Sách bài tập Toán 12 Bài 1 (Cánh diều): Xác xuất có điều kiện

Giải SBT Toán 12 Bài 1: Xác xuất có điều kiện

Bài 1 trang 87 SBT Toán 12 Tập 2: Nếu hai biến cố A, B thỏa mãn P(B) = 0,6; P(A ∩ B) = 0,2 thì P(A | B) bằng:

A. $\frac{3}{25}$.

B. $\frac{2}{5}$.

C. $\frac{1}{3}$.

D. $\frac{4}{5}$.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có: P(B) = 0,6 > 0.

Khi đó, P(A | B) = $\frac{P(A\cap B)}{P\left(B\right)}$ = $\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,6}}$ = $\frac{1}{3}$.

Vậy P(A | B) = $\frac{1}{3}$.

Bài 2 trang 87 SBT Toán 12 Tập 2: Nếu hai biến cố A, B thỏa mãn P(B) = 0,3; P(A | B) = 0,5 thì P(A ∩ B) bằng:

A. 0,8.

B. 0,2.

C. 0,6.

D. 0,15.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có: P(B) = 0,3 > 0.

P(A ∩ B) = P(B). P(A | B) = 0,3 . 0,5 = 0,15.

Vậy P(A ∩ B) = 0,15.

Bài 3 trang 87 SBT Toán 12 Tập 2: Lớp 12A có 40 học sinh. Trong một buổi kiểm tra định kì, số học sinh của lớp được chia thành hai phòng như sau:

Chọn ngẫu nhiên một học sinh của lớp 12A.

Xét các biến cố:

A: “Học sinh được chọn ở phòng 2”.

B: “Học sinh được chọn là học sinh nữ”.

Lời giải:

 Ta có không gian mẫu có số phần tử là 40.

 Biến cố học sinh được chọn là học sinh nữ ở phòng 2 là A ∩ B. Ta có:

P(A ∩ B) = $\frac{12}{40}$ = $\frac{3}{10}$ ; P(B) = $\frac{9+12}{40}=\frac{21}{40}$.

P(A | B) = $\frac{P(A\cap B)}{P\left(B\right)}$ = $\frac{3}{10}:\frac{21}{40}=\frac{4}{7}$.

Bài 4 trang 87 SBT Toán 12 Tập 2: Một doanh nghiệp trước khi xuất khẩu mũ thời trang trong lô hàng X phải trải qua hai lần kiểm tra chất lượng sản phẩm, nếu cả hai lần đều đạt thì chiếc mũ trong lô hàng đó mới đủ tiêu chuẩn xuất khẩu. Biết rằng bình quân 96

a) Xác suất để chiếc mũ thời trang qua được lần kiểm tra thứ hai, biết rằng đã qua được lần kiểm tra thứ nhất, là xác suất có điều kiện P(B | A).

Đ

S

b) Xác suất để một chiếc mũ thời trang đủ tiêu chuẩn xuất khẩu là P(B ∩ A).

Đ

S

c) P(B | A) > 0,91.

Đ

S

d) Xác suất để một chiếc mũ thời trang đủ tiêu chuẩn để xuất khẩu là 0,8736.

Đ

S

Lời giải:

Xác suất để chiếc mũ thời trang qua được lần kiểm tra thứ hai, biết rằng đã qua được lần kiểm tra thứ nhất, là xác suất có điều kiện P(B | A).

Ngoài ra, xác suất để một chiếc mũ thời trang đủ tiêu chuẩn xuất khẩu là P(B ∩ A).

Theo giả thiết, ta có: P(B | A) = 0,91; P(A) = 0,96.

Suy ra P(B ∩ A) = P(A). P(B | A) = 0,91. 0,96 = 0,8736.

Bài 5 trang 88 SBT Toán 12 Tập 2: Trong một đợt thi chứng chỉ hành nghề có 160 cán bộ tham gia, trong đó có 84 nam và 76 nữ. Khi công bố kết quả của kì kiểm tra đó, có 59 cán bộ đạt loại giỏi, trong đó có 30 cán bộ nam và 29 cán bộ nữ. Chọn ra ngẫu nhiên một cán bộ. Tính xác suất để cán bộ được chọn ra đạt loại giỏi, biết rằng cán bộ đó là nữ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Lời giải:

Xét các biến cố:

A: “Cán bộ được chọn ra đạt loại giỏi”;

B: “Cán bộ được chọn ra là nữ”.

