Sách bài tập Toán 12 Bài 1 (Chân trời sáng tạo): Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

Giải SBT Toán 12 Bài 1: Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

Bài 1 trang 95 SBT Toán 12 Tập 1: Thời gian đọc sách của một số người cao tuổi trong một tuần được ghi lại ở bảng sau:

Hãy tìm khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên. (Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Lời giải:

Khoảng biến thiên là: R = 12 – 2 = 10 (giờ).

Cỡ mẫu là: n = 45 + 34 + 23 + 18 + 5 = 125 (người).

Ta có: $\frac{n}{4}=\frac{125}{4}=31,25$.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là x₃₂ ∈ [2; 4).

Do đó, Q₁ = 2 + $\frac{31,25-0}{45}.\left(4-2\right)$ = $\frac{61}{18}$.

Ta có: $\frac{3n}{4}=\frac{3.125}{4}=93,75$.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là x₉₄ ∈ [6; 8).

Do đó, Q₃ = 6 + $\frac{93,75-\left(45+34\right)}{23}.\left(8-6\right)$ = $\frac{335}{46}$.

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là: ∆Q = Q₃ – Q₁ = $\frac{335}{46}$ − $\frac{61}{18}$ = $\frac{806}{207}$ ≈ 3,89.

Bài 2 trang 96 SBT Toán 12 Tập 1: Bảng sau cho biết thời gian hoàn thành cự li đi bộ 10 000 m của một số học sinh:

Hãy tìm khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên. (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Lời giải:

Cỡ mẫu là: n = 5 + 12 + 18 + 24 + 19 = 78.

Khoảng biến thiên là: R = 95 – 70 = 25 (phút).

Ta có: $\frac{n}{4}=\frac{78}{4}=19,5$.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là x₂₀ ∈ [80; 85).

Do đó, Q₁ = 80 + $\frac{19,5-\left(5+12\right)}{18}\left(85-80\right)$ = $\frac{2905}{36}$.

Ta có: $\frac{3n}{4}=\frac{3.78}{4}=58,5$.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là x₅₉ ∈ [85; 90).

Do đó, Q₃ = 85 + $\frac{58,5-\left(5+12+18\right)}{24}\left(90-85\right)$ = $\frac{4315}{48}$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là: ∆Q = Q₃ – Q₁ = $\frac{4315}{48}$ − $\frac{2905}{36}$ = $\frac{1325}{144}$ ≈ 9,2.

Bài 3 trang 96 SBT Toán 12 Tập 1: Một công ty du lịch ghi lại độ tuổi các du khách đặt một tour du lịch mạo hiểm ở bảng sau:

a) Hãy so sánh độ phân tán của độ tuổi du khách nam và du khách nữ theo khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị.

b) Biết rằng trong mẫu số liệu trên có một du khách nữ 49 tuổi. Hỏi độ tuổi của du khách nữ đó có là giá trị ngoại lệ khi so với độ tuổi của các du khách nữ không?

Lời giải:

a) Khoảng biến thiên của độ tuổi du khách nam là R₁ = 55 – 25 = 30 (tuổi).

    Khoảng biến thiên của độ tuổi du khách nữ là R₂ = 50 – 25 = 25 (tuổi).

Nếu so sánh theo khoảng biến thiên thì độ tuổi của du khách nam phân tán hơn độ tuổi của du khách nữ.

Đối với mẫu số liệu độ tuổi du khách nam, ta có:

Cỡ mẫu là: n = 25 + 38 + 20 + 12 + 7 + 2 = 104.

Ta có: $\frac{n}{4}=\frac{104}{4}=26$.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là x₂₆ ∈ [30; 35).

Do đó, Q₁ = 30 + $\frac{26-25}{38}\left(35-30\right)$ = $\frac{1145}{38}$.

Ta có: $\frac{3n}{4}=\frac{3.104}{4}=78$.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là x₇₈ ∈ [35; 40).

Do đó, Q₃ = 35 + $\frac{78-\left(25+38\right)}{20}\left(40-35\right)$ = $\frac{155}{4}$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là: ∆Q₁ = Q₃ – Q₁ = $\frac{155}{4}$ − $\frac{1145}{38}$ = $\frac{655}{76}$ ≈ 8,62.

