Sách bài tập Toán 12 Bài 3 (Chân trời sáng tạo): Ứng dụng hình học của tích phân

Giải SBT Toán 12 Bài 3: Ứng dụng hình học của tích phân

Bài 1 trang 20 SBT Toán 12 Tập 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi

a) Đồ thị của hàm số y = 3x(2 – x), trục hoành với hai đường thẳng x = −1, x = 1.

b) Đồ thị của hàm số $y=\frac{4-x}{x}$, trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 2.

c) Đồ thị của hàm số y = x³ – x² , trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 2.

Lời giải:

a) Diện tích hình phẳng cần tìm là: $S=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\left|3x\left(2-x\right)\right|dx=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\left|6x-3x^2\right|dx$

Ta có: 3x(2 – x) = 0 khi x = 2 hoặc x = 0.

Phương trình chỉ có nghiệm x = 0 thuộc đoạn [−1; 1].

Do đó, $S=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\left|6x-3x^2\right|dx$

$=\left|\underset{-1}{\overset{0}{\int }}\left(6x-3x^2\right)dx\right|+\left|\underset{-1}{\overset{0}{\int }}\left(6x-3x^2\right)dx\right|$

$=\left|{\left.\left(3x^2-x^3\right)\right|}_{-1}^0\right|+\left|{\left.\left(3x^2-x^3\right)\right|}_0^1\right|$

= 4 + 2 = 6.

b) Ta có $y=\frac{4-x}{x}$ > 0 với mọi x ∈ [1; 2].

Do đó diện tích hình phẳng cần tìm là:

$S=\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left|\frac{4-x}{x}\right|dx=\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{4-x}{x}\right)dx$

$=\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{4}{x}-1\right)dx={\left.\left(4\ln \left|x\right|-x\right)\right|}_1^2$

= 4ln2 – 1.

c) Ta có: x³ – x² = 0 ⇔ x²(x – 1) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 1.

Với x ∈ [0; 1] thì y ≤ 0; với x ∈ [1; 2] thì y ≥ 0.

Do đó, diện tích hình phẳng cần tìm là:

$S=\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left|x^3-x^2\right|dx$

$=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(x^2-x^3\right)dx+\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(x^3-x^2\right)dx$

$={\left.\left(\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}\right)\right|}_0^1+{\left.\left(-\frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{4}\right)\right|}_1^2$

$=\frac{1}{12}+\frac{17}{12}=\frac{3}{2}.$

Bài 2 trang 20 SBT Toán 12 Tập 2: Tính diện tích của hình phẳng được gạch chéo trong mỗi hình sau.

Lời giải:

a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = cosx, trục hoành và đường thẳng x = 1 và x = −1.

Diện tích hình phẳng cần tìm là:

$S=\underset{0}{\overset{\frac{3\pi }{2}}{\int }}\left|\cos x\right|dx$

$=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\cos xdx+\underset{\frac{\pi }{2}}{\overset{\frac{3\pi }{2}}{\int }}\left(-\cos x\right)dx$

$={\left.\left(\sin \text{x}\right)\right|}_0^{\frac{\pi }{2}}-{\left.\left(\sin \text{x}\right)\right|}_{{}_{\frac{\pi }{2}}}^{{}^{\frac{3\pi }{2}}}=3.$

b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 2^x, đường thẳng y = 4 với hai đường thẳng x = 0 và x = 2.

Diện tích hình phẳng cần tìm là:

$S=\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left|4-2^x\right|dx=\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left(4-2^x\right)dx$

$={\left.\left(4x-\frac{2^x}{\ln 2}\right)\right|}_0^2=8-\frac{3}{\ln 2}.$

Bài 3 trang 21 SBT Toán 12 Tập 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số

a) y = x² + 2x + 1, y = 1 – 2x và hai đường thẳng x = −1 và x = 2.

b) y = x – 4x³, y = 2x và hai đường thẳng x = 1, x = 4.

Lời giải:

a) Diện tích hình phẳng cần tìm là:

$S=\underset{-1}{\overset{2}{\int }}\left|\left(x^2+2x+1\right)-\left(1-2x\right)\right|dx$

$=\underset{-1}{\overset{2}{\int }}\left|x^3+4x\right|dx$

Ta có: x² + 4x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = −4. Phương trình chỉ có một nghiệm x = 0 thuộc [−1; 2].

