Câu hỏi:
Hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^3} – 3x = {y^3} – 3y}\\{{x^6} + {y^6} = 27}\end{array}} \right.\)có bao nhiêu nghiệm ?
A.6.
Đáp án chính xác
B.2.
C.8.
D.4.
Trả lời:
Ta có :
\({x^3} – 3x = {y^3} – 3y \Leftrightarrow \left( {x – y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right) – 3\left( {x – y} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {x – y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2} – 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = y}\\{{x^2} + xy + {y^2} – 3 = 0}\end{array}} \right.\)
Khi x = y thì\({x^6} + {x^6} = 27 \Leftrightarrow {x^6} = \frac{{27}}{2} \Leftrightarrow x = \pm \sqrt[6]{{\frac{{27}}{2}}}\)
Do đó hệ có nghiệm \(\left( { \pm \sqrt[6]{{\frac{{27}}{2}}}; \pm \sqrt[6]{{\frac{{27}}{2}}}} \right)\)
Khi\({x^2} + xy + {y^2} – 3 = 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 3 – xy\) ta có \({x^6} + {y^6} = 27\)\( \Leftrightarrow \left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left( {{x^4} – {x^2}{y^2} + {y^4}} \right) = 27 \Rightarrow \left( {3 – xy} \right)\left[ {{{\left( {3 – xy} \right)}^2} – 3{x^2}{y^2}} \right] = 27\)
\( \Leftrightarrow (3 – xy)(9 – 6xy + {x^2}{y^2} – 3{x^2}{y^2}) = 27\)
\( \Leftrightarrow 27 – 9xy – 18xy + 6{x^2}{y^2} + 3{x^2}{y^2} – {x^3}{y^3} – 9{x^2}{y^2} + 3{x^3}{y^3} = 27\)
\( \Leftrightarrow 2{x^3}{y^3} – 27xy = 0\)
\( \Leftrightarrow xy(2{x^2}{y^2} – 27) = 0\)
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{y = 0}\\{{x^2}{y^2} = \frac{{27}}{2}}\end{array}} \right.\)
+) Nếu x = 0 thì\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 = {y^3} – 3y}\\{{y^6} = 27}\end{array} \Leftrightarrow {y^2} = 3 \Leftrightarrow y = \pm \sqrt 3 } \right.\) nên phương trình có hai nghiệm \(\left( {0; \pm \sqrt 3 } \right)\)
+) Nếu y = 0 thì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^3} – 3x = 0}\\{{x^6} = 27}\end{array}} \right. \Leftrightarrow {x^2} = 3 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt 3 \) nên phương trình có hai nghiệm\(\left( { \pm \sqrt 3 ;0} \right)\)
+) Nếu\({x^2}{y^2} = \frac{{27}}{2} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{xy = \frac{{3\sqrt 6 }}{2}}\\{xy = – \frac{{3\sqrt 6 }}{2}}\end{array}} \right.\)
TH1:\(xy = \frac{{3\sqrt 6 }}{2}\) thì:
\({x^2} + {y^2} = 3 – xy = 3 – \frac{{3\sqrt 6 }}{2} < 0\) nên ph vô nghiệm.
TH2: \(xy = – \frac{{3\sqrt 6 }}{2}\) thì:
\({x^2} + {y^2} = 3 – xy = 3 + \frac{{3\sqrt 6 }}{2}\)
\( \Leftrightarrow {(x + y)^2} – 2xy = 3 + \frac{{3\sqrt 6 }}{2}\)
\( \Leftrightarrow {(x + y)^2} + 2.\frac{{3\sqrt 6 }}{2} = 3 + \frac{{3\sqrt 6 }}{2}\)
\( \Leftrightarrow {(x + y)^2} = 3 – \frac{{3\sqrt 6 }}{2} < 0\)
Nên phương trình vô nghiệm.
Vậy hệ đã cho có 6 nghiệm phân biệt.
Đáp án cần chọn là: A
====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x – y = 9}\\{x.y = 90}\end{array}} \right.\)có nghiệm là : – ĐGNL-HN
Câu hỏi:
Hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x – y = 9}\\{x.y = 90}\end{array}} \right.\)có nghiệm là :
A.(15;6),(6;15).
B.(−15;−6),(−6;−15).
C.(15;6),(−6;−15).
Đáp án chính xác
D.(15;6),(6;15),(−15;−6),(−6;−15).
Trả lời:
– Từ phương trình đầu suy ra y = x – 9
– Thay vào phương trình dưới ta được:
\(x(x – 9) = 90 \Leftrightarrow {x^2} – 9x – 90 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 15 \Rightarrow y = 6}\\{x = – 6 \Rightarrow y = – 15}\end{array}} \right.\)
Đáp án cần chọn là: C====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x.y + x + y = 11}\\{{x^2}y + x{y^2} = 30}\end{array}} \right.\) – ĐGNL-HN
Câu hỏi:
Hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x.y + x + y = 11}\\{{x^2}y + x{y^2} = 30}\end{array}} \right.\)
A.có 2 nghiệm (2;3) và (1;5).
