Câu hỏi:
Biết rằng \(I = \mathop \smallint \limits_0^1 \frac{x}{{{x^2} + 1}}dx = \ln a\) với \(a \in R\). Khi đó giá trị của a bằng:
A.\(a = 2\)
B. \(a = \frac{1}{2}\)
C. \(a = \sqrt 2 \)
Đáp án chính xác
D. \(a = 4\)
Trả lời:
Đặt\({x^2} + 1 = t \Rightarrow 2xdx = dt \Rightarrow xdx = \frac{{dt}}{2}\)
Đổi cận\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0 \Rightarrow t = 1}\\{x = 1 \Rightarrow t = 2}\end{array}} \right.\)
Khi đó ta có:
\(I = \int\limits_0^1 {\frac{x}{{{x^2} + 1}}} dx = \frac{1}{2}\int\limits_1^2 {\frac{{dt}}{t}} = \frac{1}{2}\ln \left| t \right|\left| {_1^2} \right. = \frac{1}{2}(ln2 – ln1)\)
\( = \frac{1}{2}\ln 2 = \ln \sqrt 2 \Rightarrow a = \sqrt 2 \,\,\left( {tm} \right)\)
Đáp án cần chọn là: C
====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Hàm số y=f(x) có nguyên hàm trên (a;b) đồng thời thỏa mãn f(a)=f(b). Lựa chọn phương án đúng: – ĐGNL-HN
Câu hỏi:
Hàm số y=f(x) có nguyên hàm trên (a;b) đồng thời thỏa mãn f(a)=f(b). Lựa chọn phương án đúng:
A.\(\mathop \smallint \limits_a^b f’\left( x \right){e^{f\left( x \right)}}dx = 0\)
Đáp án chính xác
B.\(\mathop \smallint \limits_a^b f’\left( x \right){e^{f\left( x \right)}}dx = 1\)
C.\(\mathop \smallint \limits_a^b f’\left( x \right){e^{f\left( x \right)}}dx = – 1\)
D. \(\mathop \smallint \limits_a^b f’\left( x \right){e^{f\left( x \right)}}dx = 2\)
Trả lời:
Đặt\(t = f\left( x \right) \Rightarrow dt = f’\left( x \right)dx\)Đổi cận: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = a \Rightarrow t = f(a)}\\{x = b \Rightarrow t = f(b)}\end{array}} \right.\)Khi đó\(I = \mathop \smallint \limits_{f\left( a \right)}^{f\left( b \right)} {e^t}dt = 0\)(Vì\(f\left( a \right) = f\left( b \right)\)Đáp án cần chọn là: A
====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Cho hàm số f(x) liên tục trên R và \(\mathop \smallint \limits_{ – 2}^4 f(x)dx = 2\) . Mệnh đề nào sau đây là sai? – ĐGNL-HN
Câu hỏi:
Cho hàm số f(x) liên tục trên R và \(\mathop \smallint \limits_{ – 2}^4 f(x)dx = 2\) . Mệnh đề nào sau đây là sai?
A.\(\mathop \smallint \limits_{ – 1}^2 f\left( {2x} \right)d{\rm{x}} = 2\)
Đáp án chính xác
B. \(\mathop \smallint \limits_{ – 3}^3 f\left( {x + 1} \right)d{\rm{x}} = 2\)
C. \(\mathop \smallint \limits_{ – 1}^2 f\left( {2x} \right)d{\rm{x}} = 1\)
D. \(\mathop \smallint \limits_0^6 \frac{1}{2}f\left( {x – 2} \right)d{\rm{x}} = 1\)
Trả lời:
Dựa vào các đáp án, xét:
\(\mathop \smallint \limits_{ – 1}^2 f(2x)dx = \frac{1}{2}\mathop \smallint \limits_{ – 1}^2 f(2x)d(2x) = \frac{1}{2}\mathop \smallint \limits_{ – 2}^4 f(x)dx = 1\)
\(\begin{array}{*{20}{l}}{\mathop \smallint \limits_{ – 3}^3 f(x + 1)dx = \mathop \smallint \limits_{ – 3}^3 f(x + 1)d(x + 1)}\\{ = \mathop \smallint \limits_{ – 2}^4 f(x)dx = 2}\end{array}\)
\(\mathop \smallint \limits_0^6 \frac{1}{2}f(x – 2)dx = \mathop \smallint \limits_0^6 \frac{1}{2}f(x – 2)d(x – 2) = \frac{1}{2}\mathop \smallint \limits_{ – 2}^4 f(x)dx = 1\)
Do đó các đáp án B, C, D đều đúng, đáp án A sai.Đáp án cần chọn là: A
====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Cho y=f(x) là hàm số lẻ và liên tục trên \(\left[ { – a;a} \right].\)Chọn kết luận đúng: – ĐGNL-HN