Do đó, $S=\underset{-1}{\overset{2}{\int }}\left|x^2+4x\right|dx$

$=\underset{-1}{\overset{0}{\int }}\left|x^2+4x\right|dx+\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left|x^2+4x\right|dx$

$=\left|\underset{-1}{\overset{0}{\int }}\left(x^2+4x\right)dx\right|+\left|\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left(x^2+4x\right)dx\right|$

$=\left|{\left.\left(\frac{x^3}{3}+2x^2\right)\right|}_{-1}^0\right|+\left|{\left.\left(\frac{x^3}{3}+2x^2\right)\right|}_0^2\right|$

$=\frac{5}{3}+\frac{32}{3}=\frac{37}{3}.$

b) Diện tích hình phẳng cần tìm là:

$S=\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left|x-4x^3-2x\right|dx=\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left|-4x^3-x\right|dx$

$=\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left|-\left(4x^3+x\right)\right|dx=\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left|4x^3+x\right|dx$

Do 4x³ + x > 0 với mọi x ∈ [1; 4]. Do đó,

$S=\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left|4x^3+x\right|dx$

$=\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(4x^3+x\right)dx$

$={\left.\left(x^4+\frac{x^2}{2}\right)\right|}_1^4=\frac{525}{2}.$

Bài 4 trang 21 SBT Toán 12 Tập 2: Cho hàm số y = x² – 2x có đồ thị (C). Kí hiệu A là hình phẳng giới hạn bởi (C), trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 2; B là hình phẳng giới hạn bởi (C), trục hoành và hai đường thẳng x = 2, x = a (a > 2). Tìm giá trị của a để A và B có diện tích bằng nhau.

Lời giải:

Gọi S_A, S_B lần lượt là diện tích của hình phẳng A, B. Ta có:

$S_A=\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left(2x-x^2\right)dx={\left.\left(x^2-\frac{x^3}{3}\right)\right|}_0^2=\frac{4}{3};$

$S_B=\underset{2}{\overset{a}{\int }}\left(x^2-2x\right)dx={\left.\left(\frac{x^3}{3}-x^2\right)\right|}_2^a$

$=\frac{a^3}{3}-a^2+\frac{4}{3}.$

Theo đề bài, ta có: S_A = S_B ⇔ $\frac{a^3}{3}-a^2+\frac{4}{3}=\frac{4}{3}$ hay $\frac{a^3}{3}-a^2=0$ ⇔ a = 0 hoặc a = 3.

Vì a > 2 nên a = 3 là giá trị thỏa mãn.

Bài 5 trang 21 SBT Toán 12 Tập 2: Kí hiệu S(a) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = $\frac{3}{x^2}$, trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = a với a > 1 (Hình 12). Tính giới hạn $\underset{a\to +\infty }{\lim }S\left(a\right)$.

Lời giải:

Diện tích hình phẳng S(a) là:

$S\left(a\right)=\underset{1}{\overset{a}{\int }}\frac{3}{x^2}dx$

$=3\underset{1}{\overset{a}{\int }}\frac{1}{x^2}dx={\left.\frac{-3}{x}\right|}_1^a=3\left(1-\frac{1}{a}\right).$

Ta có: $\underset{a\to +\infty }{\lim }S\left(a\right)=\underset{a\to +\infty }{\lim }3\left(1-\frac{1}{a}\right)=3.$

Vậy $\underset{a\to +\infty }{\lim }S\left(a\right)=3$

Bài 6 trang 21 SBT Toán 12 Tập 2: Một bình chứa nước dạng như Hình 13 có chiều cao là $\frac{3\pi }{2}$ dm. Nếu lượng nước trong bình có chiều cao là x (dm) thì mặt nước là hình tròn có bán kính $\sqrt{2-\mathrm{s}\text{inx}}$(dm) với 0 ≤ x ≤ $\frac{3\pi }{2}$. Tính dung tích của hình (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm của đềximét khối).

Lời giải:

Diện tích mặt nước hình tròn bán kính $R=\sqrt{2-\mathrm{s}\text{inx}}$(dm) là:

$S\left(x\right)=\pi R^2=\pi {\left(\sqrt{2-\mathrm{s}\text{inx}}\right)}^2=\pi .\left(2-\sin \text{x}\right)$ (dm²).

Dung tích của bình là:

$V=\underset{0}{\overset{\frac{3\pi }{2}}{\int }}S\left(x\right)dx=\underset{0}{\overset{\frac{3\pi }{2}}{\int }}\pi \left(2-\sin x\right)dx$

$={\left.\pi \left(2x+\cos x\right)\right|}_0^{\frac{3\pi }{2}}$

$=\pi \left(3\pi -1\right)\approx \mathrm{26,47}$ (dm³).

