Câu hỏi:
Tính tích phân \(I = \mathop \smallint \limits_1^e x\ln x{\rm{d}}x\)
A.\(I = \frac{1}{2}\)
B. \(I = \frac{{3{e^2} + 1}}{4}\)
C. \(I = \frac{{{e^2} + 1}}{4}\)
Đáp án chính xác
D. \(I = \frac{{{e^2} – 1}}{4}\)
Trả lời:
Dùng máy tính kiểm tra từng đáp án hoặc:
Đặt\(u = \ln x,dv = xdx \Rightarrow du = \frac{{dx}}{x},v = \frac{{{x^2}}}{2}\)
\(I = \frac{{{x^2}lnx}}{2}\left| {_1^e} \right. – \int\limits_1^e {\frac{x}{2}} dx = \frac{{{e^2}}}{2} – \frac{{{x^2}}}{4}\left| {_1^e} \right. = \frac{{{e^2}}}{2} – \left( {\frac{{{e^2}}}{2} – \frac{1}{4}} \right) = \frac{{{e^2} + 1}}{4}\)
Đáp án cần chọn là: C
====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Cho tích phân \(I = \mathop \smallint \limits_a^b f\left( x \right).g'\left( x \right){\rm{d}}x,\), nếu đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = f(x)}\\{dv = g\prime (x)dx}\end{array}} \right.\) thì – ĐGNL-HN
Câu hỏi:
Cho tích phân \(I = \mathop \smallint \limits_a^b f\left( x \right).g’\left( x \right){\rm{d}}x,\), nếu đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = f(x)}\\{dv = g\prime (x)dx}\end{array}} \right.\) thì
A.\(I = f\left( x \right).g’\left( x \right)\left| {_a^b} \right. – \int\limits_a^b {f’\left( x \right)} .g\left( x \right)dx\)
B. \(I = f\left( x \right).g\left( x \right)\left| {_a^b} \right. – \int\limits_a^b {f\left( x \right)} .g\left( x \right)dx\)
C. \(I = f\left( x \right).g\left( x \right)\left| {_a^b} \right. – \int\limits_a^b {f’\left( x \right)} .g\left( x \right)dx\)
Đáp án chính xác
D. \(I = f\left( x \right).g’\left( x \right)\left| {_a^b} \right. – \int\limits_a^b {f\left( x \right)} .g’\left( x \right)dx\)
Trả lời:
Đặt\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = f(x)}\\{dv = g\prime (x)dx}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{du = f\prime (x)dx}\\{v = g(x)}\end{array}} \right.\) khi đó
\(I = f\left( x \right).g\left( x \right)\left| {_a^b} \right. – \int\limits_a^b {f’\left( x \right)} .g\left( x \right)dx\)
Đáp án cần chọn là: C====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Để tính \(I = \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} {x^2}\,\cos x\,{\rm{d}}x\) theo phương pháp tích phân từng phần, ta đặt – ĐGNL-HN
Câu hỏi:
Để tính \(I = \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} {x^2}\,\cos x\,{\rm{d}}x\) theo phương pháp tích phân từng phần, ta đặt
A.\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = x}\\{dv = xcosxdx}\end{array}} \right.\)
B. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = {x^2}}\\{dv = cosxdx}\end{array}} \right.\)
Đáp án chính xác
C. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = cosx}\\{dv = {x^2}dx}\end{array}} \right.\)
D. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = {x^2}cosx}\\{dv = dx}\end{array}} \right.\)
Trả lời:
Đặt\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = {x^2}}\\{dv = cosxdx}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{du = 2xdx}\\{v = sinx}\end{array}} \right.\)khi đó\(I = {x^2}sinx\left| {_0^{\frac{\pi }{2}}} \right. – 2\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {xsinxdx} \)
Đáp án cần chọn là: B====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Cho f(x),g(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\;\)và thỏa mãn điều kiện \(\int\limits_0^1 {g\left( x \right)} .f'\left( x \right)dx = 1,\int\limits_0^1 {g'\left( x \right)} .f\left( x \right)dx = 2\). Tính tích phân \(I = \int\limits_0^1 {\left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right]} 'dx\)A.I=2 – ĐGNL-HN
Câu hỏi:
Cho f(x),g(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\;\)và thỏa mãn điều kiện \(\int\limits_0^1 {g\left( x \right)} .f’\left( x \right)dx = 1,\int\limits_0^1 {g’\left( x \right)} .f\left( x \right)dx = 2\). Tính tích phân \(I = \int\limits_0^1 {\left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right]} ‘dx\)A.I=2