Đối với mẫu số liệu độ tuổi du khách nữ, ta có:

Cỡ mẫu: n = 24 + 20 + 15 + 0 + 1 + 0 = 60.

Ta có: $\frac{n}{4}=\frac{60}{4}=15$.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là x₁₅ ∈ [25; 30).

Do đó, Q₁ = 25 + $\frac{15-0}{24}\left(30-25\right)$ = $\frac{225}{8}$.

Ta có: $\frac{3n}{4}=\frac{3.60}{4}=45$.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là x₄₅ ∈ [35; 40).

Do đó, Q₃ = 35 + $\frac{45-\left(24+20\right)}{15}\left(40-35\right)$ = $\frac{106}{3}$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là: ∆Q₂ = Q₃ – Q₁ = $\frac{106}{3}$ − $\frac{225}{8}$ = $\frac{173}{24}$ ≈ 7,21.

Nếu so sánh theo khoảng tứ phân vị thì độ tuổi du khách nam phân tán hơn độ tuổi du khách nữ.

b) Với số liệu ghép nhóm của du khách nữ, ta có

Q₃ + 1,5∆Q₂ = $\frac{106}{3}$ + 1,5.7,21 ≈ 46,15 < 49.

Do đó độ tuổi của nữ du khách đó là giá trị ngoại lệ khi so với độ tuổi của các du khách nữ.

Bài 4 trang 96 SBT Toán 12 Tập 1: Bảng sau thống kê lương tháng của các nhân viên ở hai doanh nghiệp A và B:

a) Hãy so sánh độ phân tán của mức lương ở hai doanh nghiệp theo khoảng biến thiên.

b) Hãy so sánh độ phân tán của mức lương ở hai doanh nghiệp theo khoảng tứ phân vị.

c) Biết rằng có 1 nhân viên ở doanh nghiệp A có lương tháng là 27 triệu đồng. Lương tháng của nhân viên này có phải là một giá trị ngoại lệ không? Tại sao?

Lời giải:

a) Khoảng biến thiên của mức lương ở doanh nghiệp A là R^A = 30 – 5 = 25 (triệu đồng).

    Khoảng biến thiên của mức lương ở doanh nghiệp B là R^B = 25 – 10 = 15 (triệu đồng).

Nếu so sánh theo khoảng biến thiên thì mức lương ở doanh nghiệp A phân tán hơn mức lương ở doanh nghiệp B.

b) Với mẫu số liệu của doanh nghiệp A, ta có:

Cỡ mẫu là: n = 2 + 5 + 32 + 8 + 1 = 48.

Ta có: : $\frac{n}{4}=\frac{48}{4}=12$.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là x₁₂ ∈ [15; 20).

Do đó, Q₁ = 15 + $\frac{12-\left(2+5\right)}{32}\left(20-15\right)$ = $\frac{505}{32}$.

Ta có: $\frac{3n}{4}=\frac{3.48}{4}=36$.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là x₃₆ ∈ [15; 20).

Do đó, Q₃ = 15 + $\frac{36-\left(2+5\right)}{32}\left(20-15\right)$ = $\frac{625}{32}$.

Vậy khoảng tứ phân vị của mức lương ở doanh nghiệp A là

∆Q_A = Q₃ – Q₁ = $\frac{625}{32}$ − $\frac{505}{32}$ = $\frac{15}{4}$ = 3,75.

Với mẫu số liệu ở doanh nghiệp B, ta có:

Cỡ mẫu là: n = 20 + 25 + 20 = 65.

Ta có: : $\frac{n}{4}=\frac{65}{4}=16,25$.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là x₁₇ ∈ [10; 15).

Do đó, Q₁ = 10 + $\frac{16,25-0}{20}\left(15-10\right)$ = $\frac{225}{16}$.

Ta có: $\frac{3n}{4}=\frac{3.65}{4}=48,75$.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là x₄₉ ∈ [20; 25).

