Câu hỏi:
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của y sao cho tương ứng với mọi y luôn tồn tại không quá 63 số nguyên x thỏa mãn điều kiện \({\log _{2020}}\left( {x + {y^2}} \right) + {\log _{2021}}\left( {{y^2} + y + 64} \right) \ge {\log _4}\left( {x – y} \right)\)
Trả lời:
Bước 1: Đặt\(f\left( x \right) = {\log _{2020}}\left( {x + {y^2}} \right) + {\log _{2021}}\left( {{y^2} + y + 64} \right) – {\log _4}\left( {x – y} \right)\) và tìm điều kiện xác định.
Đặt\(f\left( x \right) = {\log _{2020}}\left( {x + {y^2}} \right) + {\log _{2021}}\left( {{y^2} + y + 64} \right) – {\log _4}\left( {x – y} \right)\) (coi yy là tham số).
Điều kiện xác định của f(x) là:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + {y^2} > 0}\\{{y^2} + y + 64 > 0}\\{x – y > 0}\end{array}} \right.\)
Do x,y nguyên nên\(x > y \ge – {y^2}\) Cũng vì x,y nguyên nên ta chỉ xét f(x) trên nửa khoảng \(\left[ {y + 1; + \infty } \right)\)
Bước 2: Xét hàm số trên\(\left[ {y + 1; + \infty } \right)\)
Ta có:
\(f’\left( x \right) = \frac{1}{{\left( {x + {y^2}} \right)\ln 2020}} – \frac{1}{{\left( {x – y} \right)\ln 2021}} – \frac{1}{{\left( {x – y} \right)\ln 4}} < 0,\;\forall x \ge y + 1\)
Bước 3: Lập bảng biến thiên
Ta có bảng biến thiên của hàm số f(x):
Bước 4: Tìm y nguyên \(f\left( {y + 64} \right) < 0\)
Yêu cầu bài toán trở thành:
\(f\left( {y + 64} \right) < 0\)
\( \Leftrightarrow {\log _{2020}}\left( {{y^2} + y + 64} \right) + {\log _{2021}}\left( {{y^2} + y + 64} \right) < {\log _4}64\)
\( \Leftrightarrow {\log _{2021}}\left( {{y^2} + y + 64} \right)\left( {{{\log }_{2020}}2021 + 1} \right) < 3\)
\( \Leftrightarrow {y^2} + y + 64 – {2021^{\frac{3}{{{{\log }_{2020}}2021 + 1}}}} < 0\)
\( \Leftrightarrow – 301,76 < y < 300,76\)
Mà y nguyên nên\(y \in \left\{ { – 301; – 300; \ldots ;299;300} \right\}\)
Vậy có 602 giá trị nguyên của yy thỏa mãn yêu cầu.
====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Bất phương trình \({\log _{\frac{4}{{25}}}}(x + 1) \ge {\log _{\frac{2}{5}}}x\) tương đương với bất phương trình nào dưới đây? – ĐGNL-HN
Câu hỏi:
Bất phương trình \({\log _{\frac{4}{{25}}}}(x + 1) \ge {\log _{\frac{2}{5}}}x\) tương đương với bất phương trình nào dưới đây?
A.\(2{\log _{\frac{2}{5}}}(x + 1) \ge {\log _{\frac{2}{5}}}x\)
B. \({\log _{\frac{4}{{25}}}}x + {\log _{\frac{4}{{25}}}}1 \ge {\log _{\frac{2}{5}}}x\)
C. \({\log _{\frac{2}{5}}}(x + 1) \ge 2{\log _{\frac{2}{5}}}x\)
Đáp án chính xác
D. \({\log _{\frac{2}{5}}}(x + 1) \ge {\log _{\frac{4}{{25}}}}x\)
Trả lời:
Ta có \({\log _{\frac{4}{{25}}}}\left( {x + 1} \right) = \frac{1}{2}{\log _{\frac{2}{5}}}\left( {x + 1} \right)\)nên bất phương trình đã cho tương đương với:
\(\frac{1}{2}{\log _{\frac{2}{5}}}\left( {x + 1} \right) \ge {\log _{\frac{2}{5}}}x \Leftrightarrow {\log _{\frac{2}{5}}}\left( {x + 1} \right) \ge 2{\log _{\frac{2}{5}}}x\)Đáp án cần chọn là: C
====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Số nguyên nhỏ nhất thỏa mãn \({\log _2}\left( {5x – 3} \right) > 5\) là: – ĐGNL-HN
Câu hỏi:
Số nguyên nhỏ nhất thỏa mãn \({\log _2}\left( {5x – 3} \right) > 5\) là:
A.6
B.8
Đáp án chính xác
C.1
D.0
Trả lời:
Điều kiện:\(x > \frac{3}{5}\)
\({\log _2}\left( {5x – 3} \right) > 5 \Leftrightarrow 5x – 3 > {2^5} \Leftrightarrow 5x > 35 \Leftrightarrow x > 7\)
Vậy số nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình là x=8.
