Cho dãy số (un) xác định bởi  u1=2un+1=un+12,n≥1 Khi đó mệnh đề nào sau đây là đúng?

Câu hỏi:

Cho dãy số $\left(u_n\right)$ xác định bởi  $\left\{\begin{array}{c}{u}_1=2\\ u_{n+1}=\frac{u_n+1}{2},\left(n\ge 1\right)\end{array}\right.$ Khi đó mệnh đề nào sau đây là đúng?

A.Dãy $\left(u_n\right)$ là dãy giảm tới 1 khi $n\to +\infty$

Đáp án chính xác

B.Dãy $\left(u_n\right)$ là dãy tăng tới 1 khi $n\to +\infty$

C.Không tồn tại giới hạn của dãy $\left(u_n\right)$

D.Cả 3 đáp án trên đều sai

Trả lời:

$u_2=\frac{2+1}{2}=\frac{3}{2}=\frac{2^1+1}{2^1}$
$u_3=\frac{\frac{3}{2}+1}{2}=\frac{5}{4}=\frac{2^2+1}{2^2}$
$u_4=\frac{\frac{5}{4}+1}{2}=\frac{9}{8}=\frac{2^3+1}{2^3}$
Chứng minh bằng quy nạp: $u_{n+1}=\frac{2^n+1}{2^n},\forall n=1;2;\mathrm{\dots }(\ast )$
* Với $n=1:u_2=\frac{u_1+1}{2}=\frac{2+1}{2}=\frac{2^1+1}{2^1}$: (*) đúng
* Giả sử (*) đúng với $n=k\ge 1$ tức là $u_k=\frac{2^k+1}{2^k}$ ta chứng minh (*) đúng với $n=k+1$ tức là cần chứng minh $u_{k+1}=\frac{2^{k+1}+1}{2^{k+1}}$
Ta có :
$u_{k+1}=\frac{u_k+1}{2}=\frac{\frac{2^k+1}{2^k}+1}{2}=\frac{\frac{2^k+1+2^k}{2^k}}{2}=\frac{{2.2}^k+1}{2^{k+1}}=\frac{2^{k+1}+1}{2^{k+1}}$
Theo nguyên lý quy nạp, ta chứng minh được (*).
Như vậy, công thức tổng quát của dãy $\left(u_n\right)$là:
$u_n=\frac{2^{n-1}+1}{2^{n-1}}=1+\frac{1}{2^{n-1}},\forall n=1;2;\mathrm{\dots }(\ast )$
Từ (*) ta có $u_{n+1}-u_n=1+\frac{1}{2^n}-\left(1+\frac{1}{2^{n-1}}\right)$
$=\frac{1}{2^n}-\frac{1}{2^{n+1}}<0\forall n=1,2,\mathrm{\dots }\Rightarrow \left(u_n\right)$là dãy giảm và  
$\lim u_n=\lim \left(1+\frac{1}{2^{n-1}}\right)=1\Rightarrow$là dãy giảm tới 1 khi $n\to +\infty$
Đáp án cần chọn là: A

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Biết limun=3. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Biết $\lim u_n=3$. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.

   A.$\lim \frac{3u_n-1}{u_n+1}=3$

   B. $\lim \frac{3u_n-1}{u_n+1}=-1$

   C. $\lim \frac{3u_n-1}{u_n+1}=2$

   Đáp án chính xác

   D.$\lim \frac{3u_n-1}{u_n+1}=1$
   
   

   Trả lời:

   Ta có: $\lim \frac{3u_n-1}{u_n+1}=\frac{3\lim u_n-1}{\lim u_n+1}=\frac{3.3-1}{3+1}=\frac{8}{4}=2$

   Đáp án cần chọn là: C

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho hai dãy số un,vn thỏa mãn  un≤vn với mọi n và limun=0 thì:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hai dãy số $\left(u_n\right),\left(v_n\right)$ thỏa mãn  $\left|u_n\right|\le v_n$ với mọi n và $\lim u_n=0$ thì:

   A.$\lim u_n=0$  

   Đáp án chính xác

   B.$\lim u_n>\lim v_n$

   C.$\lim u_n<\lim v_n$

   D.$\lim u_n<0$

   Trả lời:

   Định lý: Cho hai dãy số$\left(u_n\right)$và$\left(v_n\right)$Nếu$\left|u_n\right|\le v_n$với mọi n và $\lim v_n=0$ thì $\lim u_n=0$
   Đáp án cần chọn là: A

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho n∈N∗ nếu |q|&lt;1 thì:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho $n\in N^{\ast }$ nếu $\left|q\right|<1$thì:

   A.$\lim q^n=0$

   Đáp án chính xác

   B.$\lim q=0$

   C.$\lim \left(n.q\right)=0$

   D.$\lim \frac{n}{q}=0$

   Trả lời:

   Định lý: Nếu$\left|q\right|<1$thì $\lim q^n=0$
   Đáp án cần chọn là: A

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho cấp số nhân lùi vô hạn uncông bội q. Đặt S=u1+u2+…+un+… thì:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho cấp số nhân lùi vô hạn $\left(u_n\right)$công bội q. Đặt $S=u_1+u_2+\mathrm{\dots }+u_n+\mathrm{\dots }$ thì:

   A.$S=\frac{u_1}{1-q}$

   Đáp án chính xác

   B.$S=\frac{u_1}{q-1}$

   C.$S=\frac{1-q}{u_n}$

   D.$S=\frac{u_1}{1-q^n}$

   Trả lời:

   Công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn: $S=u_1+u_2+\mathrm{\dots }+u_n+\mathrm{\dots }=\frac{u_1}{1-q}$
   Đáp án cần chọn là: A

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Gọi S là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn un có công bội qq&lt;1. Khẳng định nào sau đây đúng ?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Gọi S là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn $\left(u_n\right)$có công bội $q\left(\left|q\right|<1\right)$. Khẳng định nào sau đây đúng ?

   A.$S=\frac{u_1}{1-q}$

   Đáp án chính xác

   B.$S=\frac{u_1}{1+q}$

   C.$S=\frac{1}{u_1-q}$

   D.$S=\frac{u_1}{q-1}$

   Trả lời:

   $\begin{array}{l}S=u_1+u_2+\mathrm{\dots }\\ =u_1\left(1+q+q^2+\mathrm{\dots }\right)\\ =\frac{u_1}{1-q}\end{array}$

   Đáp án cần chọn là: A

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====