Do đó, Q₃ = 20 + $\frac{48,75-\left(20+25\right)}{20}\left(25-20\right)$ = $\frac{335}{16}$.

Vậy khoảng tứ phân vị của mức lương ở doanh nghiệp B là

∆Q_B = Q₃ – Q₁ = $\frac{335}{16}$ − $\frac{225}{16}$ = $\frac{55}{8}$ = 6,875.

Vậy nếu so sánh theo khoảng tứ phân vị thì mức lương ở doanh nghiệp B phân tán hơn mức lương ở doanh nghiệp A.

c) Với số liệu ghép nhóm của doanh nghiệp A, ta có:

Q₃ + 1,5∆Q = $\frac{625}{32}$ + 1,5.3,75 ≈ 25,16 < 27.

Do đó, lương tháng 27 triệu động của nhân viên là giá trị ngoại lê.

Bài 5 trang 97 SBT Toán 12 Tập 1: Kết quả khảo sát cân nặng của 80 con tôm càng xanh 5 tháng tuổi ở một khu nuôi tôm được biểu diễn ở biểu đồ tần số dưới đây.

a) Hãy lập bảng tần số ghép nhóm của mẫu số liệu trên.

b) Hãy tìm khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên

Lời giải:

a) Ta có bảng tần số ghép nhóm:

 

b) Khoảng biến thiên: R = 100 – 60 = 40 (g).

Cỡ mẫu là: n = 80.

Ta có: $\frac{n}{4}=\frac{80}{4}=20$

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là x₂₀ ∈ [70; 80).

Do đó, Q₁ = 70 + $\frac{20-10}{20}.\left(80-70\right)$ = 75.

Ta có: $\frac{3n}{4}=\frac{3.80}{4}=60$.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là x₆₀ ∈ [80; 90).

Do đó, Q₃ = 80 + $\frac{60-\left(10+20\right)}{30}\left(90-80\right)$ = 90.

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm này là:

∆Q = Q₃ – Q₁ = 90 – 75 = 15.

Lý thuyết Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

1. Khoảng biến thiên

a) Định nghĩa

Khoảng biến thiên, kí hiệu R, của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu số giữa đầu mút phải của nhóm cuối cùng và đầu mút trái của nhóm đầu tiên có chứa dữ liệu của mẫu số liệu. $R=u_{k+1}-u_1$

b) Ý nghĩa

– Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho khoảng biến thiên của mẫu số liệu gốc và có thể dùng để đo mức độ phân tán của mẫu số liệu

– Khoảng biến thiên chưa phản ánh đầy đủ mức độ phân tán của phần lớn các  số liệu. Hơn nữa giá trị của R thường tăng vọt khi xuất hiện giá trị ngoại lệ trong mẫu số liệu. Do đó, để phản ánh mức độ phân tán của số liệu, người ta còn dùng các số đặc trưng khác

2. Khoảng tứ phân vị

a) Định nghĩa

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu ${\mathrm{\Delta }}_Q$, là hiệu giữa tứ phân vị thứ ba $Q_3$ và tứ phân vị thứ nhất $Q_1$ của mẫu số liệu ghép nhóm đó, tức là: ${\mathrm{\Delta }}_Q=Q_3-Q_1$

b) Ý nghĩa

b) Ý nghĩa

– Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu gốc và là một đại lượng cho biết mức độ phân tán của nửa giữa mẫu số liệu.

– Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm càng nhỏ thì dữ liệu càng tập trung xung quanh trung vị.

– Khoảng tứ phân vị được dùng để xác định giá trị ngoại lệ trong mẫu số liệu. Giá trị x trong mẫu số liệu là giá trị ngoại lệ nếu $x>Q_3+1,5\mathrm{\Delta }Q$ hoặc $x<Q_1-1,5\mathrm{\Delta }Q$.

– Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm không bị ảnh hưởng nhiều bởi các giá trị ngoại lệ trong mẫu số liệu.

Sơ đồ tư duy Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 12 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài tập cuối chương 2

Bài 1: Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

Bài 2: Phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm

Bài tập cuối chương 3

Bài 1: Nguyên hàm

Bài 2: Tích phân