B.có 2 nghiệm (2;1) và (3;5).
C.có 1 nghiệm là (5;6).
D.có 4 nghiệm (2;3),(3;2),(1;5),(5;1).
Đáp án chính xác
Trả lời:
Đặt \(S = x + y,P = xy\left( {{S^2} – 4P \ge 0} \right)\)
Hệ phương trình tương đương \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{S + P = 11}\\{SP = 30}\end{array}} \right. \Rightarrow S\left( {11 – S} \right) = 30\)\( \Rightarrow – {S^2} + 11S – 30 = 0 \Rightarrow S = 5;S = 6\)
Khi S = 5 thì P = 6 nên x,y là nghiệm của hệ phương trình
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y = 5}\\{xy = 6}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2;y = 3}\\{x = 3;y = 2}\end{array}} \right.\) suy ra hệ có nghiệm (2;3),(3;2)
Khi S = 6 thì P = 5 nên x,y là nghiệm của hệ phương trình
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y = 6}\\{xy = 5}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1;y = 5}\\{x = 5;y = 1}\end{array}} \right.\)suy ra hệ có nghiệm (1;5),(5;1).
Đáp án cần chọn là: D====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + {y^2} = 1}\\{y = x + m}\end{array}} \right.\) có đúng 1 nghiệm khi và chỉ khi : – ĐGNL-HN
Câu hỏi:
Hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + {y^2} = 1}\\{y = x + m}\end{array}} \right.\) có đúng 1 nghiệm khi và chỉ khi :
A.\(m = \sqrt 2 .\)
B. \(m = – \sqrt 2 .\)
C. \(m = \sqrt 2 \)hoặc \(m = – \sqrt 2 .\)
Đáp án chính xác
D. m tùy ý
Trả lời:
Ta có : \(y = x + m \Rightarrow {x^2} + {\left( {x + m} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow 2{x^2} + 2mx + {m^2} – 1 = 0\;\;\left( * \right)\)
Hệ phương trình có đúng 1 nghiệm khi phương trình (∗) có đúng 1 nghiệm
\( \Leftrightarrow {\rm{\Delta ‘}} = {m^2} – 2{m^2} + 2 = 0 \Leftrightarrow m = \pm \sqrt 2 .\)
Đáp án cần chọn là: C====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left| {x – 1} \right| + y = 0}\\{2x – y = 5}\end{array}} \right.\) có nghiệm là ? – ĐGNL-HN
Câu hỏi:
Hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left| {x – 1} \right| + y = 0}\\{2x – y = 5}\end{array}} \right.\) có nghiệm là ?
A.x = −3 ; y = 2.
B.x = 2; y = −1.
Đáp án chính xác
C.x = 4; y = −3.
D.x = −4; y = 3.
Trả lời:
– Ta có :\(2x – y = 5 \Leftrightarrow y = 2x – 5\)
– Thay \(y = 2x – 5\)vào phương trình dưới ta được :
\(\left| {x – 1} \right| + 2x – 5 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5 – 2x \ge 0}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x – 1 = 5 – 2x}\\{x – 1 = – 5 + 2x}\end{array}} \right.}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \le \frac{5}{2}}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x = 6}\\{ – x = – 4}\end{array}} \right.}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \le \frac{5}{2}}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2}\\{x = 4}\end{array}} \right.}\end{array}} \right. \Leftrightarrow x = 2\)
\( \Rightarrow y = – 1\)
Đáp án cần chọn là: B====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y + xy = 5}\\{{x^2} + {y^2} = 5}\end{array}} \right.\) có nghiệm là : – ĐGNL-HN
Câu hỏi:
Hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y + xy = 5}\\{{x^2} + {y^2} = 5}\end{array}} \right.\) có nghiệm là :
A.(2;1).
B.(1;2).
C.(2;1),(1;2).
Đáp án chính xác
D.Vô nghiệm
Trả lời:
– Đặt\(S = x + y,P = xy\left( {{S^2} – 4P \ge 0} \right)\)
Ta có : \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{S + P = 5}\\{{S^2} – 2P = 5}\end{array}} \right. \Rightarrow {S^2} – 2\left( {5 – S} \right) = 5 \Rightarrow {S^2} + 2S – 15 = 0\)
\( \Rightarrow S = – 5;S = 3\)+) \(S = – 5 \Rightarrow P = 10\)(loại)
+)\(S = 3 \Rightarrow P = 2\)(nhận)
Khi đó : x,y là nghiệm của phương trình \({X^2} – 3X + 2 = 0 \Leftrightarrow X = 1;X = 2\)
Vậy hệ có nghiệm (2;1),(1;2).
Đáp án cần chọn là: C====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
