Chuyên đề Toán 12 Cánh diều Bài 2: Phân bố Bernoulli. Phân bố nhị thức

Giải Chuyên đề Toán 12 Bài 2: Phân bố Bernoulli. Phân bố nhị thức

Khởi động trang 13 Chuyên đề Toán 12: Xét phép thử T: “Tung một đồng xu cân đối và đồng chất một lần”. Do chỉ có hai kết quả có thể xảy ra đối với mặt xuất hiện của đồng xu là S và N nên không gian mẫu của phép thử đó là  = {S; N}.

Gọi X là biến ngẫu nhiên rời rạc nhận giá trị bằng 0 nếu mặt xuất hiện của đồng xu là S và nhận giá trị bằng 1 nếu mặt xuất hiện của đồng xu là N.

Phân bố ngẫu nhiên của biến ngẫu nhiên rời rạc X gợi nên khái niệm gì trong toán học?

Lời giải:

Phân bố ngẫu nhiên của biến ngẫu nhiên rời rạc X trong trường hợp này gợi đến khái niệm của biến ngẫu nhiên Bernoulli.

I. Phân bổ Bernoulli

Hoạt động 1 trang 13 Chuyên đề Toán 12: Xét phép thử T: “Một vận động viên bắn 1 phát súng vào mục tiêu”. Gọi X là số lần bắn trúng mục tiêu. Khi đó, X là biến ngẫu nhiên rời rạc nhận giá trị thuộc tập {0; 1}.

Giả sử P(X = 1) = p (0 < p < 1). Suy ra P(X = 0) = 1 – p.

Lập bảng phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc X

Lời giải:

Bảng phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc X là

Luyện tập – vận dụng 1 trang 14 Chuyên đề Toán 12: Một câu hỏi trắc nghiệm có 4 phương án trả lời, trong đó chỉ có 1 phương án đúng. Bạn An chọn ngẫu nhiên 1 phương án để trả lời câu hỏi đó. Giả sử X nhận giá trị 1 nếu phương án của bạn An là đúng và nhận giá trị 0 trong trường hợp ngược lại. Hỏi X có phải biến ngẫu nhiên rời rạc hay không? Nếu có, X có phân bố Bernoulli hay không? Vì sao?

Xác suất để An chọn được phương án đúng là $\frac{1}{4}$.

Xác suất để An chọn phương án sai là $\frac{3}{4}$.

Bảng phân bố của biến ngẫu nhiên rời rạc X là

Lời giải:

X là biến ngẫu nhiên rời rạc có phân bố Bernoulli.

II. Phân bổ nhị thức

Hoạt động 2 trang 14 Chuyên đề Toán 12: a) Xét phép thử T: “Tung một đồng xu cân đối và đồng chất một lần”. Nêu những kết quả có thể xảy ra đối với mặt xuất hiện của đồng xu. Viết không gian mẫu Ω của phép thử T.

b) Xét phép thử T₁: “Tung một đồng xu cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp một cách độc lập” (T₁ còn được gọi là phép thử lặp và việc tung một đồng xu hai lần liên tiếp một cách độc lập được hiểu là kết quả có thể xảy ra của lần tung thứ hai không phụ thuộc vào kết quả có thể xảy ra của lần tung thứ nhất).

Nêu những kết quả có thể xảy ra đối với mặt xuất hiện của đồng xu sau hai lần tung. Viết không gian mẫu Ω₁ của phép thử T₁.

c) Trong phép thử lặp T₁, ta xét các biến cố:

A₀: “Mặt sấp không xuất hiện trong cả hai lần tung”;

A₁: “Mặt sấp xuất hiện một lần trong cả hai lần tung”.

A₂: “Mặt sấp xuất hiện hai lần trong cả hai lần tung”.

• Tính P(A₀), P(A₁), P(A₂).

• Với mỗi k = 0, 1, 2, hãy so sánh: P(A_k) và $C_2^k.{\left(\frac{1}{2}\right)}^k.{\left(\frac{1}{2}\right)}^{2-k}$.

Lời giải:

a) Khi tung một đồng xu đồng cân đối và đồng chất một lần thì kết quả đồng xu có thể xuất hiện mặt sấp (S) hoặc đồng xu xuất hiện mặt ngửa (N).

Ta có n(W) = {S; N}.

b) Có 4 kết quả có thể xảy ra:

+) Mặt sấp (S) xuất hiện ở cả hai lần tung.

+) Lần thứ nhất xuất hiện mặt sấp (S), lần thứ hai xuất hiện mặt ngửa (N).

+) Lần thứ nhất xuất hiện mặt ngửa (N), lần thứ hai xuất hiện mặt sấp (S).

+) Mặt ngửa (N) xuất hiện ở cả hai lần tung.

Ta có Ω₁ = {SS, SN, NS, NN}.

c) Khi tung 1 đồng xu cân đối và đồng chất. Xác suất xuất hiện mặt sấp là $\frac{1}{2}$, xác suất xuất hiện mặt ngửa là $\frac{1}{2}$.

+) A₀: “Mặt sấp không xuất hiện trong cả hai lần tung”.

$P\left(A_0\right)={\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$

+) A₁: “Mặt sấp xuất hiện một lần trong cả hai lần tung”.

Xác suất để lần 1 xuất hiện mặt sấp, lần 2 xuất hiện mặt ngửa là: $\frac{1}{2}.\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$.

Xác suất để lần 1 xuất hiện mặt ngửa, lần 2 xuất hiện mặt sấp là: $\frac{1}{2}.\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$.

Do đó $P\left(A_1\right)=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$

+) A₂: “Mặt sấp xuất hiện hai lần trong cả hai lần tung”.

