Giải bài tập SGK Bài 1,2,3 – Thể tích của khối đa diện – HH12
Bài tập 1 trang 25 SGK Hình học 12
Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a.
Hướng dẫn giải chi tiết bài 1
Cho tứ diện đều ABCD.
Hạ đường cao AH của tứ diện thì do các đường xiên AB, AC, AD bằng nhau nên các hình chiếu của chúng: HB, HC, HD bằng nhau. Do BCD là tam giác đều nên H là trọng tâm của tam giác BCD.
Do đó BH =
Từ đó suy ra AH2 = a2 – BH2 =\(\small \frac{6}{9}a^2\)
Nên AH =
Thể tích tứ diện đó V=
Bài tập 2 trang 25 SGK Hình học 12
Tính thể tích khối bát diện đều cạnh a.
Hướng dẫn giải chi tiết bài 2
Ta có:
\({V_{ABCDEF}} = {V_{ABCDE}} + {V_{FBCDE}} = 2{V_{ABCDE}} = 2.\frac{1}{2}{S_{BCDE}}.AO\)
Với O là tâm hình vuông BCDE.
Vì AO vuông góc với mặt phẳng BCDO nên theo định lý Pi-ta-go ta có:
\(AO = \sqrt {A{B^2} – B{O^2}} = \sqrt {{a^2} – {{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}} = \frac{a}{{\sqrt 2 }}\)
Vì BCDE là hình vuông cạnh a nên: \({S_{BCDE}} = {a^2}.\)
Do đó: \({V_{ABCDEF}} = \frac{2}{3}{a^2}.\frac{a}{{\sqrt 2 }} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}.\)
Bài tập 3 trang 25 SGK Hình học 12
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Tính thể tích của khối hộp đó và thể tích của khối tứ diện ACB’D’.
Hướng dẫn giải chi tiết bài 3
Gọi thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ là V
Ta có: \({V_{B’.ABC}} = \frac{1}{3}{V_{ABC.A’B’C’}} = \frac{1}{6}V.\)
\({V_{A.B’D’A’}} = \frac{1}{3}{V_{ABD.A’B’D’}} = \frac{1}{6}V.\)
\({V_{D’.ACD}} = \frac{1}{3}{V_{ACD.A’C’D’}} = \frac{1}{6}V.\)
\({V_{C.B’D’C’}} = \frac{1}{3}{V_{BCD.B’C’D’}} = \frac{1}{6}V.\)
Mặt khác: \({V_{C.AD’B’}} = V – \left( {{V_{B’.ABC}} + {V_{A.B’D’A’}} + {V_{D’.ACD}} + {V_{C.B’C’D’}}} \right) = V – \frac{4}{6}V = \frac{1}{3}V.\)
Do đó: \(\frac{{{V_{ABCD.A’B’C’D’}}}}{{{V_{ACB’D’}}}} = 3.\)
Trả lời