Cho tam giác đều ABC cạnh a. Tam giác A1B1C1 có đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác ABC, tam giác A2B2C2 có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác A1B1C1,…, tam giác AnBnCnAnBnCn có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác An−1Bn−1Cn−1…. Goi P,P1,P2,…,Pn,… là chu vi của các tam giác ABC,A1B1C1,A2B2C2,…,AnBnCn,… Tìm tổng P,P1,P2,…,Pn,…

Câu hỏi:

Cho tam giác đều ABC cạnh a. Tam giác $A_1{B}_1{C}_1$ có đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác ABC, tam giác $A_2{B}_2{C}_2$ có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác $A_1{B}_1{C}_1$,…, tam giác AnBnCnAnBnCn có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác $A_{n-1}{B}_{n-1}{C}_{n-1}\dots .Goi P,P_1,P_2,\mathrm{\dots },P_n,\mathrm{\dots }$ là chu vi của các tam giác $ABC,A_1{B}_1{C}_1,A_2{B}_2{C}_2,\mathrm{\dots },A_n{B}_n{C}_n,\mathrm{\dots }$ Tìm tổng $P,P_1,P_2,\mathrm{\dots },P_n,\mathrm{\dots }$

A.9a

B.6a

Đáp án chính xác

C.$+\infty$

D.3a

Trả lời:

Bước 1:
Gọi $a_n$ là cạnh của tam giác $A_n{B}_n{C}_n$ với n nguyên dương.
Ta cần chứng minh cạnh của tam giác bất kì $A_n{B}_n{C}_n$ bằng$a_n=\frac{a}{2^n}$ với mọi số nguyên dương n   (*)
Vì $A_1,B_1,C_1$ là trung điểm các cạnh của tam giác ABC nên $a_1=\frac{a}{2}$
Cạnh của tam giác $A_1{B}_1{C}_1$ có cạnh là $\frac{a}{2}=\frac{a}{2^1}$
Giả sử (*) đúng với $n=k$
Tức là cạnh của tam giác $A_k{B}_k{C}_k$ là $a_k=\frac{a}{2^k}$
Ta có $A_{k+1}{B}_{k+1}{C}_{k+1}$ có cạnh bằng một nửa cạnh của tam giác $A_k{B}_k{C}_k$ nên có cạnh là $a_{k+1}=\frac{a_k}{2}=\frac{1}{2}.\frac{a}{2^k}=\frac{a}{2^{k+1}}$
=> (*) đúng với $n=k+1$
=> (*) đúng với mọi số nguyên dương n.
=> Chu vi của tam giác $A_n{B}_n{C}_n$ như giả thiết là $P_n=\frac{3a}{2^n}$
Bước 2:
Như vậy $P=3a;P_1=\frac{3a}{2};P_2=\frac{3a}{2^2};\mathrm{\dots };P_n=\frac{3a}{2^n};\mathrm{\dots }$
Dãy số $\left(P_n\right)$ gồm $P,P_1,P_2,\mathrm{\dots }$ là cấp số nhân với số hạng đầu là $P=3a$ công bội $q=\frac{1}{2}$
$\Rightarrow P+P_1+P_2+\mathrm{\dots }=\frac{3a}{1-\frac{1}{2}}=6a$
Đáp án cần chọn là: B

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Biết limun=3. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Biết $\lim u_n=3$. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.

   A.$\lim \frac{3u_n-1}{u_n+1}=3$

   B. $\lim \frac{3u_n-1}{u_n+1}=-1$

   C. $\lim \frac{3u_n-1}{u_n+1}=2$

   Đáp án chính xác

   D.$\lim \frac{3u_n-1}{u_n+1}=1$
   
   

   Trả lời:

   Ta có: $\lim \frac{3u_n-1}{u_n+1}=\frac{3\lim u_n-1}{\lim u_n+1}=\frac{3.3-1}{3+1}=\frac{8}{4}=2$

   Đáp án cần chọn là: C

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho hai dãy số un,vn thỏa mãn  un≤vn với mọi n và limun=0 thì:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hai dãy số $\left(u_n\right),\left(v_n\right)$ thỏa mãn  $\left|u_n\right|\le v_n$ với mọi n và $\lim u_n=0$ thì:

   A.$\lim u_n=0$  

   Đáp án chính xác

   B.$\lim u_n>\lim v_n$

   C.$\lim u_n<\lim v_n$

   D.$\lim u_n<0$

   Trả lời:

   Định lý: Cho hai dãy số$\left(u_n\right)$và$\left(v_n\right)$Nếu$\left|u_n\right|\le v_n$với mọi n và $\lim v_n=0$ thì $\lim u_n=0$
   Đáp án cần chọn là: A

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho n∈N∗ nếu |q|&lt;1 thì:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho $n\in N^{\ast }$ nếu $\left|q\right|<1$thì:

   A.$\lim q^n=0$

   Đáp án chính xác

   B.$\lim q=0$

   C.$\lim \left(n.q\right)=0$

   D.$\lim \frac{n}{q}=0$

   Trả lời:

   Định lý: Nếu$\left|q\right|<1$thì $\lim q^n=0$
   Đáp án cần chọn là: A

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho cấp số nhân lùi vô hạn uncông bội q. Đặt S=u1+u2+…+un+… thì:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho cấp số nhân lùi vô hạn $\left(u_n\right)$công bội q. Đặt $S=u_1+u_2+\mathrm{\dots }+u_n+\mathrm{\dots }$ thì:

   A.$S=\frac{u_1}{1-q}$

   Đáp án chính xác

   B.$S=\frac{u_1}{q-1}$

   C.$S=\frac{1-q}{u_n}$

   D.$S=\frac{u_1}{1-q^n}$

   Trả lời:

   Công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn: $S=u_1+u_2+\mathrm{\dots }+u_n+\mathrm{\dots }=\frac{u_1}{1-q}$
   Đáp án cần chọn là: A

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Gọi S là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn un có công bội qq&lt;1. Khẳng định nào sau đây đúng ?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Gọi S là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn $\left(u_n\right)$có công bội $q\left(\left|q\right|<1\right)$. Khẳng định nào sau đây đúng ?

   A.$S=\frac{u_1}{1-q}$

   Đáp án chính xác

   B.$S=\frac{u_1}{1+q}$

   C.$S=\frac{1}{u_1-q}$

   D.$S=\frac{u_1}{q-1}$

   Trả lời:

   $\begin{array}{l}S=u_1+u_2+\mathrm{\dots }\\ =u_1\left(1+q+q^2+\mathrm{\dots }\right)\\ =\frac{u_1}{1-q}\end{array}$

   Đáp án cần chọn là: A

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====