x = – \frac{\pi }{2}\)
Suy ra
\(y( – \frac{\pi }{2}) = – 1;y( – \frac{\pi }{3}) = – \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\mathop {\max }\limits_{\left[ { – \frac{\pi }{2}; – \frac{\pi }{3}} \right]} y = – \frac{{\sqrt 3 }}{2}}\\{\mathop {\min }\limits_{\left[ { – \frac{\pi }{2}; – \frac{\pi }{3}} \right]} y = – 1}\end{array}} \right.\)
Đáp án cần chọn là: B====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = 2x + \cos x\) trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\;\)là : – ĐGNL-HN
Câu hỏi:
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = 2x + \cos x\) trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\;\)là :
A.−1
B.1
Đáp án chính xác
C.π
D.0
Trả lời:
Ta có\(y’ = 2 – \sin x > 0\forall x \in R \Rightarrow \)Hàm số luôn đồng biến trên\(\left[ {0;1} \right]\)
\( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;1} \right]} y = y\left( 0 \right) = 1\)
Đáp án cần chọn là: B====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Cho hàm số f(x) xác định và liên tục trên R, có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } = – \infty \) , khi đó: – ĐGNL-HN
Câu hỏi:
Cho hàm số f(x) xác định và liên tục trên R, có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } = – \infty \) , khi đó:
A.Hàm số đạt GTNN tại x=0.
B.Hàm số đạt GTLN tại x=0.
C.Hàm số đạt GTNN tại \(x = – \infty .\)
D.Hàm số không có GTLN và GTNN trên R.
Đáp án chính xác
Trả lời:
Hàm số\(y = f\left( x \right)\) có\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } f(x) = – \infty \) thì không có GTLN, GTNN trên R vì không tồn tại số\(M,m\) để
Đáp án cần chọn là: D====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
Trả lời