$P\left(A_2\right)={\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$

+) Với k = 0 thì $P\left(A_0\right)=\frac{1}{4}=C_2^0.{\left(\frac{1}{2}\right)}^0.{\left(\frac{1}{2}\right)}^{2-0}=\frac{1}{4}$

+) Với k = 1 thì $P\left(A_1\right)=\frac{1}{2}=C_2^1.{\left(\frac{1}{2}\right)}^1.{\left(\frac{1}{2}\right)}^{2-1}=\frac{1}{2}$

+) Với k = 2 thì $P\left(A_2\right)=\frac{1}{4}=C_2^2.{\left(\frac{1}{2}\right)}^2.{\left(\frac{1}{2}\right)}^{2-2}=\frac{1}{4}$

Luyện tập – vận dụng 2 trang 16 Chuyên đề Toán 12: Người ta tiến hành xét nghiệm một loại bệnh cho 5 người liên tiếp một cách độc lập. Xác suất mỗi người được xét nghiệm nhận kết quả dương tính đều là 0,2. Hãy tính xác suất của biến cố C: “Trong 5 người được xét nghiệm có 2 người nhận kết quả dương tính”.

Lời giải:

Xét phép thử lặp T: “Xét nghiệm một loại bệnh cho 5 người liên tiếp một cách độc lập”.

Áp dụng công thức Bernoulli với p = 0,2 và k = 2, ta có:

$P\left(C\right)=C_5^2.{\left(\mathrm{0,2}\right)}^2.{\left(\mathrm{0,8}\right)}^3=\mathrm{0,2048}$

Hoạt động 3 trang 16 Chuyên đề Toán 12: Xét phép thử lặp T1: “Tung một đồng xu cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp một cách độc lập”. Gọi X là số lần mặt ngửa xuất hiện sau hai lần tung. Lập bảng phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc X.

Lời giải:

Xét phép thử lặp T₁: “Tung một đồng xu cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp một cách độc lập”.

Xác suất xuất hiện mặt ngửa là $\frac{1}{2}$.

X nhận giá trị trong tập {0; 1; 2}.

Áp dụng công thức Bernoulli, ta có:

$P\left(X=0\right)=C_2^0.{\left(\frac{1}{2}\right)}^0,{\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$

$P\left(X=1\right)=C_2^1.{\left(\frac{1}{2}\right)}^1,{\left(\frac{1}{2}\right)}^1=\frac{1}{2}$

$P\left(X=2\right)=C_2^2.{\left(\frac{1}{2}\right)}^2,{\left(\frac{1}{2}\right)}^0=\frac{1}{4}$

Ta có bảng phân bố xác suất của X là:

Luyện tập – vận dụng 3 trang 17 Chuyên đề Toán 12: Gieo một xúc xắc cân đối và đồng chất 10 lần một cách độc lập. Tính xác suất mặt 1 chấm xuất hiện không quá 3 lần.

Lời giải:

Gọi X là số lần xuất hiện mặt 1 chấm trong 10 lần gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất một cách độc lập.

X là biến ngẫu nhiên rời rạc có phân bố nhị thức với tham số 10 và $p=\frac{1}{6}$.

Do đó $P\left(X\le 3\right)=P\left(X=0\right)+P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)$

$=C_{10}^0{\left(\frac{1}{6}\right)}^0.{\left(\frac{5}{6}\right)}^{10}+C_{10}^1{\left(\frac{1}{6}\right)}^1.{\left(\frac{5}{6}\right)}^9+C_{10}^2{\left(\frac{1}{6}\right)}^2.{\left(\frac{5}{6}\right)}^8+C_{10}^3{\left(\frac{1}{6}\right)}^3.{\left(\frac{5}{6}\right)}^7$

$=\frac{9765625}{60466176}+\frac{19531250}{60466176}+\frac{17578125}{60466176}+\frac{9375000}{60466176}$

$=\frac{56250000}{60466176}\approx \mathrm{0,93}$

Bài tập

Bài 1 trang 18 Chuyên đề Toán 12: Một bác sĩ chữa khỏi bệnh A cho một người bị bệnh đó với xác suất là 95

$=1-C_{20}^0{\mathrm{.0,7}}^0{\mathrm{.0,3}}^{20}-C_{20}^1{\mathrm{.0,7}}^1{\mathrm{.0,3}}^{19}$

$=1-{\mathrm{0,3}}^{20}-{\mathrm{14.0,3}}^{19}\approx \mathrm{0,9999}$

Vậy xác suất để có ít nhất 2 gia đình có ti vi khoảng 99,99

X₁

1

21

P

0,98²⁰

1 – 0,98²⁰

Do đó E(X₁) = 1. 0,98²⁰ + 21. (1 – 0,98²⁰) ≈ 7,65.

V(X₁) = 1². 0,98²⁰ + 21². (1 – 0,98²⁰) − 7,65² ≈ 88,73.

Vậy E(S) = 6.7,65 = 45,9.

V(S) = 6.88,73 = 532,38.

c) Vì E(S) = 45,9 < 48.

Do đó số lần xét nghiệm trung bình cho 120 mẫu máu đó theo cách ghép nhóm trên là nhỏ hơn 48.

Xem thêm các bài giải Chuyên đề học tập Toán 12 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 1: Biến ngẫu nhiên rời rạc. Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên rời rạc

Bài 2: Phân bố Bernoulli. Phân bố nhị thức

Bài 1: Vận dụng hệ bất phương trình bậc nhất để giải quyết một số bài toán quy hoạch tuyến tính

Bài 2: Vận dụng đạo hàm để giải quyết một số bài toán tối ưu trong thực tiễn

Bài 1: Một số vấn đề về tiền tệ, lãi suất