B.I=1
C.I=3
Đáp án chính xác
D.I=−1
Trả lời:
Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = g(x)}\\{dv = f\prime (x)dx}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{du = g\prime (x)dx}\\{v = f(x)}\end{array}} \right.\)
Khi đó
\(\int\limits_0^1 {g\left( x \right)} .f’\left( x \right)dx = \left[ {g(x).f(x)} \right]\left| {_0^1} \right. – \int\limits_0^1 {g’\left( x \right)} .f\left( x \right)dx\)
\( \Leftrightarrow \left[ {g(x).f(x)} \right]\left| {_0^1} \right. = 3\)
Mặt khác\(I = \int\limits_0^1 {\left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right]} ‘dx = \left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right]\left| {_0^1} \right. \Rightarrow I = 3\)
Đáp án cần chọn là: C====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Cho \(F\left( x \right) = {x^2}\) là nguyên hàm của hàm số \(f(x){e^{2x}}\;\) và f(x) là hàm số thỏa mãn điều kiện \(f\left( 0 \right) = 0,f\left( 1 \right) = \frac{2}{{{e^2}}}.\). Tính tích phân \(I = \int\limits_0^1 {f'\left( x \right)} {e^{2x}}dx\) – ĐGNL-HN
Câu hỏi:
Cho \(F\left( x \right) = {x^2}\) là nguyên hàm của hàm số \(f(x){e^{2x}}\;\) và f(x) là hàm số thỏa mãn điều kiện \(f\left( 0 \right) = 0,f\left( 1 \right) = \frac{2}{{{e^2}}}.\). Tính tích phân \(I = \int\limits_0^1 {f’\left( x \right)} {e^{2x}}dx\)
A.\(I = 0.\)
Đáp án chính xác
B. \(I = – \,1.\)
C. \(I = 1.\)
D. \(I = 2.\)
Trả lời:
Vì \({x^2}\) là một nguyên hàm của hàm số\(f\left( x \right){e^{2x}} \Rightarrow \smallint f\left( x \right){e^{2x}}\,{\rm{d}}x = {x^2}.\)
Đặt\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = {e^{2x}}}\\{dv = f\prime (x)dx}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{du = 2{e^{2x}}dx}\\{v = f(x)}\end{array}} \right.\) khi đó
\(\int\limits_0^1 {f’\left( x \right)} {e^{2x}}dx = f(x){e^{2x}}\left| {_0^1} \right. – 2\int\limits_0^1 {f(x){e^{2x}}dx} \)
Suy ra\(I = {e^2}f(1) – f(0) – 2{x^2}\left| {_0^1} \right. = 2 – 0 – 2 = 0\)
Vậy\(I = 0\)Đáp án cần chọn là: A
====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Cho tích phân \(I = \mathop \smallint \limits_1^2 \frac{{x + \ln x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}{\rm{d}}x = a + b.\ln 2 – c.\ln 3\)với\(a,b,c \in R\), tỉ số \(\frac{c}{a}\) bằng – ĐGNL-HN
Câu hỏi:
Cho tích phân \(I = \mathop \smallint \limits_1^2 \frac{{x + \ln x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}{\rm{d}}x = a + b.\ln 2 – c.\ln 3\)với\(a,b,c \in R\), tỉ số \(\frac{c}{a}\) bằng
A.8.
B.9.
C.24.
D.36
Đáp án chính xác
Trả lời:
Đặt\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = x + lnx}\\{dv = \frac{{dx}}{{{{(x + 1)}^3}}}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{du = \frac{{x + 1}}{x}dx}\\{v = – \frac{1}{{2{{(x + 1)}^2}}}}\end{array}} \right.\)
Khi đó\(I = – \frac{{x + lnx}}{{2{{(x + 1)}^2}}}\left| {_1^2} \right. + \int\limits_1^2 {\frac{{x + 1}}{x}.\frac{1}{{2{{(x + 1)}^2}}}} dx\)
\( = – \frac{{2 + \ln 2}}{{18}} + \frac{1}{8} + \frac{1}{2}\mathop \smallint \limits_1^2 \frac{{{\rm{d}}x}}{{x\left( {x + 1} \right)}}\)
\( = – \frac{{2 + \ln 2}}{{18}} + \frac{1}{8} + \frac{1}{2}\mathop \smallint \limits_1^2 \left( {\frac{1}{x} – \frac{1}{{x + 1}}} \right){\rm{d}}x.\)
\( = – \frac{{2 + ln2}}{{18}} + \frac{1}{8} + \frac{1}{2}(ln|x| – ln|x + 1|)\left| {_1^2} \right.\)
\(\begin{array}{l} = \frac{1}{{72}} – \frac{1}{{18}}ln2 + \frac{1}{2}(ln2 – ln3 + ln2)\\ = \frac{1}{{72}} + \frac{{17}}{{18}}ln2 – \frac{1}{2}\ln 3\\ = a + b.ln2 – c.ln3\end{array}\)
Vậy\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = \frac{1}{{72}}}\\{b = \frac{{17}}{{18}}}\\{c = \frac{1}{2}}\end{array}} \right. \Rightarrow \frac{c}{a} = \frac{1}{2}:\frac{1}{{72}} = 36\)
Đáp án cần chọn là: D====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
Trả lời