Bài 7 trang 21 SBT Toán 12 Tập 2: Cho D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = 2x³, trục hoành và hai đường thẳng x = −1, x = 1

a) Tính diện tích của D.

b) Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục Ox.

Lời giải:

a) Diện tích hình phẳng D là:

$S=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\left|2x^3\right|dx=\underset{-1}{\overset{0}{\int }}\left(-2x^3\right)dx+\underset{0}{\overset{1}{\int }}2x^{3}dx$

$={\left.\frac{-x^4}{2}\right|}_{-1}^0+{\left.\frac{x^4}{2}\right|}_0^1=1$

b) Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục Ox là:

$V=\pi \underset{-1}{\overset{1}{\int }}{\left(2x^3\right)}^{2}dx$

$=\pi \underset{-1}{\overset{1}{\int }}4x^{6}dx{\left.=\frac{4\pi x^7}{7}\right|}_{-1}^1=\frac{8\pi }{7}.$

Bài 8 trang 22 SBT Toán 12 Tập 2: Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y = x² và y = $\sqrt{x}$ (Hình 14).

a) Tính diện tích của D.

b) Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục Ox.

Lời giải:

a) Diện tích hình phẳng D là:

$S=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left|\sqrt{x}-x^2\right|dx=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(\sqrt{x}-x^2\right)dx$

$={\left.\left(\frac{2x\sqrt{x}}{3}-\frac{x^3}{3}\right)\right|}_0^1=\frac{1}{3}.$

b) Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục Ox.

$V=\pi \underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\sqrt{x}\right)}^{2}dx-\pi \underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(x^2\right)}^{2}dx$

$=\pi \underset{0}{\overset{1}{\int }}xdx-\pi \underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{4}dx$

$={\left.\pi .\frac{x^2}{2}\right|}_0^1-{\left.\pi .\frac{x^5}{5}\right|}_0^1=\frac{3\pi }{10}$

Bài 9 trang 22 SBT Toán 12 Tập 2: Mặt cắt ngang của lòng máng dẫn nước là hình phẳng giới hạn bởi một parabol và đường thẳng nằm ngang như Hình 15 (phần được tô màu xám). Tính diện tích của mặt cắt ngang đó.

Lời giải:

Chọn hệ trục tọa độ Oxy có trục hoành nằm dọc theo cạnh trên của mặt cắt ngang, trục tung đi qua đỉnh của parabol như hình bên. Khi đó, đường parabol có phương trình dạng y = ax² – 2 (a > 2).

Theo giả thiết, ta có y(1) = 0 ⇔ a – 2 = 0 ⇔ a = 2.

Suy ra phương trình parabol là y = 2x² – 2.

Diện tích của phần lòng máng là:

$S=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\left(2-2x^2\right)dx={\left.\left(2x-\frac{2x^3}{3}\right)\right|}_{-1}^1=\frac{8}{3}$ (m²).

Bài 10 trang 22 SBT Toán 12 Tập 2: Một bể cá có dạng là một phần hình cầu được tạo thành khi cắt hình cầu bán kính 2 dm bằng mặt phẳng cách tâm của hình cầu 1 dm (Hình 16). Tính dung tích của bể cá (kết quả làm tròn đến hàng phần mười của đềximét khối).

Gợi ý: có thể coi bể cá là khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\sqrt{4-x^2}$ với −2 ≤ x ≤ 1, trục hoành và đường thẳng x = 1 quanh trục hoành.

Lời giải:

Chọn hệ trục Oxy, ta có hình vẽ sau:

Dung tích của bể cá là:

$V=\pi \underset{-2}{\overset{1}{\int }}{\left(\sqrt{4-x^2}\right)}^{2}dx=\pi \underset{-2}{\overset{1}{\int }}\left(4-x^2\right)dx$

$={\left.\pi \left(4x-\frac{x^3}{3}\right)\right|}_{-2}^1=9\pi \approx \mathrm{28,3}$ (dm³).

Lý thuyết Khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

1. Tính diện tích hình phẳng

1.1. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của một hàm số, trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Khi đó, diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b được tính bởi công thức:

$S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|dx$.

Ví dụ 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) = x² – 4x, trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 4.

Hướng dẫn giải

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) = x² – 4x, trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 4 là: $S=\underset{0}{\overset{4}{\int }}\left|x^2-4x\right|dx$.

