Sách bài tập Toán 12 Bài 2 (Cánh diều): Công thức xác suất toàn phần. Công thức Bayes

Giải SBT Toán 12 Bài 2: Công thức xác suất toàn phần. Công thức Bayes

Bài 10 trang 94 SBT Toán 12 Tập 2: Nếu hai biến cố A, B thỏa mãn P(B) = 0,4; P(A | B) = 0,5; P(A | $\overline{B}$) = 0,3 thì P(A) bằng:

A. 0,38.

B. 0,8.

C. 0,2.

D. 0,18.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có: P($\overline{B}$) = 1 – P(B) = 1 – 0,4 = 0,6.

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:

P(A) = P(B). P(A | B) + P($\overline{B}$). P(A | $\overline{B}$) = 0,4 . 0,5 + 0,6 . 0,3 = 0,38.

Bài 11 trang 94 SBT Toán 12 Tập 2: Nếu hai biến cố A, B thỏa mãn P(A) = 0,3; P(B) = 0,6; P(A | B) = 0,4 thì P(B | A) bằng:

A. 0,5.

B. 0,6.

C. 0,8.

D. 0,2.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Áp dụng công thức Bayes, ta có:

P(B | A) = $\frac{P\left(B\right).P\left(A\right|B)}{P\left(A\right)}$ = $\frac{\mathrm{0,6.0,4}}{\mathrm{0,3}}=\frac{\mathrm{0,24}}{\mathrm{0,3}}=\mathrm{0,8}$.

Bài 12 trang 94 SBT Toán 12 Tập 2: Một kho hàng có các thùng hàng với bề ngoài giống hệt nhau, trong đó có 24 thùng hàng loại I và 26 thùng hàng loại II. Trong số các thùng hàng đó, có 95

a) P(A) = 0,48, P($\overline{A}$) = 0,52.

Đ

S

b) P(B | A) = 0,8.

Đ

S

c) P(B | $\overline{A}$) = 0,95.

Đ

S

d) P(B) = 0,872.

Đ

S

Lời giải:

Theo giả thiết, ta có: P(A) = $\frac{24}{50}$ = 0,48; P($\overline{A}$) = $\frac{26}{50}$ = 0,52.

Xác suất chọn được thùng hàng đã được kiểm định, biết thùng được chọn là thùng hàng loại I là: P(B | A) = 0,95;

Xác suất chọn được thùng hàng đã được kiểm định, biết thùng được chọn là thùng hàng loại II là: P(B | $\overline{A}$) = 0,8;

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:

P(B) = P(A). P(B | A) + P($\overline{A}$).P(B | $\overline{A}$) = 0,48 . 0,95 + 0,52 . 0,8 = 0,872.

Bài 13 trang 95 SBT Toán 12 Tập 2: Trước khi đưa ra thị trường một sản phẩm, công ty phỏng vấn 800 khách hàng và được kết quả là 550 người nói sẽ mua, còn 250 người nói sẽ không mua. Theo kinh nghiệm của nhà sản xuất thì trong những người nói sẽ mua sẽ có 60

Sau khi lấy ra một sản phẩm không bị lỗi thì số sản phẩm còn lại là 1 599, số sản phẩm lỗi là 35 nên xác suất của biến cố A là:

P(A) = P(N | M) = $\frac{1599-35}{1599}$ = $\frac{1564}{1599}$;

Xác suất của biến cố B là: P(B) = P($\overline{N}$ | M) = $\frac{35}{1599}$.

Sau khi lấy một sản phẩm bị lỗi thì số sản phẩm còn lại 1 599, số sản phẩm lỗi là 34 nên xác suất biến cố C là:

P(C) = P(N | $\overline{M}$) = $\frac{1599-34}{1599}$ = $\frac{1565}{1599}$.

Xác suất của biến cố D là:

P(D) = P($\overline{N}$| $\overline{M}$) = $\frac{34}{1599}$.

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, xác suất của biến cố E là:

P(E) = P($\overline{N}$)

        = P(M) . P($\overline{N}$| M) + P($\overline{M}$) . P($\overline{N}$|$\overline{M}$)

        = $\frac{1600-35}{1600}.\frac{35}{1599}+\frac{35}{1600}.\frac{34}{1599}=\frac{7}{320}$.

Bài 16 trang 95 SBT Toán 12 Tập 2: Một đội tuyển thi bắn súng có 10 xạ thủ, bao gồm 4 xạ thủ hạng I và 6 xạ thủ hạng II. Xác suất bắn trúng mục tiêu của xạ thủ hạng I và hạng II lần lượt là 0,75 và 0,6. Chọn ngẫu nhiên một xạ thủ và xạ thủ đó chỉ bắn 1 viên đạn. Sử dụng sơ đồ hình cây, tính xác suất để viên đạn đó trúng mục tiêu.

Lời giải:

Xét các biến cố:

A: “Chọn được xạ thủ hạng I”;

B: “Viên đạn đó trúng mục tiêu”.

Khi đó, P(A) = $\frac{4}{10}$ = 0,4; P($\overline{A}$) = 1 – P(A) = 0,6.

             P(B | A) = 0,75; P(B | $\overline{A}$) = 0,6.

Sơ đồ hình cây biểu thị tình huống đã cho là:

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:

P(B) = P(A) . P(B | A) + P($\overline{A}$) . P(B | $\overline{A}$) = 0,4 . 0,75 + 0,6 . 0,6 = 0,66.

Vậy xác suất để viên đạn đó trúng mục tiêu là 0,66.

Lý thuyết Công thức xác suất toàn phần. Công thức Bayes

1. Công thức xác suất toàn phần

Công thức xác suất toàn phần:

Cho hai biến cố A, B với 0 < P(B) < 1, ta có:

P(A) = P(A $\cap$ B) + P(A $\cap$ $\overline{B}$) = P(B) ∙ P(A | B) + P($\overline{B}$ ) ∙ P(A | $\overline{B}$ ).

Ví dụ 1. Một công ty thời trang có hai chi nhánh cùng sản xuất một loại áo thời trang, trong đó có 45