Khi đó, xác suất để cán bộ được chọn ra đạt loại giỏi, biết rằng cán bộ đó là nữ, là xác suất có điều kiện P(A | B).

Ta có: n(B) = 76; n(A ∩ B) = 29. Suy ra P(A | B) = $\frac{n(A\cap B)}{n\left(B\right)}=\frac{29}{76}$ ≈ 0,38.

Vậy xác suất để cán bộ được chọn ra đạt loại giỏi, biết rằng cán bộ đó là nữ, là khoảng 0,38.

Bài 6 trang 88 SBT Toán 12 Tập 2: Một hộp đựng 5 quả bóng màu vàng và 3 quả bóng màu trắng, các quả bóng có kích thước và khối lượng như nhau. Lấy ngẫu nhiên lần thứ nhất một quả bóng (không hoàn lại), rồi lần thứ hai lấy một quả bóng khác. Tính xác suất để lần thứ nhất lấy được quả bóng màu vàng, lần thứ hai lấy được quả bóng màu trắng.

Lời giải:

Xét các biến cố:

A: “Lần thứ nhất lấy được quả bóng màu vàng”;

B: “Lần thứ hai lấy được quả bóng màu trắng”;

C: “Lần thứ nhất lấy được quả bóng màu vàng, lần thứ hai lấy được quả bóng màu trắng”.

Khi đó, xác suất để lần thứ hai lấy được quả bóng màu trắng, biết rằng lần thứ nhất lấy được quả bóng màu vàng là xác suất có điều kiện P(B | A) và P(C) = P(A ∩ B).

Ta có: P(A) = $\frac{5}{8}$. Vì sau khi lấy một quả bóng màu vàng ở lần thứ nhất thì trong lần thứ hai chỉ còn 4 quả bóng màu vàng và 3 quả bóng màu trắng.

Do đó, P(B | A) = $\frac{3}{7}$.

Suy ra P(C) = P(A ∩ B) = P(A).P(B | A) = $\frac{5}{8}.\frac{3}{7}=\frac{15}{56}$

Vậy xác suất để lần thứ nhất lấy được quả bóng màu vàng, lần thứ hai lấy được quả bóng màu trắng là $\frac{15}{56}$.

Bài 7 trang 88 SBT Toán 12 Tập 2: Một hộp đựng 24 chai nước giải khát có hình dạng và kích thước như nhau, trong đó có 2 chai nước giải khát ghi giải thưởng “Bạn nhận được thêm một chai nước giải khát”. Chọn ngẫu nhiên lần lượt (không hoàn lại) hai chai nước trong hộp. Tính xác suất để cả hai chai đều ghi giải thưởng.

Lời giải:

Xét các biến cố:

A: “Chai được chọn ở lần thứ nhất có ghi giải thưởng”.

B: “Chai được chọn ở lần thứ hai có ghi giải thưởng”.

C: “Cả hai chai được chọn đều ghi giải thưởng”.

Khi đó, xác suất để chai được chọn ở lần thứ hai có ghi giải thưởng, biết chai được chọn ở lần thứ nhất có ghi giải thưởng là xác suất có điều kiện P(B | A) và P(C) = P(A ∩ B).

Ta có: P(A) = $\frac{2}{24}=\frac{1}{12}$.

Vì sau khi lấy một chai có ghi giải thưởng và không hoàn lại thì trong lần thứ hai chỉ còn 1 chai có ghi giải thưởng và tổng số chai lúc này là 23.

Do đó, P(B | A) = $\frac{1}{23}$.

Suy ra P(C) = P(A ∩ B) = P(A).P(B | A) = $\frac{1}{12}.\frac{1}{23}=\frac{1}{276}$

Vậy xác suất để cả hai chai đều ghi giải thưởng là $\frac{1}{276}$.