Ta có: x² – 4x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 4.

Với x ∈ [0; 4] thì f(x) ≤ 0.

Vậy $S=\underset{0}{\overset{4}{\int }}\left|x^2-4x\right|dx=\underset{0}{\overset{4}{\int }}\left(4x-x^2\right)dx={\left.\left(2x^2-\frac{x^3}{3}\right)\right|}_0^4=\frac{32}{3}$.

Chú ý: Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Nếu f(x) không đổi dấu trên đoạn [a; b] thì

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|dx=\left|\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx\right|$.

Nếu phương trình f(x) = 0 không có nghiệm trên khoảng (a; b) thì công thức trên vẫn đúng.

1.2. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số và hai đường thẳng x = a, x = b

Cho hai hàm số y = f₁(x), y = f₂(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Khi đó, diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y = f₁(x), y = f₂(x) và hai đường thẳng x = a, x = b được tính bởi công thức:

$S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|f_1\left(x\right)-f_2\left(x\right)\right|dx$.

Ví dụ 2. Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = x² + 2x + 2, y = 6x – 1 và hai đường thẳng x = 0, x = 2.

Hướng dẫn giải

Diện tích hình phẳng cần tìm là:

$S=\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left|\left(x^2+2x+2\right)-\left(6x-1\right)\right|dx$$=\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left|x^2-4x+3\right|dx$.

Ta có: x² – 4x + 3 = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = 3.

Vậy $S=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left|x^2-4x+3\right|dx+\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left|x^2-4x+3\right|dx$

$=\left|\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(x^2-4x+3\right)dx\right|+\left|\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(x^2-4x+3\right)dx\right|$

$=\left|{\left.\left(\frac{x^3}{3}-2x^2+3x\right)\right|}_0^1\right|+\left|{\left.\left(\frac{x^3}{3}-2x^2+3x\right)\right|}_1^2\right|$

$=\left|\frac{4}{3}\right|+\left|-\frac{2}{3}\right|=\frac{4}{3}+\frac{2}{3}=2$.

2. Tính thể tích hình khối

2.1. Thể tích của vật thể

Trong không gian, cho một vật thể nằm ngang trong khoảng không gian giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) cùng vuông góc với trục Ox tại các điểm a và b. Mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (a ≤ x ≤ b) cắt vật thể theo mặt phẳng có diện tích S(x).

Khi đó, nếu S(x) là hàm số liên tục trên [a; b] thì thể tích của vật thể được tính bằng công thức:

$V=\underset{a}{\overset{b}{\int }}S\left(x\right)dx$.

Ví dụ 3. Tính thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy bằng S và chiều cao bằng h.

Hướng dẫn giải

Chọn trục Ox song song với đường cao của khối lăng trụ sao cho hai đáy nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với Ox tại x = 0 và x = h.

Mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ bằng x (0 ≤ x ≤ h) cắt khối lăng trụ theo mặt cắt có diện tích không đổi S(x) = S.

Do đó, thể tích của khối lăng trụ là: V = $\underset{0}{\overset{h}{\int }}S\left(x\right)dx=\underset{0}{\overset{h}{\int }}Sdx={\left.Sx\right|}_0^h=Sh$. 

2.2. Thể tích khối tròn xoay

Cho y = f(x) là hàm số liên tục và không âm trên đoạn [a; b]. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b.

Quay D quanh trục Ox tạo thành một hình khối gọi là khối tròn xoay.

Cắt khối tròn xoay trên bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x với x ∈ [a; b], ta được mặt cắt là hình tròn có bán kính bằng f(x) và diện tích là S(x) = πf²(x).

Vậy khối tròn xoay có thể tích là

$V=\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^2\left(x\right)dx$.

Ví dụ 4. Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x² + 1, trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 3. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng đó quay quanh trục Ox.

Hướng dẫn giải

Thể tích khối tròn xoay cần tìm là:

$V=\pi \underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(x^2+1\right)}^{2}dx$$=\pi \underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(x^4+2x^2+1\right)dx$

$={\left.\pi \left(\frac{x^5}{5}+\frac{2x^3}{3}+x\right)\right|}_1^3$$=\frac{1016\pi }{15}$

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 12 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 2: Tích phân

Bài 3: Ứng dụng hình học của tích phân

Bài tập cuối chương 4

Bài 1: Phương trình mặt phẳng

Bài 2: Phương trình đường thẳng trong không gian

Bài 3: Phương trình mặt cầu