Câu hỏi:
Cho y=f(x) là hàm số lẻ và liên tục trên \(\left[ { – a;a} \right].\)Chọn kết luận đúng:
A.\(\mathop \smallint \limits_{ – a}^a f\left( x \right)dx = 0\)
Đáp án chính xác
B. \(\mathop \smallint \limits_{ – a}^a f\left( x \right)dx = 1\)
C. \(\mathop \smallint \limits_{ – a}^a f\left( x \right)dx = – 1\)
D. \(\mathop \smallint \limits_{ – a}^a f\left( x \right)dx = a\)
Trả lời:
Hàm số\(y = f\left( x \right)\)là hàm số lẻ nếu\(f\left( x \right) = – f\left( { – x} \right)\)
Đặt\(x = – t \Rightarrow dx = – dt\)
Đổi cận\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = a \Rightarrow t = – a}\\{x = – a \Rightarrow t = a}\end{array}} \right.\)
\( \Rightarrow \mathop \smallint \limits_{ – a}^a f\left( x \right)dx = \mathop \smallint \limits_a^{ – a} f\left( { – t} \right)\left( { – dt} \right) = \mathop \smallint \limits_{ – a}^a \left( { – f\left( t \right)} \right)dt = – \mathop \smallint \limits_{ – a}^a f\left( t \right)dt = – \mathop \smallint \limits_{ – a}^a f\left( x \right)dx\)
Do đó
\(\mathop \smallint \limits_{ – a}^a f\left( x \right)dx = – \mathop \smallint \limits_{ – a}^a f\left( x \right)dx \Leftrightarrow 2\mathop \smallint \limits_{ – a}^a f\left( x \right)dx = 0 \Leftrightarrow \mathop \smallint \limits_{ – a}^a f\left( x \right)dx = 0\)Đáp án cần chọn là: A
====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Cho \(\mathop \smallint \nolimits_0^4 f(x)dx = – 1\), tính \(I = \mathop \smallint \limits_0^1 f(4x)dx\): – ĐGNL-HN
Câu hỏi:
Cho \(\mathop \smallint \nolimits_0^4 f(x)dx = – 1\), tính \(I = \mathop \smallint \limits_0^1 f(4x)dx\):
A.\(I = \frac{{ – 1}}{2}\)
B. \(I = – \frac{1}{4}\)
Đáp án chính xác
C. \(I = \frac{1}{4}\)
D. \(I = – 2\)
Trả lời:
Đặt\(4x = t\)khi đó\(4dx = dt\)
Đổi cận với x=0 thì t=0;x=1 thì t=4
\(\mathop \smallint \limits_0^1 f\left( {4x} \right)dx = \frac{1}{4}\mathop \smallint \limits_0^4 f(t)dt = – \frac{1}{4}\)
vì tích phân không phụ thuộc vào biến số.Đáp án cần chọn là: B
====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Tính tích phân \(I = \mathop \smallint \limits_0^\pi {\cos ^3}x\sin xdx\)
Đặt \(\cos x = t \Rightarrow – \sin xdx = dt \Rightarrow \sin xdx = – dt\)
Đổi cận:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0 \Rightarrow t = 1}\\{x = \pi \Rightarrow t = – 1}\end{array}} \right.\)
\( \Rightarrow I = – \int\limits_1^{ – 1} {{t^3}dt = } \int\limits_{ – 1}^1 {{t^3}dt = \frac{{{t^4}}}{4}} \left| {_{ – 1}^1} \right. = \frac{1}{4} – \frac{1}{4} = 0\) – ĐGNL-HN
Câu hỏi:
Tính tích phân \(I = \mathop \smallint \limits_0^\pi {\cos ^3}x\sin xdx\)
Đặt \(\cos x = t \Rightarrow – \sin xdx = dt \Rightarrow \sin xdx = – dt\)
Đổi cận:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0 \Rightarrow t = 1}\\{x = \pi \Rightarrow t = – 1}\end{array}} \right.\)
\( \Rightarrow I = – \int\limits_1^{ – 1} {{t^3}dt = } \int\limits_{ – 1}^1 {{t^3}dt = \frac{{{t^4}}}{4}} \left| {_{ – 1}^1} \right. = \frac{1}{4} – \frac{1}{4} = 0\)A.\(I = – \frac{1}{4}{\pi ^4}\)
B. \(I = – {\pi ^4}\)
C. \(I = 0\)
Đáp án chính xác
D. \(I = – \frac{1}{4}\)Trả lời:
Trả lời:
C
====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
Trả lời