Bài 8 trang 88 SBT Toán 12 Tập 2: Một công ty có hai chi nhánh. Sản phẩm của chi nhánh I chiếm 54

Lời giải:

Xét các biến cố:

M: “Sản phẩm được chọn đạt loại A”;

N: “Sản phẩm được chọn của chi nhánh I”.

Khi đó, sản phẩm được chọn đạt loại A, biết rằng sản phẩm được chọn của chi nhánh I là xác suất có điều kiện P(M | N).

Ta có: P(N | M) = 0,65; P(M) = 0,75; P(N) = 0,54.

Khi đó, P(M ∩ N) = P(N ∩ M) = P(M). P(N | M) = 0,75. 0,65 = 0,4875.

Suy ra P(M | N) = $\frac{P(M\cap N)}{P\left(N\right)}=\frac{\mathrm{0,4875}}{\mathrm{0,54}}$≈ 0,9.

Vậy xác suất sản phẩm được chọn đạt loại A, biết rằng sản phẩm được chọn của chi nhánh I, là khoảng 0,9.

Bài 9 trang 88 SBT Toán 12 Tập 2: Một hộp có 12 quả bỏng màu xanh, 7 quả bóng màu đỏ; các quả bóng có kích thước và khối lượng như nhau. Lấy ngẫu nhiên lần lượt hai quả bóng trong hộp, lấy không hoàn lại. Dùng sơ đồ hình cây, tính xác suất để lần thứ hai lấy được quả bóng màu đỏ, biết rằng lần thứ nhất đã lấy được quả bóng màu xanh.

Lời giải:

Xét các biến cố:

A: “Lần thứ hai lấy được quả bóng màu đỏ”;

B: “Lần thứ nhất lấy được quả bóng màu xanh”.

Khi đó, xác suất để lần thứ hai lấy được quả bóng màu đỏ, biết rằng lần thứ nhất đã lấy được quả bóng màu xanh là xác suất có điều kiện P(A | B).

Sơ đồ hình cây biểu thị cách tính xác suất có điều kiện P(A | B) được vẽ như sau:

Vậy xác suất để lần thứ hai lấy được quả bóng màu đỏ, biết rằng lần thứ nhất lấy được quả bóng màu xanh, là $\frac{7}{18}$

Lý thuyết Xác xuất có điều kiện

1. Định nghĩa xác suất có điều kiện

● Định nghĩa xác suất có điều kiện

Cho hai biến cố A và B. Xác suất của biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra được gọi là xác suất của A với điều kiện B, kí hiệu là P(A | B).

Nếu P(B) > 0 thì $P\left(A|B\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)}$ .

● Nhận xét

+ Từ định nghĩa của xác suất có điều kiện, ta suy ra: Nếu P(B) > 0 thì

P(A $\cap$ B) = P(B) ∙ P(A | B).

+ Vì A ∩ B = B ∩ A nên nếu A, B là hai biến cố bất kì thì

P(A $\cap$ B) = P(A) ∙ P(B | A) = P(B) ∙ P(A | B).

Công thức trên được gọi là công thức nhân xác suất.

Ví dụ 1. Cho hai biến cố A, B có P(A) = 0,7; P(B) = 0,5; P(A $\cap$ B) = 0,3. Tính các xác suất sau: P(A | B); P(B | A).

Hướng dẫn giải

Ta có: P(A | B) = $\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)}=\frac{0,3}{0,5}=0,6$ ;

          P(B | A) = $\frac{P\left(B\cap A\right)}{P\left(A\right)}=\frac{0,3}{0,7}=\frac{3}{7}$ .

Ví dụ 2. Trong hộp có 2 viên bi màu trắng và 8 viên bi màu đỏ. Lấy lần lượt mỗi lần một viên theo cách lấy không trả lại. Tính xác suất để viên bi lấy lần thứ hai là màu đỏ biết rằng viên bi lấy lần thứ nhất cũng là màu đỏ?

Hướng dẫn giải

Xét hai biến cố sau:

A: “Lần thứ hai lấy được viên bi màu đỏ”.

B: “Lần thứ nhất lấy được viên bi màu đỏ”.

Biến cố A $\cap$ B: “Cả hai lần đều lấy được bi màu đỏ”.