Đáp án cần chọn là: B====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x – 1} \right) > {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {5 – 2x} \right)\) – ĐGNL-HN
Câu hỏi:
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x – 1} \right) > {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {5 – 2x} \right)\)
A.\(S = \left( { – \infty ;2} \right)\)
B. \(S = \left( {2;\frac{5}{2}} \right)\)
C. \(S = \left( {\frac{5}{2}; + \infty } \right)\)
D. \(S = \left( {1;2} \right)\)
Đáp án chính xác
Trả lời:
Điều kiện\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x – 1 > 0}\\{5 – 2x > 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 1}\\{x < \frac{5}{2}}\end{array}} \right.\)
\({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x – 1} \right) > {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {5 – 2x} \right) \Leftrightarrow x – 1 < 5 – 2x \Leftrightarrow x < 2\)
Kết hợp với điều kiện suy ra\(S = (1;2)\)Đáp án cần chọn là: D
====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình \(4.{\left( {{{\log }_2}\sqrt x } \right)^2} + {\log _2}x + m \ge 0\)nghiệm đúng với mọi giá trị \(x \in \left[ {1;64} \right]\) – ĐGNL-HN
Câu hỏi:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình \(4.{\left( {{{\log }_2}\sqrt x } \right)^2} + {\log _2}x + m \ge 0\)nghiệm đúng với mọi giá trị \(x \in \left[ {1;64} \right]\)
A.m<0.
B.\(m \le 0\;\)
C.\(m \ge 0\)
Đáp án chính xác
D.m>0.
Trả lời:
Điều kiện : \(x > 0\)\(4.{\left( {{{\log }_2}\sqrt x } \right)^2} + {\log _2}x + m \ge 0 \Leftrightarrow 4.{\left( {{{\log }_2}\sqrt x } \right)^2} + 2.{\log _2}\sqrt x \ge – m\)(1)
Đặt\(t = {\log _2}\sqrt x \) Khi\(x \in \left[ {1;64} \right] \Rightarrow t \in \left[ {0;3} \right]\)
Ta có bất phương trình\(4{t^2} + 2t \ge – m\)
Xét\(f(t) = 4{t^2} + 2t;f'(t) = 8t + 2 > 0,\forall t \in \left[ {0;3} \right]\)
Để (1) nghiệm đúng với\(\forall t \in \left[ {0;3} \right]\) thì\(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f\left( t \right) \ge – m\)
\( \Leftrightarrow f(0) \ge – m \Leftrightarrow 0 \ge – m \Leftrightarrow m \ge 0\)
Đáp án cần chọn là: C====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Tập nghiệm của bất phương trình \(\ln \left[ {\left( {x – 1} \right)\left( {x – 2} \right)\left( {x – 3} \right) + 1} \right] > 0\) là: – ĐGNL-HN
Câu hỏi:
Tập nghiệm của bất phương trình \(\ln \left[ {\left( {x – 1} \right)\left( {x – 2} \right)\left( {x – 3} \right) + 1} \right] > 0\) là:
A.\(\left( {1;2} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\)
Đáp án chính xác
B. \(\left( { – \infty ;1} \right) \cup \left( {2;3} \right)\)
C. \(\left( {1;2} \right) \cap \left( {3; + \infty } \right)\)
D. \(\left( { – \infty ;1} \right) \cap \left( {2;3} \right)\)
Trả lời:
\(\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}\ln \left[ {\left( {x – 1} \right)\left( {x – 2} \right)\left( {x – 3} \right) + 1} \right] > 0\\ \Leftrightarrow \left( {x – 1} \right)\left( {x – 2} \right)\left( {x – 3} \right) + 1 > 1\end{array}\\{ \Leftrightarrow \left( {x – 1} \right)\left( {x – 2} \right)\left( {x – 3} \right) > 0}\end{array}\)
\( \Rightarrow x \in (1;2) \cup (3; + \infty )\)Đáp án cần chọn là: A
====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
Trả lời