Khi đó xác suất để viên bi lấy lần thứ hai là màu đỏ biết rằng viên bi lấy lần thứ nhất cũng là màu đỏ, chính là xác suất của A với điều kiện B. Ta cần tính P(A | B).

Theo bài ra ta có:$P\left(B\right)=\frac{8}{10}$ ; $P\left(A\cap B\right)=\frac{8}{10}.\frac{7}{9}=\frac{28}{45}$ .

Do đó $P\left(A|B\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)}=\frac{28}{45}:\frac{8}{10}=\frac{7}{9}$ .

● Nhận xét: Cho hai biến cố A và B với P(B) > 0. Khi đó, ta có:

P(A | B) = $\frac{n\left(A\cap B\right)}{n\left(B\right)}$  (*).

Ví dụ 3. Trong 5 000 chiếc quần vải kaki xuất khẩu của một doanh nghiệp dệt may có 2 000 chiếc quần màu be. Những chiếc quần màu be đó gồm ba cỡ: S, M, L, trong đó có 300 chiếc cỡ M. Chọn ra ngẫu nhiên một chiếc quần trong 5 000 chiếc quần vải kaki xuất khẩu. Giả sử chiếc quần vải kaki được chọn ra là quần màu be. Tính xác suất để chiếc quần vải kaki đó có cỡ M.

Hướng dẫn giải

Xét hai biến cố sau:

          A: “Quần được chọn ra có cỡ M”;

          B: “Quần được chọn ra là quần màu be”.

Khi đó, xác suất để chiếc quần được chọn ra có cỡ M, biết rằng chiếc quần đó là quần màu be, chính là xác suất có điều kiện P(A | B).

Áp dụng công thức (*), ta có:

P(A | B) = $\frac{n\left(A\cap B\right)}{n\left(B\right)}$  = $\frac{300}{2000}$  = 0,15.

Vậy xác suất để chiếc quần được chọn ra có cỡ M, biết rằng chiếc quần đó là quần màu be, là 0,15.

● Chú ý: Người ta chứng minh được tính chất sau chỉ ra mối liên hệ giữa xác suất có điều kiện và biến cố độc lập:

Cho A và B là hai biến cố với 0 < P(A) < 1, 0 < P(B) < 1. Khi đó, A và B là hai biến cố độc lập khi và chỉ khi

P(A) = P(A | B) = P(A | $\overline{B}$ ) và P(B) = P(B | A) = P(B | $\overline{A}$ ).

Nhận xét: Tính chất trên giải thích vì sao hai biến cố là độc lập nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia.

2. Sử dụng sơ đồ hình cây để tính xác suất có điều kiện

Ta có thể sử dụng sơ đồ hình cây để tính xác suất có điều kiện.

Ví dụ 4. Một hộp có 15 quả bóng màu trắng và 12 quả bóng màu vàng; các quả bóng có kích thước và khối lượng như nhau. Có 10 quả bóng trong hộp được đánh số, trong đó có 3 quả bóng màu trắng và 7 quả bóng màu vàng. Lấy ngẫu nhiên một quả bóng trong hộp. Dùng sơ đồ hình cây, tính xác suất để quả bóng được lấy ra có màu trắng, biết rằng quả bóng đó được đánh số.

Hướng dẫn giải

Xét các biến cố:

A: “Quả bóng lấy ra có màu trắng”;

B: “Quả bóng lấy ra có đánh số”.

Khi đó, xác suất để quả bóng được lấy ra có màu trắng, biết rằng quả bóng đó được đánh số, là xác suất có điều kiện P(A | B).

Sơ đồ hình cây biểu thị cách tính xác suất có điều kiện P(A | B) được vẽ như sau:

Vậy xác suất để quả bóng được lấy ra có màu trắng, biết rằng quả bóng đó được đánh số, là $\frac{3}{10}$

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 12 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 2: Phương trình đường thẳng

Bài 3: Phương trình mặt cầu

Bài tập cuối chương 5

Bài 1: Xác xuất có điều kiện

Bài 2: Công thức xác suất toàn phần. Công thức Bayes

Bài tập cuối chương 6